2022-2023学年辽宁省实验中学高一下学期4月月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年辽宁省实验中学高一下学期4月月考数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省实验中学高一下学期4月月考数学试题 一、单选题1．（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据诱导公式，计算出函数值，代入相乘即可得出答案.【详解】因为，，，所以，.故选：A.2．已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，代入，即可得出，根据三角函数的符号，即可得出答案.【详解】由已知可得，，，所以，.又，所以，所以，由可解得，.故选：C.3．已知扇形的周长为10cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数为（    ）A．1或4 B．或8 C．1 D．【答案】D【分析】设半径为，弧长为，由已知得出方程组，解方程组，然后根据弧长公式，求出圆心角，检验，即可得出答案.【详解】设扇形圆心角为，半径为，弧长为.由已知可得，，解得或.当时，，舍去；当时，.综上所述，.故选：D.4．函数的定义域为（    ）A．， B．，C． ， D．，【答案】C【分析】由对数函数的性质得，利用正切函数的性质以及余弦函数的性质即可分类求解.【详解】的定义域满足，当时，则等价于或，此时解得,或当时，也符合要求，此时,综上可知：满足的的取值范围为，故选：C5．要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位【答案】A【分析】由函数图像平移的规则求解.【详解】,所以要得到函数的图像，只需将函数的图像向右平移个单位.故选：A6．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】当质点Q与P第二次相遇时，质点Q比P多旋转，解方程确定质点Q所在终边，求坐标.【详解】设当质点Q与P第二次相遇时，用了时间，依题意有，解得，此时质点Q转过角度为，因为是顺时针作匀速圆周运动，质点Q转在角的终边上，圆的半径为1，Q的坐标为.故选：C7．已知函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心的坐标为，则曲线的对称中心坐标为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】函数的最小正周期和一个对称中心的坐标解出，得到解析式，利用整体代入法求对称中心.【详解】函数的最小正周期为，则有，，则，函数图像的一个对称中心的坐标为，则，由，，则，由，解得，所以曲线的对称中心坐标为，.故选：B8．已知，则下列说法错误的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】作图，根据，即可得出A项；由A知，当时，，易知.然后根据余弦函数的单调性，即可得出B项；先根据对数函数的单调性证得，然后根据对数函数的单调性，作差可得，即可得出C项；先根据对数函数的单调性证得，然后根据对数函数的单调性，作差可得，即可判断D项.【详解】对于A项，假设，如图，点为的终边与单位圆的交点，点为轴与单位圆的交点，过点，作轴于点，过点作轴，交的终边于点.设扇形的弧长为，则，，，且，即，即，所以.所以当时，有，故A项正确；对于B项，由A知，当时，，又，所以.又余弦函数在上单调递减，，所以.所以，，故B项正确；对于C项，因为，所以，函数在上单调递减，所以.因为，，在上单调递增，且，所以，所以，所以，，所以.因为，所以，故C项正确；对于D项，因为，所以，函数在上单调递减，所以.因为，，在上单调递增，且，所以，所以，所以，，所以.因为，所以，故D项错误.故选：D. 二、多选题9．下列说法正确的是（    ）A．对于象限角，若，在点在角的终边上B．C．D．若函数的最小正周期为2，则【答案】BC【分析】根据得出角的象限，即可判断A项；先根据辅助角公式化简推出当时，.然后根据，即可得出B项；由，结合反正弦函数的值域，即可得出C项；根据周期列出方程，即可求出的值.【详解】对于A项，因为，所以角为第一象限或第四象限角，故A项错误；对于B项，因为，当时，有，所以，所以，即.因为，所以，故B项正确；对于C项，因为当时，有且只有，函数的值域为，所以，故C项正确；对于D项，由题意可得，，所以，所以，故D项错误.故选：BC.10．下列函数中，最小正周期为且为奇函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据奇偶性的定义以及周期的计算公式即可结合选项逐一求解.【详解】对于A, ,故为偶函数，所以A错误，对于B，，故为奇函数，且周期为，符合要求，对于C，，由于为奇函数，且周期为，所以为奇函数，且周期为，符合要求，对于D，为奇函数，且周期为，符合要求，故选：BCD11．下列关于函数的说法正确的是（    ）A．在区间上单调递增 B．的图象有无数个对称中心C．是周期函数 D．关于的方程有个不同的根【答案】ABD【分析】直接利用基本初等函数的单调性可判断A选项；利用函数对称性的定义可判断B选项；利用函数周期性的定义可判断C选项；作出函数、的图象，数形结合可判断D选项.【详解】对于A选项，因为函数、在区间上均为增函数，故函数在区间上单调递增，A对；对于B选项，设为函数的对称中心，则，所以，，即，即，所以，，所以，函数的对称中心为，即函数的图象有无数个对称中心，B对；对于C选项，假设函数为周期函数，且为函数的一个周期，则，，即，即，即，因为，所以，，因为不是定值，当为定值时，则，从而，矛盾，故函数不是周期函数，C错；对于D选项，由，可得，作出函数、的图象如下图所示：当时，，当时，，即函数、在上的图象没有交点，由图可知，函数、的图象有三个交点，因此，关于的方程有个不同的根，D对.故选：ABD.12．已知当时，有不等式成立.据此结论，下列各角满足不等式的有（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】分别将角代入，整理得到取值范围,进而考察与区间的关系，即可得出答案.【详解】对于A项，由已知可得，，即，不满足，故A错误；对于B项，由已知可得，，即.因为，，所以，所以有，故B正确；对于C项，由已知可得，，即，故C正确；对于D项，由已知可得，，即.因为，，所以，所以有，故D正确.故选：BCD. 三、填空题13．已知向量，，若，则______.【答案】【分析】根据向量共线的坐标表示，即可得出.进而得出，，代入化为齐次式，即可得出答案.【详解】由可得，，即，所以.又，所以，所以，，所以，.故答案为：.14．若函数在上不单调，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】先求出使函数在上具有单调性的的取值范围，再用集合的补集运算求出符合题意的的取值范围．【详解】由题意得，若函数在上单调递增，则,解得：，所以，解得，即，因为，所以且，所以，      ①若函数在上单调递减，则,解得，所以，解得，即，因为，所以且，所以，      ②又因为函数在上不单调，且，所以的取值为①②所表示的不等式的补集，即或.故答案为：或.15．函数的部分图象如图所示，则在上的值域为______.【答案】【分析】由图象得出，，推出.根据，结合图象即可得出，.令，求出的取值范围，根据的单调性，即可得出函数的值域.【详解】由图象可知，，，所以，，所以，. 又，所以，结合图象可知，，所以.又，所以.所以，.令，因为，，所以.因为，函数在上单调递减，在上单调递增，且，，，所以，，所以，在上的值域为.故答案为：.16．设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】根据已知可知，得出区间宽度为.根据正弦函数的图象，得出，求解即可得出答案.【详解】由可得，.令，则，由正弦函数图象可知，区间上存在两个零点，区间宽度最大为，相邻四个零点间的最小距离为.因为，所以，所以，所以.因为在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，所以，，所以，.故答案为：. 四、解答题17．已知.(1)若，且，求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）由诱导公式化简，根据特殊角的三角函数值求角；（2）利用同角三角函数的关系求值.【详解】（1），，且，则或.（2），则，所以，解得或，由，则，得，所以18．已知角，且点为其终边上异于原点的点.(1)请用三角函数的定义证明：；(2)若点满足，求的最小值.【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据三角函数的定义，结合不等式即可求证，（2）由三角换元，结合，的关系，由不等式即可求解.【详解】（1）由题意可知，故，所以，当且仅当时等号成立，因此，即可得，（2）由，不妨设，所以，令，则，所以，由于，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值为19．已知函数，，的图像整体向右平移个单位后图像关于原点对称.(1)求的单调递增区间；(2)若，且，，求和的值.【答案】(1)(2)， 【分析】（1）利用正弦型函数的奇偶性求出，整体代入法求的单调递增区间；（2）由已知条件，结合的对称性，求，利用两角差的余弦公式和倍角公式求.【详解】（1）函数的图像整体向右平移个单位后，得函数的图像，由图像关于原点对称，则，解得，由，得，，解得，所以的单调递增区间为（2）由时，则，，即，又，∴，，则，，，，，，，由，，有，所以20．已知函数的部分自变量、函数值如下表所示.x   025   (1)根据上表提供的信息，补充表中缺失的数据，直接写出函数的解析式和图象的对称中心；(2)设，若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）由已知可得出，进而求出的值，然后根据函数值可求出的值，即可得出，根据条件补充表格即可.解，即可得出函数的对称中心；（2）求出以及的表达式，代入可将原不等式化为.令，求出，换元推得在上恒成立.令，根据基本不等式，求出的最大值，即可得出答案.【详解】（1）由题意可知，，所以，所以.又时，，即，所以.又，解得，所以，.补充表格如下x02522由可得，，所以，函数的对称中心为.（2）由（1）可知，，所以.代入原不等式，可得，即.令，因为，所以，所以，原不等式可化为在上恒成立，即.当时，有，显然成立；当时，有，所以在上恒成立.令，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，，所以，有最大值.则要使在上恒成立，则应有，所以.综上所述，实数a的取值范围为.21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：交x轴于点K，过原点的动直线l上有两点P，Q（P，Q分别在第一、三象限），，，A，B为垂足.已知（为大于零的常数），设，，.(1)用表示，；(2)当时，求△PQK面积的最大值，及取得最大值时的值.【答案】(1)，(2)面积最大为，此时. 【分析】（1）设，，则，.根据三角函数的定义得出，.结合已知代入即可得出答案；（2）根据已知，结合三角函数的定义可推出，，即可根据得出三角形的面积，代入整理即可得出.根据基本不等式，即可得出最大值.【详解】（1）设，，，，因为，所以，则，.根据三角函数的定义可知，，，即，所以有，.由可知，，，所以，所以，即，，则，即.（2）当时，，，则根据三角函数的定义可知，，，所以，△PQK面积为.因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以，，，所以，，所以，△PQK面积的最大值为，此时.22．已知函数.(1)若，，，且在区间上无零点，求的值；(2)若是图象的对称中心，是图象的对称轴，且在区间上无零点，求的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据函数的对称性，结合周期性即可得根据即可求解，（2）根据函数的对称性可得，，其中，即可求解.【详解】（1）由以及且在区间上无零点，可得 ，即，解得 且，因此或，当时，，此时，不符合，故舍去，当，时，，此时，符合，故，（2）由于，且是图象的对称轴，要是在区间上无零点，则，解得由是图象的对称中心，是图象的对称轴得 ，其中,两式子相减得，故当时，，故为最大值为 ，