2022-2023学年四川省南充市南充市第九中学高一下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年四川省南充市南充市第九中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数值求解即可．

【详解】，

故选：C．

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据诱导公式即可化简求解.

【详解】，

故选：A

3．已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据扇形面积公式即可求出.

【详解】设扇形的圆心角为，

则，即，解得.

故选：C.

4．已知为角终边上一点，则（    ）

A．7 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】先根据三角函数的定义求出，再利用齐次化将弦化切进行求解.

【详解】为角终边上一点，故，故.

故选：B

5．“ ”是“函数为偶函数”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根据充分必有条件的定义求解.

【详解】若 ，则 ，是偶函数；

若 是偶函数，对于任意的x，有 ，即 ，

，  ，不能推出 ，

所以“ ”是“是偶函数 ”的充分不必有条件；

故选：A.

6．，则的值为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】D

【分析】根据，利用倍角公式和平方关系求得，再利用求解.

【详解】

故选：D.

【点睛】本题主要考查倍角和半角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

7．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先根据函数的奇偶性，可排除BD，根据当时，即可排除C得出答案.

【详解】因为，

所以，

所以为偶函数，故排除BD；

当时，，，则，故排除C.

故选：A．

8．函数，若，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题得，进而可知在，处取到最大值和最小值，根据三角函数的性质可得，进而求解即可.

【详解】因为

，

又，

所以在，处取到最大值和最小值，

不妨设在处有最大值,则，即，

处取到最小值,则，即，

所以，，，

所以当时，的最小值为.

故选：C.

二、多选题

9．下列说法中错误的（    ）

A．锐角是小于的角 B．函数的周期是

C．若，，则 D．若，满足且与同向，则

【答案】ABCD

【分析】根据锐角的定义可判断A选项；根据周期函数的定义可判断B选项；结合，，不共线可判断C选项；根据向量的概念判断D选项.

【详解】对于A，大于小于的角叫做锐角，故A错误；

对于B，函数，

如图，函数不为周期函数，故B错误；

对于C，若，则不共线的，也满足，，故C错误；

对于D，向量不能比较大小，故D错误.

故选：ABCD.

10．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】辅助角公式化简已知，即可得出A项；由已知可得，，展开即可得出B项；先得出，根据已知可得，开方即可判断C项；根据，结合三角函数的符号，即可推出，进而得出，即可得出D项.

【详解】对于A项，因为，

所以，故A项正确；

对于B项，由已知可得，，

即，

所以，，故B项正确；

对于C项，.

由已知，，可知，所以，

所以，，故C项错误；

对于D项，因为，，，所以，

所以，.

又，所以，故D项正确.

故选：ABD.

11．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（    ）

A． B．为函数的一个对称中心点

C．在上单调递减 D．可将函数向右平移个单位得到函数

【答案】ABD

【分析】根据函数图象可求出、、的值，可得的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案.

【详解】由题可得得，，，则，故A正确；

又，所以，又，

所以，所以，

对于B，当时，，所以函数图象关于点对称，故B正确；

对于C，由，可得，

令，可得，所以不是函数一个递减区间，故C错误；

对于D，将函数向右平移个单位得到，故D正确.

故选：ABD.

12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒位于点，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足，），则下列叙述正确的是（    ）

图1                 图2

A．筒车转动的角速度.

B．当筒车旋转100秒时，盛水筒对应的点的纵坐标为

C．当筒车旋转100秒时，盛水筒和初始点的水平距离为6

D．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6

【答案】ACD

【分析】根据题意求函数的解析式，结合正弦函数逐项分析判断.

【详解】对于A：由题意可知：，且，解得，

即筒车转动的角速度，A正确；

∵，则，故，

且，解得，

故，

对于B：令，则，

故B错误；

对于C：当筒车旋转100秒时，

盛水筒对应的点的横坐标为，

所以盛水筒和初始点的水平距离为，故C正确；

对于D：若，则，

可得，所以，

即盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6，故D正确；

故选：ACD.

三、填空题

13．化简：__________．

【答案】

【分析】根据向量的加减法运算法则即可求解.

【详解】,

故答案为：

14．函数的定义域为__________．

【答案】

【分析】解不等式,即得解.

【详解】由题意得.

解得.

故答案为：.

15．在中，，，则_______________．

【答案】或

【分析】利用同角三角函数关系式先求出，的值，再利用展开求解即可.

【详解】在中，，，

所以，

又，，

所以，

所以，

当时，

，

当时，

，

故答案为：或.

16．已知（且），若时，有唯一解，则__________．

【答案】-5

【分析】根据的范围求出的范围，再由有唯一解可得的取值范围，又且，分别讨论的值，求出有唯一解时的值.

【详解】根据，所以，

因为有唯一解，所以，解得，

当，，则或，

解得或，因为，可得或不唯一，舍去；

当，，则或，

解得或，因为，可得唯一；

当，，则或，

解得或，因为，可得无解，舍去；

当，，则或，

解得或，因为，可得无解，舍去；

当，，则或，

解得或，因为，可得无解，舍去；

当，，则或，

解得或，因为，可得无解，舍去；

综上所述，的值为-5.

故答案为：-5.

四、解答题

17．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)；

(2)分子分母同时除以cosθ，化弦为切﹒

【详解】（1），sinθ＝2cosθ，；

（2）原式﹒

18．已知，为锐角，且，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求出，再根据两角和的正弦公式计算可得；

（2）首先根据同角三角函数的基本关系求出，再根据计算可得；

【详解】（1）∵，为锐角，，∴

∴=

（2）∵为锐角，∴，

由得，

∴

=

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，以及两角和的正弦、余弦公式的应用，属于基础题.

19．已知函数.

(1)当时，求函数的单调减区间；

(2)当时，求函数的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可根据整体法求解单调区间，

（2）根据得，结合正弦函数的性质即可求解最值.

【详解】（1），

令,解得，

所以函数的单调减区间为

（2）当时，，

当时，取最大值，且最大值为，

当时，取最小值，且最小值为，

故值域为

20．长春某日气温y（℃）是时间t（，单位：小时）的函数，该曲线可近似地看成余弦型函数的图象．

(1)根据图像，试求（，，）的表达式；

(2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23℃．根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？（忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下！）

【答案】(1)，

(2)应在时间段将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过（小时）

【分析】（1）结合函数图象，由求得A，b，再由求得T，再将，代入求解；

（2）由（1）得到解析式，令求解.

【详解】（1）解：根据以上数据知，，

解得，；

由，解得，

所以；

由时，，即，

解得，即，；

所以，；

由，解得；

所以，；

（2）令，

得，

即，；

解得，；

当时，，

所以24小时营业商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售，

且单日室外销售时间最长不能超过（小时）．

21．已知函数的两个相邻零点之间的距离为，且（在下面两个条件中任选择其中一个，完成下面两个问题）.条件①：的关于对称；条件②：函数为奇函数.

(1)求的解析式；

(2)将的图象向右平移个单位，然后再将横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若当时，的值域为，求实数的取值范围.

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】（1）根据零点可得周期进而得，根据函数的对称性可解，进而可得，

（2）根据函数图象的变换可得，进而结合正弦函数的性质即可求解.

【详解】（1）因为函数的两个相邻零点之间的距离为，

所以的周期，由，得，

选①：由，解得：，

因为，所以，故.

选②：因为是奇函数，即，

所以是的一个对称中心，

由，解得：，

因为，所以，故.

（2）根据题意得，，

当时，

因为的值域为，则，

解得：，故实数的取值范围是.

22．已知.

(1)若，求的值；

(2)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在上有4个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先化简求得的解析式，根据，求得的值，进而求得的值；

（2）先求得，根据函数在上有4个零点，可求得实数的取值范围.

【详解】（1）

若，即，

则.

（2）易知，

根据题意，设，

因为，所以，

所以，所以，

所以原方程变为，

令

因为原方程有4个零点，而方程在至多两个根，

所以，且在有两个零点，

则，解得，

即.