2022-2023学年四川省眉山市彭山区第一中学高一下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年四川省眉山市彭山区第一中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据诱导公式化简即可得所求结果.

【详解】.

故选：C.

2．函数的最小正周期和最大值分别是（    ）

A．和 B．和 C．和 D．和

【答案】D

【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式以及正弦型函数的最值可得解.

【详解】的最小正周期，最大值为．

故选：D.

3．化简： （     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用向量的加减运算法则即可求解.

【详解】

故选：.

4．下列是函数的对称中心的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出函数的对称中心，逐个检验即可得出答案.

【详解】由可得，，

所以，函数的对称中心的是，.

对于A项，由，可得，故A项错误；

对于B项，由，可得，故B项错误；

对于C项，由，可得，故C项错误；

对于D项，由，可得，故D项正确.

故选：D.

5．已知角的终边经过点，则的值是（     ）

A．1或 B．或 C．1或 D．或

【答案】B

【解析】先求得点与原点间的距离，再根据正弦函数和余弦函数的定义，分，

两种情况讨论求解.

【详解】由题意得点与原点间的距离．

①当时，，

∴，，

∴．

②当时，，

∴，，

∴．

综上，的值是或．

故选：B

【点睛】本题主要考查三角函数的定义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

6．已知函数，则（    ）

A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称

C．为奇函数 D．为偶函数

【答案】C

【分析】根据余弦函数的图象性质结合函数的奇偶性的定义求解.

【详解】，，A错误；

，B错误；

，

所以是奇函数，C正确；

，所以不是偶函数，D错误．

故选:C.

7．要得到的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【分析】将整理成，然后利用平移变换即可求解.

【详解】由于函数，

故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象.

故选：D．

8．已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：

①在区间上有且仅有3个不同的零点；

②的最小正周期可能是；

③的取值范围是；

④在区间上单调递增．

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④

【答案】B

【分析】令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④.

【详解】由函数，

令，则

函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，

由，得，则，

即，，故③正确；

对于①，，，

当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；

当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误；

对于②，周期，由，则，，

又，所以的最小正周期可能是，故②正确；

对于④，，，又，

又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．

故正确结论的序号是：②③

故选：B

【点睛】方法点睛：函数的性质：

(1) .

(2)周期

(3)由 求对称轴，由求对称中心.

(4)由求增区间；由求减区间.

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．零向量与任意向量平行 B．是向量的必要不充分条件

C．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 D．若，，则

【答案】AB

【分析】根据零向量及向量共线的性质直接可判断AC选项，根据向量相等的定义可判断B选项，根据向量共线的定义可判断D选项.

【详解】A选项：零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量都平行，A选项正确；

B选项：向量是即有方向又有大小的量，若，与反向，不一定成立，

若，则，故是向量的必要不充分条件，B选项正确；

C选项：向量与向量是共线向量，则与方向相同或相反，

点，，，可能在同一条直线上，也可能组成平行四边形，故C选项错误；

D选项：当时，满足，，但与不一定平行，D选项错误；

故选：AB.

10．下列三角式中，值为1的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】对A、B、C三个选项都套用2倍角公式计算即可，D选项直接计算就可选出答案.

【详解】A选项,，故正确.

B选项，，故正确.

C选项，，故正确.

D选项，，故错误

故选：ABC

11．已知函数，则（    ）

A．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到

B．在上单调递增

C．在内有2个零点

D．在上的最大值为1

【答案】BCD

【分析】A.根据函数的平移判断；B.求出函数的单调增区间来判断；C.求出函数的零点来判断；D.求出函数的最大值来判断；

【详解】A.由题得，

由的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故A错误；

令，

得其增区间为，

所以在上单调递增，故B正确；

令得，

得，又．

所以可取，即有2个零点，故正确；

由得，

所以，所以的最大值为1，故D正确．

故选：BCD．

12．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．的图象关于直线轴对称

C．当则函数在上单调递增

D．当时，最小值为0，则

【答案】BD

【分析】A、B分别判断、是否成立即可；C、D研究正弦函数和二次函数所构成的复合函数的单调性，以及正弦函数的值域判断正误.

【详解】A：，又，故不一定成立，错误；

B：，即关于直线轴对称，正确；

C：由，令，则，

而在上递增，在上递增，上递减，

所以在上递增，在上递减，错误；

D：由，令，则，而，

要使在上最小值为0，只需保证至少取到或1中的一个值，但不能小于，即，正确.

故选：BD

三、填空题

13．已知，则___________.

【答案】

【分析】利用已知等式可求得，由两角差的正切公式可求得结果.

【详解】由得：，，

.

故答案为：.

14．函数的最小值是______．

【答案】##0.75

【分析】首先函数化简为关于的二次函数，再利用二次函数求最值.

【详解】函数，，

当时，函数取得最小值.

故答案为：

15．若，，且，，则的值是______．

【答案】##

【分析】由以及，求出的值，再求出，再由可求出的值，利用两角和的余弦公式计算的值，结合角的范围即可求得答案.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

因为，，所以，

因为，所以，

所以，

所以

，

因为，，所以，

所以.

故答案为：.

16．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

【答案】2

【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.

【详解】由图可知，即，所以；

由五点法可得，即；

所以.

因为，；

所以由可得或；

因为，所以，

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，

解得，令，可得，

可得的最小正整数为2.

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.

故答案为：2.

【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.

四、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的对称轴方程及单调递减区间；

(2)求函数在区间的值域；

【答案】(1)对称轴为，；单调递减区间为，

(2)

【分析】（1）首先利用三角函数恒等变换，化简函数解析式，再根据三角函数的性质求解；

（2）根据（1）的结果求的范围，再根据三角函数的性质求函数的值域.

【详解】（1），令，则对称轴为，        

令，，则，，所以单调递减区间为，．

（2）∵，则，∴，∴，故函数在区间的值域为．

18．求下列式子的值

(1)

(2).

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）原式；

（2）

.

19．已知．

(1)求、的值；

(2)求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由两角和正切公式求出，再由余弦二倍角公式化简为关于正切的形式求解；

（2）由二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系直接化切求解.

【详解】（1）因为，所以，

所以，即，解得，

所以；

（2）由已知得，则

.

20．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并写出函数的解析式．

(2)将的图象向左平行移动个单位长度，得到的图象．若的图象关于直线对称，求的最小值．

【答案】(1)填表见详解；

(2)

【分析】（1）根据表中已知数据先得出的值，根据周期即可得到的值，从而得到的值，进而函数的解析式可得到，表中数据可补充完整；

（2）先根据平移变换求得的解析式，再根据正弦的对称性质即可求解．

【详解】（1）根据表中已知数据，得，

，可得，

当时，，解得，

所以．

数据补全如下表：

（2）由（1）知，得．

令，解得，．

由于函数的图象关于直线对称，

令，解得，．

由可知，当时，取得最小值．

21．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点在弧上（异于点)，过点作，垂足分别为，记，四边形的周长为.

（1）求关于的函数关系式；

（2）当为何值时，有最大值，并求出的最大值.

【答案】（1）；（2）时，.

【详解】试题分析：（1）利用直角三角形中的三角函数定义得到相关边长，利用周长公式和三角恒等变换进行求解；（2）利用三角函数的性质进行求解.

试题解析：（1），

，

（2），，当时，，

所以时，.

22．已知函数的部分图像如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，求函数的解析式与单调递增区间；

(3)在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)，单调递增区间为

(3)存在；

【分析】（1）根据三角函数的图形，观察最值，周期，对称性，分别求解，即可求解；

（2）利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再根据三角函数的性质求解；

（3）将问题转化为函数的值域是值域的子集，建立不等式求解.

【详解】（1）由图可知，，则，，所以，．所以，即

又，所以当时，，所以．

（2）将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得：，再向右平移个单位长度得到：，由，，解得，，所以函数的单调递增区间为

（3）由，得，由，得，所以，所以．又，得，所以．

由题可知，得，解得，所以存在，使得成立．