2022-2023学年湖南省衡阳市衡阳县第四中学高一下学期3月第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年湖南省衡阳市衡阳县第四中学高一下学期3月第一次月考数学试题

一、单选题

1．是

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】B

【详解】，则与终边相同，它是第二象限角.

本题选择B选项.

2．下列与角的终边一定相同的角是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据终边相同的角的概念，根据选项判断即可.

【详解】对于A项，因为，故A项错误；

对于B项，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B错误，

对于C项，因为，故C项正确；

对于D项，因为，故D项错误.

故选：C.

3．若，且，则（    ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】C

【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

【详解】，所以，

由，消去并化简得，

即，

所以解得或，

所以或.

故选：C

4．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：，）（    ）

A．1.012m B．1.768m C．2.043m D．2.945m

【答案】B

【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.

【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧 的长，其所对圆心角，

则两手之间的距离．

故选：B．

5．已知，则a､b､c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据正弦函数、正切函数的性质计算可得；

【详解】解：因为，在上单调递增，所以，即，，又，所以，所以；

故选：C

6．若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由，根据诱导公式可求，再根据同角三角函数的平方关系与商数关系即可得.

【详解】解：因为，则，

于是可得，

所以.

故选：D.

7．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知结合同角平方关系可求，然后结合诱导公式进行化简可求．

【详解】解：因为，

所以，

因为，

所以，

则．

故选：．

8．已知命题：角为第二或第三象限角，命题：，命题是命题的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】利用切化弦判断充分性，根据第四象限的角判断必要性.

【详解】当角为第二象限角时，，

所以，

当角为第三象限角时，，

所以，

所以命题是命题的不充分条件.

当时，显然，当角可以为第四象限角，命题是命题的不必要条件.

所以命题是命题的既不充分也不必要条件.

故选：D

二、多选题

9．（多选）在中，下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABC

【分析】由内角和定理以及诱导公式逐一判断即可.

【详解】在中，有，则，A正确；

，B正确；

，C正确；

，D错误；

故选：ABC.

10．下列说法正确的是（    ）

A．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是

B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于

C．经过小时，时针转了

D．若角和角的终边关于对称，则有

【答案】ABD

【分析】对于A，利用三角函数定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可；对于B，转化求解弦所对的圆心角即可判断；对于C，根据任意角的定义即可判断；对于D，由角的终边得出两角的关系即可

【详解】对于A，因为角终边在第二象限或第四象限，此时终边上的点的横坐标和纵坐标异号，故；

因为，所以或，

故角终边上点坐标对应为：或即或，所以角终边在第二象限或第四象限，

综上，角终边在第二象限或第四象限的充要条件是，故A正确

对于B，圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角为，故B正确；

对于C，钟表上的时针旋转一周是，其中每小时旋转，

所以经过4小时应旋转，故C错误；

对于D，角和角的终边关于直线对称，则，，故D正确

故选：ABD

11．下列选项正确的是（    ）

A．

B．

C．若终边上有一点，则

D．若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为

【答案】BD

【分析】利用诱导公式可判断A，利用弧度与角度之间的转化公式可判断B，利用任意角的三角函数定义可判断C，利用扇形的弧长和面积公式可判断D

【详解】对于A，，故A错；

对于B，，故B正确；

对于C，若终边上有一点，则，故C不正确；

对于D，若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的半径为，面积为，故D正确.

故选：BD

12．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合下列正确的选项为（    ）

A．若角的终边位于第二象限，则位于第一象限或第四象限

B．若角满足，则

C．若角的终边过点则

D．若角是三角形中一个内角且满足，则

【答案】CD

【分析】根据象限角的定义，举出特例，进而判断A；

根据同角三角函数的基本关系可判断B和D；

根据任意角的定义可判断C.

【详解】若角的终边位于第二象限，若，则位于第三象限， A错误；

若角满足，则，B错误；

若角的终边过点则，C正确；

若角是三角形中一个内角且满足，则为钝角，于是，由解得：，D正确.

故选：CD.

三、填空题

13．角 的终边经过点 且 ,则 =_____________.

【答案】  

【分析】由角α的终边经过点P（x，4），根据cosα的值求出x的值，确定出P的坐标，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值.

【详解】∵角α的终边经过点P（x，4），且，

∴cosα==，即x=0,x=3或x=﹣3，

∴P（±3，4），

∴sinα=，

故答案为:

【点睛】此题考查三角函数的定义，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

14．化简：若，则__________.

【答案】

【分析】根据同角的三角函数关系式中的平方和关系进行化简，再结合已知角的范围，比较出大小关系进行化简即可.

【详解】

因为，所以，

所以，原式.

故答案为：

15．若，则__________．

【答案】##

【分析】利用弦化切可求得所求代数式的值.

【详解】．

故答案为：.

16．已知，则__________.

【答案】##

【分析】利用同角三角函数的关系，求出函数解析式，再代入求值.

【详解】已知，

因为，

所以令，则，

则.

故答案为：

四、解答题

17．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.

（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?

【答案】（1），；（2）.

【解析】(1)由公式算出弧长，弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积

(2)由周长为定值可得出弧长和半径的关系，再把S用R表示出来，运用函数的知识即可求出最大值.

【详解】（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则

，，，

.

（2）设扇形弧长为l，则，即，

∴扇形面积，

∴当时，S有最大值，此时，.

因此当时，这个扇形面积最大.

【点睛】

当周长C为定值时可得面积

当面积为定值时可得周长.

18．已知函数

（1）化简；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用诱导公式进行化简即可；

（2）由（1）结果两边平方，再利用同角三角函数的基本关系联立解方程组即可得出结果.

【详解】解：（1）

 所以.

（2）由，平方可得，

即.  所以，

因为，

又，所以，，所以,

所以.

【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的化简与求值，属于基础题.

19．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将原式变形为，然后根据齐次式进行计算即可；

（2）首先通过诱导公式进行化简整理，然后根据齐次式进行计算即可；

【详解】（1）由，得，

分子分母同除得：.

（2）

，

分子分母同除得：.

20．已知第一象限角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且．

(1)求及的值；

(2)求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据三角函数定义，求出与的关系式，解出的值，再利用正切表达式求出正切值即可；

（2）利用由（1）得出的结论求出正弦值，然后代入即可求解.

【详解】（1）依题意

整理得，解得或

因为为第一象限角，则，

故

.

（2）（2）由（1）知，则，

则

21．已知连续不断函数，.

（1）求证：函数在区间上有且只有一个零点；

（2）现已知函数在上有且只有一个零点(不必证明)，记和在上的零点分别为，试求的值.

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】（1）可判断，，再判断函数的单调性，从而证明．

（2）化简可得，利用只有一个零点，利用零点相等，从而证明.

【详解】证明：（1），，

在区间上有零点；

又在上单调递增，

在上有且只有一个零点；

（2）区间上有且只有一个零点，

，

即，

又函数在上有且只有一个零点，

，

即．

【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的零点的判定定理的应用及函数的性质的判断与应用，本题第二问的关键是变形为.

22．已知函数.

(1)求在上的值域；

(2)当时，已知，若，使得，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将化为关于的类二次函数，结合换元法和二次函数性质可求在上的值域；

（2）设的值域为集合的值域为集合，可等价转化为，求得对应值域，由建立不等式可求的取值范围.

【详解】（1）当，

令，则，

由于函数在上单调递增，故当时，取得最小值；

当时，取得最大值的值域为；

（2）设的值域为集合的值域为集合，则依题意有，

，由（1）知：

，

又，所以在上单调递增，

当时，；当时，

，

由得：的取值范围是.