2022-2023学年云南省曲靖市第一中学高一下学期第一次阶段性测验数学试题含解析

2022-2023学年云南省曲靖市第一中学高一下学期第一次阶段性测验数学试题

一、单选题

1．已知向量，若与方向相反，则（    ）

A．0 B． C．－ D．±

【答案】C

【分析】解方程求出，再检验得解.

【详解】向量，，若与方向相反，

所以，解得.

当时，，与方向相同，与已知不相符，所以舍去.

当时，，与方向相反，符合已知.

故选：C

2．已知，则（    ）

A． i  B．－i C．1 D．－1

【答案】C

【分析】利用复数的乘除法可得，后由共轭复数定义可得答案.

【详解】由题，，∴.

故选：C．

3．已知点，，向量，，则与的夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由平面向量的坐标运算求得，，结合平面向量的夹角公式即可求得答案．

【详解】由题意，得，，

则与的夹角的余弦值为．

故选：A．

4．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcos C＝c（1－3cos B），则sin C∶sin A＝（　　）

A．3∶1 B．3∶2 C．1∶3 D．4∶3

【答案】A

【分析】利用正弦定理及三角恒等变换即可求解.

【详解】由正弦定理得，

即，，

∵,∴，即，，

故选：A.

5．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先计算，再根据投影向量公式即可计算.

【详解】

在上的投影向量为

故选：B

6．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】在中，由余弦定理得，进而求出，再在中，利用正弦定理得解.

【详解】由题意，在中，由余弦定理得；

因为，所以，

在中，由正弦定理所以，

解得.

故选：D

7．在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平面向量基本定理，用表示即可得答案.

【详解】解：如图，因为点为的中点，，

所以，，

，

所以，即，解得

所以，的值为.

故选：B

8．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，，若点P为的费马点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由余弦定理和两角和的余弦公式化简，可得，，再根据等面积法即可求得，“费马点”定义可得该点与三角形的三个顶点的连线两两成角，从而求得答案.

【详解】,

即 ,

又 ,

,

即 ,

, 又.

由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，

再由余弦定理知, ,,

,

.

由等号左右两边同时乘以可得：

，

.

故选：C.

【点睛】本题主要考查两角和差的余弦公式、余弦定理，平面向量的数量积以及等面积法的应用；理解新概念灵活运用，属于较难题.

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）

A．复数的虚部为

B．在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第四象限

C．若为虚数单位，n为正整数，则

D．若，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为

【答案】CD

【分析】求得复数的虚部判断选项A；

求得复数的共轭复数对应的点所在象限判断选项B；

求得的值判断选项C；

由求得z对应的点的轨迹判断选项D.

【详解】选项A：复数的虚部为，故A错误；

选项B：在复平面内，复数的共轭复数为，

对应的点的坐标为，位于第二象限，故B判断错误；

选项C：，故C判断正确；

选项D：设，，对应的点的坐标为，由得，所以在以原点为圆心1为半径的圆内（含圆周），在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为，故D判断正确.

故选：CD

10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形ABCDEF，下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．在上的投影向量为

【答案】BCD

【分析】对A，可得与为相反向量，故A错误；对B，证明即得解；对C,求出即得解；对D，证明即得解.

【详解】对A，，显然由图可得与为相反向量，故A错误；

对B，由图易得，直线平分，

且为正三角形，根据平行四边形法则有与共线且同方向，

易知均为含的直角三角形，故，则，而，故，故，故B正确；

对C，， ，则，又，， ，，故C正确；

对D，由C知，则在上的投影向量为，故D正确.

故选：BCD.

11．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ）

A．“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件

B．若，则为等腰三角形

C．命题“若，则”是真命题

D．若，，，则符合条件的有两个

【答案】AC

【分析】由为锐角三角形，可得，根据正弦函数的单调性以及诱导公式可得.取为钝角，可知满足题意，即可判断A项；由已知可得或，即可判断B项；根据正弦定理，即可判断C项；根据余弦定理可求出，即可判断D项.

【详解】对于A项，若为锐角三角形，则，，且，即，又，，则；反之，若为钝角，满足，不能推出为锐角三角形，故A正确；

对于B项，由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；

对于C项，若，则，由正弦定理，可得即成立，故C正确：

对于D项，根据余弦定理可得，解得（舍去负值），则符合条件的只有一个，故D错误．

故选：AC.

12．如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物.某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．若，则

C．

D．设Z为线段AK上任意一点，则的取值范围是

【答案】AD

【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量垂直的条件及向量相等的条件，结合向量的坐标运算及二次函数的性质即可求解.

【详解】以A为坐标原点，AD，AJ所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

A选项：易知，，，，所以，，

则，所以，所以A正确.

B选项：易知，，，，

，，所以，，，

所以，得，解得，，所以，所以B错误.

C选项：由选项A，B知，则，

，，所以C错误.

D选项：易知，，设，则，，

所以.因为，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值40.所以的取值范围是，所以D正确.

故选：AD.

三、填空题

13．在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，则的值为_________.

【答案】##0.28

【分析】求出、向量的坐标，由向量的夹角公式可得答案.

【详解】因为，，，

所以，，

，

所以，

所以.

故答案为：.

14．如图，设为内一点，且，则________．

【答案】##

【分析】设的中点是，连接，根据平面向量线性运算法则，得到，即可得到面积比.

【详解】设的中点是，连接，

由，可得，

因为，所以，

所以为的五等分点（靠近点），

即，

所以的面积为的面积的．

故答案为：.

15．在中，角所对的边分别为，，，则的面积为__________.

【答案】或1

【分析】由条件结合二倍角正弦公式求，再由三角形面积公式求的面积.

【详解】因为，

所以，

所以或，

当时，由可得的面积，

当时，，的面积，

所以的面积为或1.

故答案为：或1.

16．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高________.

【答案】

【分析】通过直角可先求出的值，在由正弦定理可求的值，在中，由，，从而可求得的值．

【详解】在中，，，所以．

在中，，，从而，

由正弦定理得，，因此．

在中，，，得．

故答案为：．

四、解答题

17．已知.

(1)若，求证：；

(2)设，若，求的值.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)

【分析】（1）求出，利用模长公式列出方程，求出，证明出；

（2）根据得到，平方相加后得到的值.

【详解】（1），

故，

即，

化简得：，

故；

（2），

所以，

两式平方相加得：，

故.

18．高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为、、，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.

（1）求出线段AE的长度；

（2）求出隧道CD的长度.

【答案】（1）

（2）

【分析】（1）由已知在△AEF中，由正弦定理即可解得AE的值；（2）由已知可得∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，可求BE的值，进而可求CD＝BE﹣BC﹣DE的值．

【详解】（1）由已知可得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°，

在△AEF中，由正弦定理得：，

即，

解得；

（2）由已知可得∠BAE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，

在Rt△ABE中，，

所以隧道长度．

【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=4，且.

(1)求B；

(2)若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；

(2)根据余弦定理和面积公式即可求解.

【详解】（1）方法一：，

所以，

所以

.

方法二：在中，由正弦定理得：，

所以，

所以.

因为，所以，所以，

因为.

（2）方法一: ，

当且仅当时取，

，

.

方法二:

在中，由余弦定理得：

当且仅当取“=”）

所以,

所以的面积.

.

20．如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，设.

(1)计算的大小；

(2)甲在Ox上距O点3千米的点A处，乙在Oy上距O点1千米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以4千米/小时的速度行走；

①若过半小时后甲到达C点，乙到达D点，请用与来表示；

②若t时刻，甲到达G点，乙到达H点，求的最小值.

【答案】(1)

(2)①；②2

【分析】（1）利用，直接求出的大小；

（2）①先表示出，利用向量的减法即可表示出；

②表示出两人在t时刻相距，求出模长，利用二次函数求最值即可.

【详解】（1）因为，

所以 .

（2）①因为，

所以，所以；

②两人在t时刻相距，

所以

当时，即小时后，他们两人相距最短．

21．农田节水灌溉的目的是节约水资源､土地资源，节省时间和劳动力，提高灌溉质量和灌溉效率，提高农作物产量和质量，实现增产增效.如图，等腰梯形ABCD是一片农田，为了实现节水灌溉，BC为农田与河流分界的部分河坝，BC长为800米，∠B=75°.现在边界BC上选择一点Q，修建两条小水渠QE，QF，其中E，F分别在边界AB，DC上，且小水渠QE，QF与边界BC的夹角都是60°.

(1)探究小水渠QE，QF的长度之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

(2)为实现高效灌溉，现准备在区域AEQFD内再修建一条小水渠EF，试问当点Q在何处时，三条小水渠（QE，QF，EF）的长度之和最小，最小值为多少？

【答案】(1)是定值，为

(2)故当点是的中点时，长度之和最小，最小为米.

【分析】（1）根据正弦定理得到，，相加得到答案.

（2）根据余弦定理结合均值不等式得到，再求和得到答案.

【详解】（1）在中，，故，

即，

同理可得：，

，为定值.

（2）在中，，

即，

故，

当且仅当时等号成立，

故当点是的中点时，三条小径的长度之和最小， 最小为 米.

22．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M.

(1)求∠EMF的余弦值；

(2)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动到A点，在这个过程中，是否存在这样的点P，使得？若存在，求出MP的长度，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；

(2)存在或.

【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，就是的夹角，利用向量的夹角公式求解；

（2）求出点的坐标，再就点的位置分四种情况讨论，分析计算得解.

【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系.

则.

由于就是的夹角.

∴.

∴的余弦值为.

（2）设.

.

∴.

由题得.

①当点在上时，设，

∴；

②当点在上时，设，

∴舍去；

③当点在上时，设，

∴舍去；

④当点在上时，设，

∴.

综上，存在或.