2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高一下学期第一次阶段测试数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高一下学期第一次阶段测试数学试题

一、单选题

1．的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数诱导公式即可求解.

【详解】解：．

故选：A．

2．已知，则（    ）

A． B．1 C． D．5

【答案】D

【分析】利用三角函数诱导公式和齐次式弦化切即可解答。

【详解】由题意，则．

故选：D﹒

3．设，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】结合正弦函数在上图像的性质，先推出的等价关系，然后判断其和的关系后进行分析.

【详解】，，则，，由，结合正弦函数图像在上的性质可知，或，所以不一定推出，但可以推出，于是“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

4．若函数是奇函数，且在区间是减函数，则的值可以是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为函数是奇函数，所以，，则，故排除选项D，又因为在区间是减函数，所以，解得，即；故选B.

点睛：判定三角函数的奇偶性时，往往与诱导公式进行结合，如：

若为奇函数，则；

若为偶函数，则；

若为偶函数，则；

若为奇函数，则.

5．已知x∈[0，π]，f(x)＝sin(cosx)的最大值为a，最小值为b，g(x)＝cos(sinx)的最大值为c，最小值为d，则(　　)

A．b<d<a<c B．d<b<c<a C．b<d<c<a D．d<b<a<c

【答案】A

【详解】

，又，则

则b<d<a<c

6．将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象，若，则的最小值为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出g(x)解析式，作出g(x)图像，根据图像即可求解﹒

【详解】由题得，，，

∵，∴＝1且＝－1或且＝1，

作的图象，

∴的最小值为＝，

故选：D．

7．如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A．函数在上单调递减 B．点为图象的一个对称中心

C．直线为图象的一条对称轴 D．函数在上单调递增

【答案】D

【分析】先由函数的图象求出的解析式，再结合题意求出，结合正弦函数的图象性质即可求解

【详解】由图象知，

又，所以的一个最低点为，

而的最小正周期为，

所以

又，则，

所以,即，

又，所以，

所以，

将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得的图象，

再把所得曲线向右平移个单位长度得，

即.

由得，

所以在上单调递增，

在上单调递减，

当时，可知在递增，在递减，所以错误；

因为，

所以不是图象的一个对称中心，故B错误；

因为，

所以直线不是图象的一条对称轴，故C错误；

因为在上单调递增，

所以函数在上单调递增，故正确；

故选：.

8．如图所示，设点是单位圆上的一定点，动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点所旋转过的的长为，弦的长为，则函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】取的中点为，设，在直角三角形求出的表达式，根据弧长公式求出的表达式，再用表示，再根据解析式得答案.

【详解】取的中点为，设，

则，，

所以，即，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式.

故选：C.

【点睛】本题考查正弦函数的图象，考查弧长公式，其中表示出弦长和弧长的解析式是解题的关键，属于基础题.

二、多选题

9．下列不等关系成立的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】.AB选项，由，结合单调性可判断；CD选项，由，结合单调性可判断.

【详解】.

AB选项，因为在上单调递增，所以.

因为在上单调递增，在上单调递减，

所以.

综上，，故A正确，B错误；

CD选项，，则.

因为在上单调递减，在上单调递增，

所以.

综上，，故D正确，C错误.

故选：AD.

10．给出的下列命题中正确的是（    ）．

A．函数是奇函数

B．若，是第一象限角，且，则

C．在区间上的最小值是，最大值是

D．是函数的一条对称轴

【答案】AD

【分析】A选项，由奇函数定义可判断选项正误；B选项，由，即可判断选项正误；C选项，，则，后由单调性可判断选项正误；D选项，将代入，验证其是否等于，即可判断选项正误.

【详解】A选项，设，则，

由，且可知，函数是奇函数，故A正确；

B选项，均为第一象限角，但，故B错误；

C选项，，则，因为在上递增，在上单调递减，

所以，，故C错误；

D选项，由可知，是函数的一条对称轴，故D正确.

故选：AD.

11．已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t（s）时离开平衡位置的位移s（cm）满足函数关系式．给出的下列说法中正确的是（    ）．

A．小球开始时在平衡位置上方2cm处

B．小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm处

C．经过小球重复振动一次

D．小球振动的频率为

【答案】BCD

【分析】A选项，即判断时，s的值是否为2；

B选项，即判断s的最小值是否为；

CD选项，由周期，频率计算公式可判断选项正误.

【详解】A选项，时，，即小球开始时在平衡位置上方cm处，故A错误；

B选项，由题可知s的最小值为，即小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm处，故B正确；

C选项，由题可知，最小正周期为，即经过小球重复振动一次，故C正确；

D选项，由C选项分析可知周期为，则振动的频率为，故D正确.

故选：BCD

12．函数的部分图象如图所示，点P，Q，R在函数的图象上，坐标分别为，，，是以PR为底边的等腰三角形，将函数的图象向右平移5个单位后，得到函数的图象，则下列关于的说法中正确的是（    ）．

A．是偶函数

B．在区间上是减函数

C．的图象关于直线对称

D．在上的最小值为

【答案】ABD

【分析】由函数的部分图像求出函数解析式，写出的解析式，判断选项中的命题是否正确.

【详解】由函数的部分图象知，

，所以，解得；

,作轴于点，

则，，当时，，，

，，

根据余弦函数的性质可知是偶函数，A正确；

时，，是单调减函数，B正确；

时，，的图象不关于直线对称，C错误；

时，，，，D正确；

故选：ABD.

三、填空题

13．已知，且为第四象限角，则______．

【答案】

【分析】先求出，再求的值.

【详解】因为，且为第四象限角，

所以是第三象限角，

所以，

所以．

故答案为

【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系和诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14．函数的定义域为______．

【答案】

【分析】根据函数定义域的求法进行求解即可.

【详解】根据题意，得，

解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：.

15．已知，则______．

【答案】

【分析】利用正弦函数的周期性，诱导公式，求得式子的值.

【详解】，

的周期为，

，

则

.

故答案为：.

16．某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，其半径分别为，，(单位：)，则三个圆之间空隙部分的面积为______.

【答案】

【分析】由已知可得,,,得到，，求出，中的小扇形的面积，中的小扇形的面积，中的小扇形的面积，然后用三角形的面积减去三个扇形的面积即可得到答案.

【详解】如图，的半径为cm, 的半径为cm, 的半径为cm,

,,

, ,

又,可得,

，

中的小扇形的面积为，

中的小扇形的面积为，

中的小扇形的面积为，

则三个圆之间空隙部分的面积为

故答案为：

【点睛】本题考查圆与圆相切的性质，考查扇形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题.

四、解答题

17．已知是第三象限角，且.

(1)化简；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接利用诱导公式可化简；

（2）利用同角三角函数的基本关系可求得的值，即可得出的值.

【详解】（1）解：为第三象限角，则.

（2）解：，所以，，

由已知可得，解得，则.

18．已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知．条件①：函数的图象关于直线对称；条件②：函数的图象关于点对称；条件③：对任意实数x，恒成立．

(1)求出的解析式；

(2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根，，求的值及的取值范围．

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）通过相邻对称中心的距离可得周期，进而可得，若选条件①可得，则可求出，则的解析式可得；选条件②，将代入解析式，可得，解出，即得答案；选条件③，可知，解出，即得答案；

（2）先根据平移变换求出，再通过整体法，利用正弦函数的图象和性质可得的最小值，则实数的取值范围可求.

【详解】（1）解：因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为，

所以，即周期，所以．所以．

若选择①：因为函数的图象关于直线轴对称，

所以，，即，．

因为，所以．

所以函数的解析式为．

若选择②，函数的图象关于点对称，所以，

所以，，即，．

因为，所以．

所以函数的解析式为．

若选③：对任意实数x，恒成立，所以，，即，．

因为，所以．

所以函数的解析式为．

（2）解：将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，所以，

当时，，

当时，有最小值且关于对称，所以，

，，．

19．设函数

（1）求函数的对称轴方程；

（2）若时，的最大值为3，求a的值．

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）利用整体代入法，令，即解得对称轴的方程；

（2）先计算时，，再讨论和时的最大值，令其等于3，解方程即得结果.

【详解】解：（1）令，解得，

故函数的对称轴方程为；

（2）时，，故，

故时，时，，解得，

时，时，，解得，

综上可知，或.

20．已知定义在上单调减函数使得对一切实数x都成立，求a的范围．

【答案】

【分析】由题可得对一切实数成立，则.

【详解】因定义在上单调减函数使得对一切实数x都成立，则对一切实数成立.对于，当时，其有最小值，

故要使对一切实数成立，需；

设，

则当，即时，有最小值，为，

故要使对一切实数成立，需.

综上可知，.

21．游乐场中的摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，其中心距离地面，半径（示意图如下），游客从最低点处登上摩天轮，其与地面的距离随着时间而变化，已知游客将在登上摩天轮后分钟到达最高点，自其登上摩天轮的时刻起，

(1)求出其与地面的距离与时间的函数关系的解析式；

(2)若距离地面高度超过时，为“最佳观景时间”，那么在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有多少“最佳观景时间”？

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设，根据已知条件求出、、的值，可得出函数的解析式；

（2）解不等式，即可得解.

【详解】（1）解：设，则，，

所以，

第一次到最高点旋转了半周期，所以

游客从最低点登上，所以，故

（或）.

（2）解：令，则，

（或），

所以，

，

所以，

因此，在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有有最佳观景时间.

22．已知函数的图像两相邻对称轴之间的距离是.若将的图像先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，图像对应的函数为奇函数.

(1)求的解析式；

(2)求图像的对称轴及的单调区间；

(3)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)对称轴为直线，，增区间为，减区间为

(3)

【分析】（1）由正弦函数的周期公式求得，再根据函数是奇函数求得b，得函数的解析式；

（2）令，，，，，，分别求解可得答案；

（3）根据正弦函数的性质求得.再将问题转化为恒成立.令，，由函数的单调性求得的范围，由此求得的范围.

【详解】（1）解：因为，所以，所以.

又因为为奇函数，且，

所以且，又，

所以，，

所以.

（2）解：令，，得；

令，，得；

令，，得，.

所以函数图像的对称轴为直线，.

函数的增区间为，减区间为.

（3）解：因为，所以，所以，所以，

所以.

要使恒成立，即恒成立.

令，，则在上单调递增，

又，得，即，

所以，

即m的取值范围是.