2022-2023学年云南省临沧市临翔区第一中学高一下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年云南省临沧市临翔区第一中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，代入计算即可得解.

【详解】由，可得，

故选：D.

【点睛】本题考查了集合的运算，考查了补集和并集的计算，属于基础题.

2．复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.

【详解】，故对应的点为

故选:D．

3．已知向量，，若，且，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量坐标的线性运算得得坐标，在根据向量垂直的坐标关系，即可得实数的值.

【详解】因为向量，，所以，

又，所以，解得.

故选：C.

4．已知，且是第二象限角，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简求解.

【详解】由题意得，则．

故选：B

5．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由二次函数的性质和复合函数的单调性及函数的定义域可得结论．

【详解】由题可得，解得或，

由二次函数的性质和复合函数的单调性可得

函数的单调递增区间为

故选：A．

6．若，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知，结合角的范围，即可得出，.然后根据两角差余弦公式，即可得出答案.

【详解】因为，，所以，

所以，.

又，所以.

所以，.

故选：C.

7．设向量满足，，则（    ）

A． B．11 C． D．15

【答案】C

【分析】利用向量数量积的性质与运算法则找到与的关系，即可求得结果.

【详解】因为，，

所以，即，

故 ，即.

故选：C．

8．定义在上的奇函数满足：任意，都有，设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用函数的单调性比较大小.

【详解】因为任意，都有，

所以在单调递增，

，

因为，

所以，

即，

故选:C

二、多选题

9．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（      ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】结合函数的奇偶性及单调性逐一判断即可.

【详解】解：对于选项A，函数既是奇函数，又在区间上单调递增，即A符合题意；

对于选项B，函数为非奇非偶函数，即B不符合题意；

对于选项C，函数既是奇函数，又在区间上单调递增，即C符合题意；

对于选项D，函数是偶函数，即D不符合题意，

即选项A,C符合题意，

故选：AC.

【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性，属基础题.

10．下列命题中为真命题的是（    ）

A．函数与表示同一个函数

B．的充要条件是

C．不等式的解集为

D．若，且满足，则的最小值为

【答案】BD

【分析】A.用函数的定义判断；B.由等价于，等价于判断；C.利用含参一元二次不等式的解法求解判断；D.结合条件，利用通分，将问题转化为，再利用“1”的代换，由基本不等式求解判断.

【详解】A.函数的定义域为，的定义域为R，所以不是同一个函数，故错误；

B. 等价于，等价于，故正确；

C.对于不等式，当时，无解；当时，解集为；当时，解集为，故错误；

D.因为，且满足，则，

，

，当且仅当，即时，等号成立，故正确；

故选：BD

11．在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，BE=2EC，F是CD的中点，且AE=2，AF=3，∠EAF=60°，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用向量对应线段的位置关系及加减数乘的几何意义得、，，即可得，再应用向量数量积的运算律求.

【详解】由题设，①，

②，

所以①2②得即，

②①得，故，A正确、B错误；

所以，

故，故C正确、D错误.

故选：AC

12．已知函数的相邻对称轴之间的距离为，且图象经过点，则下列说法正确的是（    ）

A．该函数解析式为

B．函数的一个对称中心为

C．函数的定义域为

D．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，且函数的图象关于原点对称，则b的最小值为.

【答案】ABC

【分析】由三角函数的性质求出函数解析式为可判断A；可判断B；求函数的定义域即为，解不等式可判断C；由三角函数的平移变化结合三角函数的奇偶性可判断D.

【详解】由题意知，该函数最小正周期为，解得，

即，将点代入，得，

所以，函数解析式为，选项A正确；

对于选项B，，因而选项B正确；

对于选项C，，满足，

所以，解得，从而选项C正确；对于选项D，由题意，，

根据该函数为奇函数，知，从而得到，

所以b的最小值为，故选项D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．函数，则__________．

【答案】

【详解】试题分析：．

【解析】1、函数的解析式；2、指数式与对数式运算．

14．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________．

【答案】

【分析】根据投影向量的定义求解.

【详解】因为，，

所以向量在方向的投影向量为.

故答案为：

15．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为_____________ .

【答案】

【分析】由正弦定理得到，结合基本不等式得到，从而求出，得到面积的最大值.

【详解】由正弦定理得，，

因为，所以，即，

由余弦定理得，

由基本不等式得，故，

故，故，

当且仅当时，等号成立，面积的最大值为

故答案为：

16．已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，则函数在区间上零点的个数为__________个.

【答案】6

【分析】根据、的性质，判断在、的交点情况，结合的性质，判断在上的交点情况，最后利用导数判断上的交点，即可知在上的零点个数.

【详解】由题设，易知时，有，

，故在无零点，同理在也无零点.

∵，故将的图象向右平移个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍，

∴在平面直角坐标系，、在上如图所示：

又，故、在上的图象共有5个不同交点，

下证：当，有且只有一个零点.

此时，而，故在上为减函数，

故当，有，当且仅当时等号成立.

综上，、在上的图象共有6个不同交点，即在有6个不同的零点，

故答案为：6.

【点睛】关键点点睛：利用有及各分段函数的性质，分区间判断它们的交点情况，即可知的零点个数.

四、解答题

17．已知函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其图象的一条对称轴.

(1)求的值；

(2)用“五点法”列表，并在图中画出函数在区间上的图象；

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）通过对称轴之间的距离求出周期进而求得，再通过直线是其图象的一条对称轴，代入整体的思想求出；

（2）利用五点作图法，列表、描点、连线可作函数在区间上的图象.

【详解】（1）相邻两条对称轴之间的距离为的最小正周期.

直线是函数的图象的一条对称轴，

.

（2）由知

故函数在区间上的图象如图.

18．已知的三个内角所对的边分别为，是锐角，且.

（1）求的度数；

（2）若，的面积为，求的值.

【答案】(1)；(2)7.

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，整理化简即可求得角；

（2）由面积公式求得，结合余弦定理，即可求得.

【详解】（1），利用正弦定理可得

又因为，故可得，又因为是锐角

故可得.

（2）由，结合，可得

又因为，

由余弦定理可得.

故.

【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角，以及面积公式，余弦定理的简单应用，属综合基础题.

19．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元.设该公司的仪器月产量为台，当月产量不超过400台时，总收益为元，当月产量超过400台时，总收益为元.（注：总收益=总成本+利润）

（1）将利润表示为月产量的函数；

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？

【答案】(1) . (2) 当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25000元.

【分析】（1）利用已知条件，结合分段函数列出利润表示为月产量的函数；

（2）利用分段函数的解析式，分段求解函数的最大值即可．

【详解】（1）由题意得总成本为（20000+100）元，

所以利润.

（2）当时，，

所以当时，的最大值为25000；

当时，是减函数，

所以

综上，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25000元.

【点睛】本题考查利用函数思想求解实际问题，求解函数的解析式是解题的关键，考查发现问题解决问题的能力，是基础题．

20．在中，角所对的边分别为，且满足：向量与向量共线.

(1)求角；

(2)三角形的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由向量共线可得，利用正弦定理边化角和三角恒等变形可得答案；

（2）利用余弦定理及已知条件可得的值，再由（1）和三角形面积公式即可得到答案.

【详解】（1）解：向量与量共线，

，

由正弦定理边化角得，

即，

，，

，，

，；

（2）有余弦定理，及得：

，

，又由（1）得，

三角形的面积.

21．已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）证明在上为减函数；

（3）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】(1),；(2)证明见解析；(3)

【分析】（1）由求得；由求得；

（2）利用单调性的定义证明即可；

（3）根据奇函数和单调性脱去“”，得到关于的不等式恒成立，根据二次函数的性质即可求解的范围．

【详解】(1)∵为上的奇函数，

∴由得，

又得，

,；

(2)任取，且，则

，

∵, ∴，

∵ ，

∴，

即，

故为上的减函数；

（3）由得，

∵是奇函数,∴，

∵在上为减函数 ，

∴对恒成立，即恒成立，

当时显然不成立，

当时，满足，解得，

综上可得：．

【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，以及转化思想的应用，二次函数的最值以及单调性的应用，是中档题．

22．设函数.

(1)当时，求函数的值域；

(2)的内角，，所对的边分别为，，，且，，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先将函数利用和差角、降幂公式、辅助角公式进行化简得

，再根据x的取值，求得值域；

（2）根据第一问求得角，再根据正弦定理求得角B，然后再求得角C的正弦值和边b，利用面积公式求得面积.

【详解】（1），

，，，函数的值域为．

（2）由（1）知，，

，，，即，

，，

，又，，

，

又，，．