2022-2023学年辽宁省部分学校高一下学期4月联考数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省部分学校高一下学期4月联考数学试题

一、单选题

1．已知角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用三角函数的定义求解.

【详解】由题意，得.

故选：D.

2．已知向量，，且，的夹角为，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】先求出，然后对平方，结合向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】由可得，，由数量积的定义：.

于是.

故选：B

3．若，，则是（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】D

【分析】判断出、的符号，由此可判断出角的终边所在的象限.

【详解】由，，得，，所以是第四象限角.

故选:D.

4．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式，二倍角公式和和差公式进行化简求值.

【详解】

故选：C

5．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，把得到的图象向左平移个单位长度，再把得到的图象向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】通过正切函数图象变换求出，然后利用整体代换法求解函数的对称中心.

【详解】由题意，得，

由，得，

所以图象的对称中心为.

故选：D.

6．如图，在正方形网格中，蚂蚁甲从点爬到了点，蚂蚁乙从点爬到了点，则向量与夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立合适的坐标系后，使用夹角公式求解即可.

【详解】如图，以为原点，为2个单位长度，建立直角坐标系，则，，，，，

所以向量，夹角的余弦值为.

故选：C

7．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设扇形的面积为，由三角函数线结合得到答案.

【详解】画出的三角函数线，如下：

则，，，

设扇形的面积为，

则，，

又，故，

所以，，

因为，所以.

所以.

故选：A

8．某超市2022年从1月到12月冰激凌的销售数量与月份近似满足函数，该超市只有8月份冰激凌的销售数量达到最大值，最大值为8500，只有2月份冰激凌的销售数量达到最小值，最小值为500，则该超市冰激凌的销售数量不少于6500的月份共有（    ）

A．4个月 B．5个月 C．6个月 D．7个月

【答案】B

【分析】通过最大值与最小值求出，利用最值横坐标之差求出，代入最值，根据，求出值，则得到，列出不等式，求出的范围即可.

【详解】由题意，得，，

由，得，所以.

因为，

所以，所以，所以，

又，所以当时，，故.

由，得，

则，所以，

当时，，又，所以，7，8，9，10，

即该超市冰激凌的销售数量不少于6500的月份数是5.

故选：B.

二、多选题

9．已知某时钟的分针长4cm，将快了5分钟的该时钟校准后，则（    ）

A．时针转过的角为

B．分针转过的角为

C．分针扫过的扇形的弧长为

D．分针扫过的扇形的面积为

【答案】BC

【分析】根据分针转一圈为60分，时针转一圈为12小时，分别求得其圆周角，再利用弧长公式和面积公式求解.

【详解】由题意，得时针转过的角为，分针转过的角为，

分针扫过的扇形的弧长为，面积为.

故选：BC.

10．已知点，，，，则（    ）

A． B．

C． D．四边形为直角梯形

【答案】BCD

【分析】由向量的坐标表示逐一计算即可.

【详解】由题意得，故A错误；

，因为，所以，故B正确；

，而，所以，且,

结合，可得四边形为直角梯形，故CD正确.

故选：BCD.

11．已知函数，且，在上的图像与直线恰有2个交点，则的值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】先利用诱导公式将化简为，利用条件，得到，再利用在上的图像与直线恰有2个交点，从而求出的范围，得到结果.

【详解】，

，又因为，

，即.

又在上的图像与直线恰有2个交点，

由，得到，

所以或，得到或，

，当取1时，由，得到，

当取0，1时，由，得到，，

所以且，即，

故或.

故选：AC

12．若，则的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】利用三角函数诱导公式和恒等变换求解.

【详解】因为，

，

，

，

所以，由选项可知，AC符合.

故选：AC.

三、填空题

13．若，则______，______

【答案】         

【分析】利用正切的和角及倍角公式，再利用条件即可求出结果.

【详解】因为，所以，

所以.

故答案为：，.

14．LED（发光二极管）是一种能够将电能转化为可见光的固态的半导体器件，它可以直接把电转化为光.LED灯的抗震性能非常好，被广泛运用于手机、台灯、家电等日常家电.如图，小明同学发现家里的LED灯是正六边形形状的，其平面图可简化为正六边形，若向量在向量方向上的投影为，则______.

【答案】

【分析】根据投影向量的定义即可计算.

【详解】如图，，过点作垂直于直线，垂足为，因为，所以，则，在方向上的投影为.

故答案为：

15．若，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】将化简得到求解.

【详解】解：由，

得，

得，

因为，

所以的取值范围是.

故答案为：

16．在正方形中，，，分别为线段，上的动点，且，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】设，确定，由正弦定理表示出的长，根据数量积定义求得的表达式，结合三角恒等变换以及正弦函数性质，即可求得答案.

【详解】设，则，，

得，，

所以

,

由，得，得，

所以,

故答案为：

四、解答题

17．已知.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据诱导公式将题干条件化简，然后所得分式的分子分母同时除以，得到的方程后进行求解；

（2）待求表达式补上一个分母：，然后分子分母同时除以即可.

【详解】（1）依题意得，，解得

（2）.

18．已知点，，，为线段的中点，为线段上靠近的三等分点.

(1)求，的坐标.

(2)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答.

问题：按角分类，判断______的形状，并说明理由.

（注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分）

【答案】(1)的坐标为，的坐标为

(2)答案见解析

【分析】（1）根据中点坐标公式求出的坐标，先得到，从而得到点的坐标；

（2）根据数量积的正负判断角的类型，得到三角形的形状.

【详解】（1）因为，故的坐标为，

，故，

所以，即的坐标为；

（2）选①，为钝角三角形，

理由如下：由（1）可知，，，

因为，所以为锐角.

易得，因为，所以为锐角.

因为，所以为钝角.

故为钝角三角形.

选②，为锐角三角形.

理由如下：由（1）可知，，，

因为，所以为锐角.

易得，因为，所以为锐角.

因为，所以为锐角.

故为锐角三角形.

19．已知向量，，函数.

(1)求的单调递减区间；

(2)若，，是的三个内角，且，求的取值范围.

【答案】(1)递减区间为

(2)

【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示、二倍角正余弦公式、辅助角公式化简得，根据正弦型函数的性质求减区间；

（2）根据已知可得，再确定的范围，利用正弦型函数的性质求范围.

【详解】（1），

由，得：，

故的单调递减区间为.

（2）由，得，，

所以或，即或（舍去），

因为，所以，则，

则，故，

所以的取值范围为.

20．在平行四边形中，点和点关于点对称，.

(1)用，表示，；

(2)若为线段上一点，且，求.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）结合图形，由向量的加法和减法、数乘运算求解即可；

（2）由向量的运算得出，再由，得出的值.

【详解】（1）由题意，可得，

.

（2）设，，

则

，

因为，所以

所以.

21．已知，，，.

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据两角和差公式用已知角表示未知角求解即可；

（2）应用同角三角函数关系结合两角和差公式求解即可.

【详解】（1）由，得，

因为，所以，

则

.

（2）由，得，得，

得.

由，得，

因为，

所以，

故

22．若函数满足，且，，则称为“型函数”.

(1)判断函数是否为“型函数”，并说明理由；

(2)已知为定义域为的奇函数，当时，，函数为“型函数”，当时，，若函数在上的零点个数为9，求的取值范围.

【答案】(1)函数是“型函数”，理由见解析

(2)

【分析】（1）判断出关于直线对称，且最小正周期为，由定义可判断出答案；

（2）由题意得到的零点为，0，1，即或或，由对称性和周期性画出在上的图象，数形结合求出.

【详解】（1）由，得，所以的周期为，

由，，得的图象关于直线对称，

因为，所以的图象关于直线对称，

又的最小正周期为，所以函数是“型函数”.

（2）令，得，因为是定义域为的奇函数，所以的零点为，0，1.

令，所以或0或1，即或或.

画出在上的图象，由的图象关于直线对称，

可画出在上的图象.由的最小正周期为，

可画出在上的图象.

故在上的图象如图所示，

所以函数在上的零点个数等于在上的图象与直线，，的交点个数之和.

当，即时，在上的图象与直线，，的交点个数之和为9.

故的取值范围为

【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.