2022-2023学年吉林省长春汽车经济技术开发区第三中学高一下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年吉林省长春汽车经济技术开发区第三中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝（    ）

A．8i B．6

C．6＋8i D．6－8i

【答案】B

【分析】根据复数的加法法则即可求出.

【详解】z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.

故选：B.

2．将一个等边三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（    ）

A．一个圆柱､一个圆锥 B．一个圆台､一个圆锥

C．两个圆锥 D．两个圆柱

【答案】C

【分析】直观想象结合圆锥的概念判断即可.

【详解】将一个等边三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是共用一个底面的两个圆锥.

故选：C.

3．已知向量，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用平面向量的模公式求解.

【详解】因为，，

所以，

所以，

故选：B

4．在ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则λ等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用共线向量定理求解.

【详解】因为D是AB边上的一点，

所以A，B，D三点共线，

所以，则，

因为，

所以，

因为A，B，C不共线，

所以，解得，

故选：B

5．设平面向量，满足，，，则在上投影向量的模为（    ）.

A． B． C．3 D．6

【答案】A

【分析】表示出在上投影向量，结合已知条件即可求得答案.

【详解】由题意可知：在上投影向量为 ，

故在上投影向量的模为，

故选：A

6．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．

C．若，则的面积是 D．是钝角三角形

【答案】B

【分析】用正弦定理即可判断A；用余弦定理可以判断D，再结合平面向量数量积的定义可以判断B；先用余弦定理确定A，再用三角形面积公式即可算出面积，进而判断D.

【详解】对A，由正弦定理可得正确；

对B，D，设，∴，A为钝角，，B错误，D正确；

对C，∵，则，∴，∴.

故选：B.

7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为  （　　）

A．5 B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，最后结合正弦定理即可得结果.

详解：根据三角形面积公式得，，得，则，即，，故正确答案为C.

点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一.

8．如图，点C是半径为1的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（    ）

A．1 B． C． D．4

【答案】C

【分析】由平面向量数量积的运算，结合两角和的正弦公式，求三角函数的最值即可.

【详解】如图所示，以为轴，过作与垂直的线作为轴，

，，，

设，，

时，取得最大值是.

故选：C.

二、多选题

9．下列命题中正确的是：（    ）

A．两个非零向量，，若，则与共线且反向

B．已知，且，则

C．若，，，为锐角，则实数的取值范围是

D．若非零，满足，则与的夹角是

【答案】AD

【分析】利用平面向量的数量积知识对各选项逐一运算并判断作答.

【详解】对于A，因，是非零向量，由两边平方得，则与共线且反向，A正确；

对于B，，由得，则与可能垂直，B不正确；

对于C，依题意得，为锐角，则，即，

当时，，即，显然与不共线，则，于是得为锐角时，且，C不正确；

对于D，，是非零向量，由得，则，

，，而，于是得，

即与的夹角是，D正确.

故选：AD

10．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】根据向量运算法则依次计算每个选项得到答案.

【详解】，正确；

，正确；

，错误；

，正确.

故选：.

【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.

11．如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，则（    ）

A．该圆锥的母线长为5 B．该圆锥的体积为

C．该圆锥的表面积为 D．三棱锥体积的最大值为12

【答案】ABD

【分析】利用圆锥的的几何特征和面积，体积公式求解.

【详解】该圆锥的母线长为，A正确；

该圆锥的体积为，B正确；

该圆锥的表面积为，C错误；

当时，的面积最大，此时，三棱锥体积的最大值为，D正确．

故选：ABD

12．在中，角的对边分别为，，，，，，且满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的面积为

C． D．为锐角三角形

【答案】AB

【解析】已知等式利用正弦定理边化角，结合三角形的内角与两角和差公式化简得到，大角对大边，所以，再利用余弦定理可解三角形，利用面积公式可得到的面积.

【详解】∵，∴，

∴，

即，∴．

∵在中，，∴，∴，A正确．

由余弦定理，得得，

，即，

解得或，又，∴，C错误，

∴的面积，B正确．

又，∴A为钝角，为钝角三角形，D错误．

故选：AB.

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和面积公式在解三角形中的灵活运用，属于中档题.

三、填空题

13．___________．

【答案】0

【分析】由复数的乘法运算即可求得答案.

【详解】由题意，原式=.

故答案为：0.

14．如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______.

【答案】

【分析】作出直观图，结合斜二测画法概率计算

【详解】如图，，到轴的距离为．

故答案为：．

15．已知向量与的夹角是，且，则________．

【答案】2

【分析】先求出，即可求出.

【详解】因为向量与的夹角是，且，

所以.

所以.

故答案为：2

四、双空题

16．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点.

（1）若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过△ABC的______；

（2）若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过△ABC的______.

【答案】     重心     内心

【分析】先化简目标式，结合平面向量的运算规则及三角形重心，内心的特点可得答案.

【详解】（1）设的中点为，则；

因为，所以；

因为的重心一定在直线上，所以点的轨迹一定通过的重心.

（2）因为，

所以；

又分别表示平行于的单位向量，

故平分∠BAC，即平分∠BAC，

所以点的轨迹一定通过的内心.

故答案为：重心   内心.

五、解答题

17．已知，

（1）若与共线，求；

（2）若与垂直，求.

【答案】（1）； （2）.

【分析】（1）求得，，根据向量的共线条件，即可求解。

（2）根据向量的垂直条件，列出方程，即可求解。

【详解】（1）由题意，向量，，

则，，

因为与共线，可得，

解得。

（2）由（1）可得，向量，，

因为与垂直，可得，

解得。

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的共线与垂直的应用，其中解答中熟记向量的共线与垂直的条件，以及熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。

18．复数.

(1)当时，求复数z的模；

(2)当实数m为何值时，复数z为纯虚数；

(3)若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）代入，直接利用公式求模；

（2）利用实部为零，虚部不为零列方程求解；

（3）利用实部小于零，虚部大于零列不等式组求解；

【详解】（1）当时，，

此时有；

（2）复数z为纯虚数，

解得；

（3）复数z在复平面内对应的点在第二象限，

，

解得.

19．如图，平行四边形ABCD中，已知，，设，.

(1)用向量和表示向量，；

(2)若，，求实数x和y的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)用平面向量的线性运算整理可得：，，代入已知向量即可得到.

(2)用平面向量的线性运算整理可得：，结合题干条件，可得到等式，解等式即可.

【详解】（1），

；

（2）因为

.

即，

因为与不共线，从而，解得.

20．如图，将棱长为2的正方体沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体．

（Ⅰ）求该四面体的体积；

（Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．

【答案】（Ⅰ）

【分析】（Ⅰ）利用正方体体积减去截去部分的体积即可求解（Ⅱ）利用正四面体与正方体的外接球一致求解

【详解】(Ⅰ)三棱锥的体积，

切去部分的体积为

正方体的体积为

∴四面体的体积

(Ⅱ)∵正方体的棱长为2，

∴正方体的体对角线长为，

∵该四面体外接球即为正方体的外接球，而正方体的外接球直径为其体对角线

∴外接球直径，半径，

∴外接球表面积为

【点睛】本题考查组合体体积，外接球问题，是基础题

21．如图，在中，，的角平分线交于，设，且．

（1）求值；

（2）若，求的周长．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据角平分线的性质，得出，则，利用同角三角函数关系求出，再利用二倍角正弦公式和余弦公式求出和，由三角形的内角和以及诱导公式求出，最后利用正弦定理即可求出的值；

（2）在中，根据正弦定理求得，结合三角形的面积公式得出，分别求出和，再由正弦定理求出，即可求出的周长．

【详解】解：（1）∵，的角平分线交于，

则，即为三角形内角的一半，

∴，∴，

∴，

∴，

又由于，则，

∴

，

所以在中，根据正弦定理得：．

（2）由正弦定理得，即，

所以，①

又，

所以，②

由①②得，，

又由，得，所以，

所以的周长．

【点睛】本题考查正弦定理的应用和三角形的面积公式的应用，以及同角三角函数关系、诱导公式、二倍角正弦公式和余弦公式的运用，考查运算能力.

22．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)．

（1）当cos＝时，求小路AC的长度；

（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB，进而可求cos∠ADC的值，在△ACD中，利用余弦定理可求AC的值．

（2）由（1）得：BD2＝14﹣6cosθ，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求．SABCD＝7sin（θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ时，四边形ABCD的面积最大，即θ＝φ，此时cosφ，sinφ，从而可求BD的值．

【详解】（1）在中，由，

得，又，∴．

∵   ∴

由得：，解得：，

∵是以为直角顶点的等腰直角三角形  ∴且

∴

在中， ，

解得：

（2）由（1）得：，

，此时，，且

当时，四边形的面积最大，即，此时，

∴，即

答：当时，小路的长度为百米；草坪的面积最大时，小路的长度为百米．

【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．