2022-2023学年四川省成都市城厢中学校高一下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年四川省成都市城厢中学校高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．tan255°=

A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+

【答案】D

【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

【详解】详解：=

【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．

2．的值为                                         (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】.

故选C.

3．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用两角和差余弦公式直接求解即可.

【详解】.

故选：B.

4．若，则cos2x=（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用二倍角公式，转化求解即可．

【详解】解：，则cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2．

故选D．

【点睛】本题考查二倍角的三角函数，考查计算能力．

5．下列函数中是偶函数且最小正周期为的是

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】本题首先可将四个选项都转化为的形式，然后对四个选项的奇偶性以及周期性依次进行判断，即可得出结果．

【详解】中，函数，是偶函数，周期为；

中，函数是奇函数，周期；

中，函数，是非奇非偶函数，周期；

中，函数是偶函数，周期.

综上所述，故选A．

【点睛】本题考查对三角函数的奇偶性以及周期性的判断，考查三角恒等变换，偶函数满足，对于函数，其最小正周期为，考查化归与转化思想，是中档题．

6．函数图象的对称轴方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先化简函数得，令，从而可求出对称轴方程.

【详解】，

令，得，此即为所求对称轴方程．

故选：A

7．设，，，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二倍角公式、诱导公式、两角差的正弦公式，化简，再利用正弦函数的单调性

比较大小．

【详解】因为，

，，

函数单调递增，

所以，即.

故选：C.

【点睛】本题考查正弦函数的单调性、二倍角公式、两角和差的三角公式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力.

8．已知函数，，则函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角恒等变化，利用两角和余弦公式、二倍角公式、辅助角公式，化简函数得，再根据，求得，由三角函数性质即可求解值域

【详解】当时，，

∴.

故选：B.

【点睛】本题考查三角函数求值域问题，考查三角恒等变换，属于基础题.

二、多选题

9．下列函数中，最小正周期为，且为偶函数的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】依次判断函数的周期和奇偶性得到答案.

【详解】A. ，函数周期为，非奇非偶函数，排除；

B. ，函数周期为，偶函数，满足；

C. ，函数周期为，偶函数，排除；

D. ，函数周期为，偶函数，满足；

故选：

【点睛】本题考查了三角函数的周期和奇偶性，意在考查学生对于三角函数性质的综合运用.

10．下列说法中正确的是（    ）

A．正弦函数、余弦函数的定义域是R，值域是

B．余弦函数当且仅当时，取得最大值1

C．正弦函数在上都是减函数

D．余弦函数在上都是减函数

【答案】ABC

【分析】根据正余弦函数的基本性质，直接判断即可.

【详解】对A：正弦函数、余弦函数的定义域是R，值域是，故A正确；

对B：余弦函数当且仅当时，取得最大值1，故B正确；

对C：正弦函数在上都是减函数，故C正确；

对D：余弦函数在上都是增函数，故D错误.

故选：ABC.

11．已知函数，则（    ）

A．的最大值是2 B．的最小正周期为

C．在上是增函数 D．的图像关于点对称

【答案】AC

【分析】对A，由函数的解析式即可求出函数的最大值，对B，D根据正弦函数的周期与对称中心公式，整体代入即可判断；对C，先求出的单调递增区间，即可判断.

【详解】解：对A，，

故当时，，故A正确；

对B，的最小正周期，故B错误；

对C，令，

解得：，

故的单调递增区间为：，

当时，的一个单调递增区间为：，

故在上单调递增，故C正确；

对D，令，

解得：，

故的对称中心为：，

令，

即，

解得：，

故不是的对称中心，故D错误.

故选：AC.

12．下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的定义域是

C．

D．若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为

【答案】ACD

【分析】根据余弦型函数最小正周期求法可知A正确；根据正切型函数定义域的求法可知B错误；利用同角三角函数关系和诱导公式可求得C正确；根据扇形弧长和面积公式可求得D正确.

【详解】对于A，的最小正周期，A正确；

对于B，令，解得：，

的定义域为，B错误；

对于C，，C正确；

对于D，设扇形半径为，则，解得：，

扇形面积，D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．____________.

【答案】

【分析】利用二倍角余弦公式直接化简，结合特殊角的三角函数值可得答案.

【详解】

故答案为：

【点睛】本题考查二倍角余弦公式，是基础题

14．__________．

【答案】.

【分析】利用化简表达式，由此求得表达式的值.

【详解】由于，故.

【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

15．函数在区间上的最小值为__________．

【答案】1

【解析】化简函数，根据自变量的范围，即可求出结论.

【详解】，，

所以，所以，

的最小值为1.

故答案为:1.

16．关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图象关于y轴对称．

②f（x）的图象关于原点对称．

③f（x）的图象关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

【答案】②③

【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.

【详解】对于命题①，，，则，

所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，，

，则，

所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；

对于命题④，当时，，则，

命题④错误.

故答案为：②③.

【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

四、解答题

17．已知，，，是第三象限角，求的值.

【答案】

【解析】根据平方关系得出，，由两角差的余弦公式求解即可.

【详解】由，，得.

又由，是第三象限角，得.

所以.

【点睛】本题主要考查了平方关系以及两角差的余弦公式，属于中档题.

18．已知，且.

（1）求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据已知条件由同角三角函数基本关系求出的值，再由正弦的二倍角公式即可求解；

（2）由同角三角函数基本关系求出的值，再由两角差的正切公式计算

即可求解.

【详解】（1）因为，且，所以，

所以；

（2）由（1）知：，，

所以，

.

19．已知函数，.

(1)用五点法作图，填表并作出在一个周期内的图象

(2)写出函数单调递减区间和其图象的对称轴方程；

【答案】(1)表格见解析；图象见解析

(2)单调递减区间为；对称轴为

【分析】（1）根据“五点法”可填写表格，并描点作出函数图象；

（2）根据正弦型函数单调区间和对称轴的求法直接求解即可.

【详解】（1）由“五点法”可填表如下：

由此可得图象如下图所示，

（2）令，解得：，

的单调递减区间为；

令，解得：，

的对称轴方程为.

20．已知函数．

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数的最大值及取得最大值时自变量的取值集合；

(3)求函数的单调递减区间．

【答案】(1)

(2)函数的最大值为2，取得最大值时自变量的取值集合为.

(3)

【分析】（1）利用三角恒等变换公式求出函数的解析式即可求解；

（2）利用正弦函数的性质求最大值；

（3）利用正弦函数的性质求单调递减区间.

【详解】（1）

,

所以函数的最小正周期为.

（2）当，即，

时函数取得最大值为2，

所以函数的最大值为2，

取得最大值时自变量的取值集合为.

（3）当，即，

所以函数的单调递减区间为.

21．已知函数的最大值为，且图像的两条相邻对称轴之间的距离为，求：

(1)函数的解析式；

(2)当，求函数的单调递减区间．

【答案】(1)；

(2)和

【分析】（1）根据降幂公式与辅助角公式化简函数解析式，然后由题意求解，从而求解出解析式；（2）根据（1）中的解析式，利用整体法代入化简计算函数的单调减区间，再由，给赋值，求出单调减区间.

【详解】（1）化简函数解析式得，因为图像的两条相邻对称轴之间的距离为，即，且函数最大值为，所以且，得，所以函数解析式为.

（2）由（1）得，，得，因为，所以函数的单调减区间为和

22．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)求不等式的解集.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据最值求出的值，再根据函数的周期求出的值，再根据最小值点求出的值即得解；

（2）利用余弦函数图象解不等式即得解.

【详解】（1）由图知，，最小正周期，∴.

由图象过点，得，解得.

∵，∴，∴.

（2）由，得，

∴，解得.

即不等式的解集为