2022-2023学年辽宁省沈阳市辽中区辽中区第二高级中学高一下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省沈阳市辽中区辽中区第二高级中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．下列说法正确的是（    ）

A．第一象限角一定是锐角 B．终边相同角一定相等

C．小于90°的角一定是锐角 D．钝角的终边在第二象限

【答案】D

【分析】根据象限角和终边相同的角，以及锐角和钝角的定义，判断选项中的命题是否正确即可.

【详解】对于A，第一象限角是，第一象限角不一定是锐角，故A错误；

对于B，终边相同角不一定相等，它们可能差，故B错误；

对于C，小于90°的角不一定是锐角，也可能是零角或者负角，故C错误；

对于D，钝角是大于90°且小于180°的角，故D正确；

故选：D.

2．在半径为5cm的扇形中，圆心角为2rad，则扇形面积为（    ）

A．25cm B．10cm C． D．

【答案】C

【分析】根据扇形的面积公式即可求解.

【详解】由扇形面积可得，，

故选：C.

3．若向量，，若与所成角为锐角，则n的取值范围是（    ）

A． B．且

C． D．且

【答案】B

【分析】解不等式和即得解.

【详解】由题得.

因为与所成角为锐角，所以.

综合得且.

故选：B

4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】D

【分析】函数图像左右方向平移遵循“左加右减”原则.

【详解】由于把函数的图象向左平移个单位，

可得的图象，

故为了得到函数的图象，

只需把的图象上所有点向右平移个单位长度即可.

故选：D.

5．函数在区间（，）内的图象是( 　 )

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=

分段画出函数图象如D图示，

故选D．

6．平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先设出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即可．

【详解】设

①，

，②，

与向量(1，0)夹角为钝角，，③，

由①②③解得，，

故选：D．

7．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是

A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称

C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减

【答案】D

【详解】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；

f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；

∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；

由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．

故选D.

8．在信息传递中多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号（形如，某种“信号净化器”可产生形如的波，只需要调整参数，就可以产生特定的波（与干扰波波峰相同，方向相反的波）来“对抗”干扰.现有波形信号的部分图象，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波（标准正弦函数图象），应将波形净化器的参数分别调整为（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】B

【分析】由题图得，求得，再由函数的最大值求得A，将代入，可解得，由此求出非标准正弦波对应的函数，取A的相反数即可得答案.

【详解】解：设干扰信号对应的函数解析式为.

由题图得，（T为干扰信号的周期），解得，

所以.

∵函数的最大值为，∴.将代入，解得，，∵，

∴.∴.

所以欲消除的波需要选择相反的波，即，

所以，，，

故选：B.

二、多选题

9．下列例题中正确的是（    ）

A．已知，且，则

B．若非零向量，满足，则与的夹角是60°

C．若点为内一点，满足，则点是的垂心

D．向量，满足，且，则的最小值为

【答案】CD

【分析】A.举反例判断该选项；B.求得与的夹角是30°，即可判断该选项；C. 证明,,得点是的垂心，即可判断该选项；D. 先求出，再利用基本不等式求最值判断该选项.

【详解】A. 已知，如果，满足，但是，所以该选项错误；

B. 由得，所以，

，设与的夹角为，所以 ，由于，所以，则与的夹角是30°，所以该选项错误；

C. ，则,同理,所以点是的垂心，所以该选项正确；

D.把平方化简得，当且仅当时取等.

所以该选项正确.

故选：CD

10．函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上增函数

C．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数

D．，若恒成立，则的最小值为.

【答案】ACD

【分析】对A，由函数图像即可算出函数的周期，由,即可求出，再代入一个最高点即可求出函数的解析式；对B、C，由图像的平移变换即可求得变换后的图像，然后根据三角函数的单调性以及函数的奇偶性即可判断；对D，通过分离参数，构造新函数，再利用三角函数知识即可求得的最小值.

【详解】对A，由题意知，，，，即， （），（），又，，，所以A正确 ；

对B，把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数，，，

在上不单调递增，故B错误；

对C，把的图像向左平移个单位，则所得函数为，是奇函数，故C正确；

对D，对，恒成立，即，恒成立，令，，则，，，，，

的最小值为，故D正确.

故选：ACD.

11．已知，，为坐标原点，如图四边形为平行四边形，下列结论正确的是（    ）

A．

B．在上的投影的数量为

C．

D．的重心坐标为

【答案】ABC

【分析】根据平面向量的坐标运算，表示出，利用坐标运算法则可判断A；在上投影长度可以利用投影定义和数量积基本公式来计算，进而判断B；根据向量的运算法则计算出，的模长及夹角，结合面积公式计算面积即可判断C；根据三角形的重心坐标公式可以判断D.

【详解】设点的坐标为，，，

∵四边形为平行四边形，

，

，即，，点坐标为，

所以，

，选项A正确；

设与的夹角为，根据投影定义可知，在上的投影为，选项B正确；

在中， ，，，

设与的夹角为，

所以， ，

，选项C正确；

根据三角形重心公式可得，的重心坐标为，即，选项D错误.

故选：ABC.

12．2023年1月出版的《中国高考报告2023》中指出，高考数学试题将会全面的加入复杂情境，更加注重数学思维能力和思想方法的考察，考故难度加大.某教师从“丢手绢”游戏中抽象出以下数学问题，质点和在以坐标原点为圆心，半径为l的上逆时针匀速圆周运动，同时出发，的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5rad／s，起点为射线与的交点，则当与重合时，的坐标可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】设两个质点重合时，所用时间为，则重合时点，的坐标均为，由，可用含的式子表示，再根据的取值，代入运算，得解．

【详解】设两个质点重合时，所用时间为，则重合时点，的坐标均为，

由题意可得，，解得，

当时，，，所以点的坐标均为，故选项A正确；

当时，，，所以点的坐标均为，故选项B正确；

当时，，，所以点的坐标均为，故选项D正确，选项C错误；

故选：ABD.

三、填空题

13．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且，则的值为______．

【答案】0或

【分析】根据三角函数的定义，列方程，即可求解.

【详解】因为角终边上有一点，所以，

所以，得，

解得：或.

故答案为：或

14．已知函数，则函数的定义域为______．

【答案】

【分析】解不等式即得解.

【详解】由题得，

所以.

所以函数的定义域为.

故答案为：

15．已知中，，，是边的中点，为所在平面内一点，若是边长为2的等边三角形，则的值为______．

【答案】或

【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求解作答.

【详解】在中，，，是边的中点，有，

以点为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，

则，因为等边的边长为2，则点或，

，当时，，则，

当时，，则.

故答案为：或

16．函数的图像与函数的图像在上有交点的横坐标之和为______．

【答案】5

【分析】画出与图象，由与都关于对称，运用图象对称性可得交点的对称性即可求得结果.

【详解】因为，，解得：，，

所以是的一条对称轴，

又因为，

所以关于对称，

又因为，，

则与图象如图所示，

则与在有5个交点，

设这5个交点从左到右的横坐标分别为，，，，，

则，，，

所以.

故答案为：5.

四、解答题

17．已知

(1)化简．

(2)若为第三象限角，且，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式即可化简.

（2）利用诱导公式求得利用诱导公式，再利用同角三角函数的基本关系求得的值.

【详解】（1）

．

（2）∵为第三象限角，且，

∴，．

18．已知.

（1）求的值.

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）把平方即得解；

（2）求出，即得解.

【详解】解：（1），

∴.

（2），

∵，

又∵，∴，，，

∴，

∴原式.

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断的符号，要结合的范围判断.

19．已知点A在平面直角坐标系中的坐标为，平面向量，，且，，．

(1)求实数m，n及点B的坐标；

(2)求向量与向量夹角的余弦值．

【答案】(1)，，；(2)．

【分析】(1)由，据此可得m的值，由可得n的值，结合向量的坐标运算确定点B的坐标即可.

根据向量的夹角公式，计算夹角的余弦值即可.

【详解】，，

，

所以，因为，

所以，

所以；

由可知，．

【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，平面向量夹角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

20．已知函数在一个周期的图像上有相邻的最高点和最低点．

(1)求，，的值；

(2)设函数当时，总存在两个零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)，，；

(2).

【分析】（1）根据函数的最值求出，根据函数的周期求出，再根据函数的图象经过求出的值得解；

（2）由题得，等价于，，有两解，数形结合分析得解.

【详解】（1）由函数在一个周期的图象上有相邻的最高点和最低点．

知，，所以，．

∴，∵在函数上，

∴，∴.

∵，∴，∴，，.

（2）由（1）得

∴

∴.

∵，∴

设，所以，.

∵时有两解， ∴，∴

∴实数m取值范围为.

21．已知，，函数的最小值为．

(1)求；

(2)若，求及此时的最大值．

【答案】(1)；

(2)，最大值5．

【分析】（1）化简得，再对分三种情况讨论，利用二次函数的图象和性质得解；

（2）对分三种情况讨论，求出的值，再利用二次函数的图象求解.

【详解】（1）由

．

这里．

①当即时，；

②当即，时，；

③当即，时，．

因此，；

（2），

①若，则有，得，矛盾；

②若，则有，

即，∴或（舍），

∴时，．

③若，，所以此时无解.

所以．

此时，，当时，取得最大值5．

22．已知函数的振幅为1，函数在区间单调，且．

(1)求图像的一条对称轴；

(2)若，求初相．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由振幅为，得，由函数在区间单调，得，且，则，再由，取其中点值，即可得图像的一条对称轴；

（2）结合正弦函数得单调性与周期性，可得，从而知，又，所以有或，，结合函数的一条对称轴方程为，可得，，再分两种情况，即可求解.

【详解】（1）∵振幅为，∴，

∵函数在区间单调，则，

∴即，

∴，

∵，∴

又∵，

∴的一条对称轴方程为.

（2）由（1）知，，

∵，

∴或，，

∵为对称轴，∴，，

若

得：，

∴，又且，所以没有值使得上式成立；

若

得：，

∴，又且，

∴时，，

此时，，又，

∴，即初相为．