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2023年江西省赣北学考联盟中考数学第一次联考试卷(含答案解析)
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这是一份2023年江西省赣北学考联盟中考数学第一次联考试卷(含答案解析)，共25页。试卷主要包含了 下列计算正确的是， 下列说法正确的是，8，S乙2=1，5∘C， 在实数范围内分解因式， 《孙子算经》有道歌谣算题等内容，欢迎下载使用。
2023年江西省赣北学考联盟中考数学第一次联考试卷
1. 下列计算正确的是( )
A. 4x−2x=2 B. x2+y2=(x+y)2
C. x3⋅x2=x6 D. x3÷x2=x
2. 如右图所示，将一个正方体切去一个角，则所得几何体的左视图为( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列说法正确的是( )
A. 为了加强“五项管理”，要了解某市中学生的睡眠时间，采用全面调查
B. 打开电视机，它正在播广告是必然事件
C. 一组数据“5，4，6，2，7，4，3”的众数是4，中位数是2
D. 甲、乙两名同学5次数学测试的平均分都是92分，方差分别为S甲2=0.8，S乙2=1.2，由此可以判断甲的数学成绩比乙的稳定
4. 两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90∘，∠E=45∘，∠C=30∘，AB与DF交于点M.若BC//EF，则∠BMD的大小为( )
A. 60∘ B. 67.5∘ C. 75∘ D. 82.5∘
5. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：(1)abc>0；(2)2a−b=0；(3)b2−4ac>0；(4)a+b+c>0；(5)点(−72,y1)，(−32,y2)，(−54,y3)是该抛物线上的点，则y1
6. 在实数范围内分解因式：xy2−4x=______.
7. 甲型H1N1流感病毒的直径约是0.00000011米，用科学记数法表示为______米．
8. 已知x1，x2是方程x2+3x−2=0的两根，则x12+2x1−x2的值为______ .
9. 《孙子算经》有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸.问竿长几何？”歌谣的意思是：有一根竹笨不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五.同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸.请你算一算竹竿的长度是______ 尺.(1丈等于10尺，1尺等于10寸)
10. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是20，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为______ .
11. 在菱形ABCD中，AB=4，∠B=2∠A，E，F分别是AD，AB的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当△PEF为直角三角形时，BP的长度为______ .
12. (1)计算：(13)−2−|2− 2|− 2+(2023−π)0+4cos45∘.
(2)解不等式组{5−12x⩽3①3x−2⩾1②.
13. 先化简再求值：(a+2−5a−2)÷a2+6a+9a−2，其a从−2，2，−3，3中选一个合适的数代入求值.
14. “垃圾分类”进校园，锦江教育出实招．锦江区编写小学生《垃圾分类校本实施指导手册》，给同学们介绍垃圾分类科学知识，要求大家将垃圾按A，B，C，D四类分别装袋投放．其中A类指有害垃圾，B类指厨余垃圾，C类指可回收垃圾，D类指其他垃圾．小明和小亮各有一袋垃圾，需投放到小区如图所示的垃圾桶．
(1)“小明投放的垃圾恰好是有害垃圾”这一事件是______.(请将正确答案的序号填写在横线上)
①必然事件
②不可能事件
③随机事件
(2)请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮投放的垃圾是同类垃圾的概率．
15. 如图，四边形ABCD中，BC//AD，BC=2AD，AB=CD，请用无刻度的直尺按要求画图(不写作法，保留作图痕迹).
(1)在图1中，画出BC的中点E.
(2)在图2中，画出AB的中点F.
16. 某公司计划购进多种优质特产水果加工成水果套餐进行销售，以3万元/吨的价格买入，包装后直接销售，它的平均销售价格y(单位：万元/吨)是销售数量x(2≤x≤10,单位：吨)的一次函数，并且当x=2时y=12，当x=8时y=9，已知包装费用为1万元/吨.
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售数量为多少时，该经营这批套餐所获得的毛利润(w)最大？最大毛利润为多少万元？(毛利润=销售总收入-进价总成本-包装总费用).
17. 如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=k2x的图象分别交于C、D两点，点D(2,−4)，点B是线段AD的中点.
(1)求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=k2x的解析式；
(2)求△COD的面积；
(3)直接写出y1>y2时自变量x的取值范围.
18. 某校为了七、八、九年级学生对“创建文明城市”知识的掌握情况，从七、八、九年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析.部分信息如下：
a.九年级成绩频数分布直方图
b.九年级成绩在70≤x<80这一组的是：71 73 74 74 75 75 76 76 76 77 78
c.七、八、九年级成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七
75.9
77
八
77.2
78.5
九
77.5
m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这次测试中，九年级在70分以上的有______ 人；
(2)表中m的值为______ ；
(3)在这次测试中，七年级学生甲、八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
(4)该校九年级学生有450人，假设全部参加此次测试，请估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数.
19. 如今，不少人在购买家具时追求简约大气的风格，图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，已知OA=BD=40cm，OD=120cm，∠ABC=75∘.(结果精确到1cm.参考数据：sin75∘≈0.97，cos75∘≈0.26，tan75∘≈3.73， 2≈1.41， 3≈1.73)
(1)求支架顶点A到地面BC的距离；
(2)如图3，将镜面顺时针旋转15∘，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离.
20. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)求证：直线DF是⊙O的切线；
(2)求证：CD2=CF⋅AC；
(3)若⊙O的半径为8，∠CDF=22.5∘，求扇形OBD(阴影部分)的周长(结果保留π).
21. 如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为(−1,0)，(0,−3).点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点.
(1)求E点坐标；
(2)M是抛物线在第四象限部分的一个动点，求四边形OBMC面积的最大值；
(3)若D坐标为(0,−1)，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.
22. 【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.我们知道：如图1，如果BCAC=ACAB，那么称点C为线段AB的黄金分割点.
(1)【问题发现】如图1，请直接写出CB与AC的比值是______ ；
(2)【尺规作黄金分割点】如图2，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=1，AC=2，则AB=______ ，在BA上截取BD=BC，则AD=______ ，在AC上截取AE=AD，则AEAC的值为______ ；
(3)【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得折痕MN，连接EN，点A对应点H，得折痕CE，试说明：C是AB的黄金分割点；
(4)【拓展延伸】如图4，正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，点N在边CD上，且CN
1.【答案】D
【解析】解：A、4x−2x=2x，此选项运算结果错误，不符合题意；
B、(x+y)2=x2+2xy+y2≠x2+y2，此选项运算结果错误，不符合题意；
C、x3⋅x2=x3+2=x5，此选项运算结果错误，不符合题意；
D、x3÷x2=x，此选项运算结果正确，符合题意；
故选：D.
根据整式的运算逐一进行分析即可．
本题考查了整式的运算，掌握合并同类项、完全平方公式、同底数幂乘法公式、同底数幂除法公式是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：从物体左面看，是一个正方形，正方形内部有一条捺向的实线．
故选：B.
左视图是从物体左面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3.【答案】D
【解析】解：A、为了加强“五项管理”，要了解某市中学生的睡眠时间，采用抽样调查，故A不符合题意；
B、打开电视机，它正在播广告是随机事件，故B不符合题意；
C、一组数据“5，4，6，2，7，4，3”的众数是4，中位数是4，故C不符合题意；
D、甲、乙两名同学5次数学测试的平均分都是92分，方差分别为S甲2=0.8，S乙2=1.2，由此可以判断甲的数学成绩比乙的稳定，故D符合题意；
故选：D.
根据随机事件，全面调查与抽样调查，中位数，众数，方差的意义，逐一判断即可．
本题考查了随机事件，全面调查与抽样调查，中位数，众数，方差，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F和∠B的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDB的度数，在△BMD中，利用三角形内角和可求出∠BMD的度数．
【解答】
解：在△ABC和△DEF中，
∠BAC=∠EDF=90∘，∠E=45∘，∠C=30∘，
∴∠B=90∘−∠C=60∘，
∠F=90∘−∠E=45∘，
∵BC//EF，
∴∠MDB=∠F=45∘，
在△BMD中，∠BMD=180∘−∠B−∠MDB=75∘.
5.【答案】B
【解析】解：(1)由开口方向知a<0，由对称轴为直线x=−1=−b2a，则b=−2a<0，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，则c>0，则abc>0，故(1)正确，符合题意；
(2)由于b=2a，则2a−b=0，故(2)正确，符合题意；
(3)抛物线与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，由抛物线的对称性，抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，所以抛物线与x轴有两个不同的交点，则b2−4ac>0，故(3)正确，符合题意；
(4)抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，则当x=1时，y=a+b+c<0，故(4)错误，不符合题意；
(5)由于a<0，且|−1−(−72)|>|54−(−1)|>|−1−(−32)|，离对称轴越近则函数值越大，故y1
故选：B.
由抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点可判定(1)；由抛物线的对称轴为直线x=−1可判定(2)；由抛物线与x轴的交点情况及抛物线的对称可判定(3)；由抛物线的对称性结合函数图象可判定(4)；由抛物线的三点距离抛物线对称轴的远近，结合开口方向可判定(5)，则最后可确定答案．
本题考查了二次函数的图象与性质，根据图象确定式子的符号及系数的符号，关键是掌握二次函数的图象与性质，注意数形结合．
6.【答案】x(y+2)(y−2)
【解析】
【分析】
本题考查了提公因式法，平方差公式分解因式的方法，正解运用公式法分解因式是关键；
本题可先提公因式x，再运用平方差公式分解因式即可求解．
【解答】
解：xy2−4x
=x(y2−4)
=x(y+2)(y−2).
故答案为：x(y+2)(y−2).
7.【答案】1.1×10−7
【解析】解：0.00000011=1.1×10−7；
故答案为：1.1×10−7.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8.【答案】5
【解析】解：∵x1，x2是方程x2+3x−2=0的两根，
∴x12=2−3x1，x1+x2=−3，
∴x12+2x1−x2
=2−3x1+2x1−x2
=2−x1−x2
=2−(x1+x2)
=2−(−3)
=5.
故答案为：5.
根据一元二次方程根与系数关系可得到x12+2x1−x2的值．
本题考查了一元二次方程根与系数关系，一元二次方程的解，合并同类项，已知式子的值求代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系是解题的关键．
9.【答案】45
【解析】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴x15=1.50.5，
解得x=45(尺).
答：竹竿的长度是45尺．
故答案为：45.
根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
10.【答案】12
【解析】解：如图，连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=20，
解得：AD=10，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴CM+MD=AD+MD≥AD，
∴△CDM周长的最小值=(CM+MD)+CD=AD+12BC=10+12×4=12.
故答案为：12.
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线，可知点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11.【答案】3或 13或2 3
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，
∴菱形四边长为4，且AD//BC，
∴∠A+∠B=180∘，
∵∠B=2∠A，
∴∠A+2∠A=180∘，
即∠A=60∘，
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴AE=AF=2；
连接EF，则△AEF是等边三角形；
①当点P在AB边上时；如图，
当点P是AF的中点时，△PEF为直角三角形，此时AP=12AF=1，
∴BP=AB−AP=4−1=3；
②当点P在AD边上时，如图，连接PF，
当点P是AE的中点时，△PEF为直角三角形，此时AP=PE=12AE=1，
连接BD，BE，BP，
∵AB=AD，∠BAD=60∘，
∴△ABD是等边三角形，
∴BE⊥AD，由勾股定理得BE= 42−22=2 3，
由勾股定理得：PB= BE2+PE2= 12+1= 13；
③当点P在CD边上时，连接BD，AC，PE，PF，PB，如图，
当点P是CD的中点时，此时PC=12CD=2，
∵AC⊥BC，PE为△ACD的中位线，EF为△ABD的中位线，
∴PE//AC，EF//BD，
∴PE⊥EF，
∴△PEF为直角三角形，
∵CD=BC，∠BCD=∠BAD=60∘，
∴△BCD是等边三角形，
∴BP⊥CD，
由勾股定理得PB= BC2−PC2= 16−4=2 3；
综上，PB的长为3或 13或2 3；
故答案为：3或 13或2 3.
分三种情况考虑：点P在AB边上；点P在AD边上：点P在CD边上，利用等边三角形的判定与性质、勾股定理即可求得．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，注意分类讨论是解题的关键．
12.【答案】解：(1)原式=9−(2− 2)− 2+1+4× 22
=9−2+ 2− 2+1+2 2
=8+2 2；
(2){5−12x⩽3①3x−2⩾1②，
解不等式①得：x≥4，
解不等式②得：x≥1，
∴不等式组的解集为x≥4.
【解析】(1)先计算负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的余弦值，再根据实数的混合运算法则计算即可；
(2)先求出每一个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可作答．
本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是掌握解一元一次不等式组的步骤．
13.【答案】解：原式=[(a+2)(a−2)a−2−5a−2]⋅a−2(a+3)2
=a2−4−5a−2⋅a−2(a+3)2
=(a+3)(a−3)a−2⋅a−2(a+3)2
=a−3a+3，
由题意可得，a≠2和−3，
当a=3时，原式=3−33+3=0，
当a=−2时，原式=−5.
【解析】先根据分式的混合计算法则化简，然后结合分式有意义的条件选取合适的值代值计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的相关计算法则是解题的关键．
14.【答案】 (1)③
(2)画树状图如图所示：
由图可知，共有16种等可能结果，其中小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的结果有4种，
∴小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率为416=14.
【解析】解：(1)(1)“小明投放的垃圾恰好是有害垃圾”这一事件是③，
故答案为：③．
(2)画树状图如图所示：
由图可知，共有16种等可能结果，其中小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的结果有4种，
∴小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率为416=14.
(1)根据随机事件和必然事件及不可能事件的概念求解即可；
(2)首先利用树状图法得出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，正确画出树状图．
15.【答案】解：(1)如图，E点为所求．
(2)如图，F点为所求．
【解析】(1)延长BA、CD，它们相交于点G，连接AC、BD，它们相交于点O，连接GO并延长交BC于E点；
(2)连接AE交BD于P点，连接DE交AC于N点，然后延长PN交CD于F点，则F点为CD的中点．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了中位线的性质和线段垂直平分线的性质．
16.【答案】解：(1)设其解析式为y=kx+b，
由题意可得：
2k+b=128k+b=9，
解得：k=−12，b=13，
∴一次函数的解析式为y=−12x+13(2≤x≤10)；
(2)根据题意得，w=(y−4)x=(−12x+13−4)x=−12x2+9x，
∴当x=−b2a=9时，WW最大值−12x2+9x=40.4(万元)；
答：当销量为9吨时，该经营这批套餐所获得的毛利润(w)最大，最大毛利润为40.5万元．
【解析】(1)根据题意用待定系数法求解即可；
(2)根据毛利润的等式关系求解即可．
本题考查了一次函数、二次函数的实际应用，理清题目中的数量关系是解题关键．
17.【答案】解：(1)将D(2,−4)代入y2=k2x，
得：k22=−4，
解得k2=−8，
即反比例函数解析式为：y2=−8x；
∵点B为AD的中点，点B横坐标为0，点A纵坐标为0，点D(2,−4)，
∴B点坐标为(0,−2)，
将B(0,−2)、D(2,−4)代入一次函数y1=k1x+b，
得：2k1+b=−4b=−2，
解得：k1=−1b=−2，
即一次函数解析式为：y1=−x−2；
(2)∵B(0,−2)，
∴OB=2，
联立y=−x−2y=−8x，
解得x1=2y1=−4，x2=−4y2=2，
即C的坐标(−4,2).
又∵D(2,−4)，
则△COD的面积是S△COD=12|OB|×[|xC|+|xD|]=12×2×(2+4)=6，
即所求面积为6；
(3)y1>y2时自变量x的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量x的取值范围，如图，
结合图象可得：x<−4或者0
(2)联立y=−x−2y=−8x，求出C的坐标(−4,2).再利用S△COD=12|OB|×[|xC|+|xD|]即可作答；
(3)根据图象，数形结合即可作答．
本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，利用函数图象解不等式．熟练掌握待定系数法是解(1)的关键，求出点C的坐标是解(2)(3)的关键．
18.【答案】3476.5
【解析】解：(1)在这次测试九年级在70分以上(含70分)的有11+15+8=34(人)；
故答案为：34；
(2)九年级50人成绩的中位数按从小到大排列是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为76、77，
∴m=76+772=76.5
故答案为：76.5；
(3)甲学生在该年级的排名更靠前，
∵七年级学生甲的成绩高于中位数7，
所以其名次在该年级抽查的学生数的25名及以前，
八年级学生乙的成绩小于中位数78.其名次在该年级抽查的学生数的26名及以后，
∴甲学生在该年级的排名更靠前．
(4)估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数为450×1+15+850=216(人).
答：估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数是216人．
(1)由九年级成绩频数分布直方图即可计算出人数；
(2)把数据按大小排列，中间两位数是第25、26两个数据，分别为76、77，则可求得中位数m；
(3)根据两位同学所在年级的中位数即可作出判断；
(4)由样本估计总体，求得九年级成绩超过平均数77.(5分)所占的百分比，即可求得．
本题考查频率分布直方图，统计图表的综合，考查了平均数、中位数及众数，根据中位数作出判断，样本估计总体等知识，读懂图表是解题的关键．
19.【答案】(1)如图2，过点A作AM⊥BC于点M，
∵OA=BD=40cm，OD=120cm，
∴AD=OD−OA=80m，
∵BD=40cm，
∴AB=OD=120cm，
∵∠ABC=75∘，
在Rt△ABM中，AM=AB⋅sin75∘≈116(cm)，
答：支架顶点A到地面BC的距离约为116cm.
(2)如图3，延长AD与地面交于点N，过O点向地面作垂线，垂足为G，
在Rt△ABM中，AB=120cm，∠ABC=75∘，
∴∠BAM=90∘−75∘=15∘，
AM=AB×sin∠ABC=120×sin75∘≈116.4cm，
∵∠DAB=15∘，
∴∠ANM=90∘−∠DAB−∠BAM=60∘，
∴AN=AMsin∠ANM=116.4÷ 32≈134.57cm，
∵OA=40cm，
∴ON=134.57+40=174.57cm，
在Rt△ONG中，
OG=ON×sin∠ONG=174.57× 32≈150cm.
答：端点O到地面BC的距离为150cm.
【解析】(1)如图2，过点A作AM⊥BC于点M，可求出AD=80cm，AB=120cm，然后在Rt△ABM中根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
(2)如图3，延长AD与地面交于点N，过O点向地面作垂线，垂足为G，根据题意可求出∠ONM=60∘，所以ON=174.57cm，从而可求出OG的长度．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
20.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD//AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥AC，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DF是⊙O的切线；
(2)证明：连接AD，如图：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∵DF⊥AC，
∴∠DAC=90∘−∠ADF=∠FDC，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△DFC，
∴CDCF=ACCD，即CD2=CF⋅AC；
(3)解：∵DF⊥AC，∠CDF=22.5∘，
∴∠C=∠B=67.5∘，
∴∠BAC=45∘，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD=67.5∘，
∴∠BOD=45∘，
∵⊙O的半径为8，
∴lBD=45×π×8180=2π，
∴扇形OBD(阴影部分)的周长为2π+8+8=2π+16.
【解析】(1)由DF⊥AC，证明OD//AC即可；
(2)连接AD，由△ADC∽△DFC，可得CDCF=ACCD，即可；
(3)连接AD，OE，根据已知求出∠BOD=45∘，根据弧长公式求出BD的长，即可得到答案．
本题考查圆的切线判定、圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是恰当连接辅助线，熟练掌握运用圆的相关性质和等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．
21.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)、B(0,−3)，
∴1−b+c=0c=−3，
解得b=−2c=−3，
∴拋物线的函数解析式为y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴点E坐标为(1,−4)；
(2)令x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3，
∴点C的坐标为(3,0)，
又∵B(0,−3)，
∴由待定系数法可得直线BC解析式为y=x−3，
如图：连接BC，过M点作MN平行于y轴，交BC于N点，
设M(m,m2−2m−3)，则N(m,m−3)，MN=−m2+3m，
∴S四边形OBMC=S△BOC+S△BMC=12×3×3+12×MN×(xC−xB)
=92+32(−m2+3m)=−32(m−32)2+638(0
(3)解：过点E作EF⊥y轴，
∵点C(3,0)，D(0,−1)，E(1,−4)，
∴CO=DF=3，DO=EF=1，
∴CD= OC2+OD2= 32+12= 10，
在△COD和△DFE中，
CO=DF∠COD=∠DFE=90∘DO=EF，
∴△COD≅△DFE(SAS)，
∴∠EDF=∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO=90∘，
∴∠EDF+∠CDO=90∘，
∴∠CDE=180∘−90∘=90∘，
∴CD⊥DE，
①当OC与CD是对应边时，
∵△DOC∼△PDC，
∴OCDC=ODDP，即3 10=1DP，
解得：DP= 103；
过点P作PG⊥y轴于点G，则DGDF=PGEF=DPDE，即DG3=PG1= 103 10，
解得：DG=1,PG=13，
当点P在点D的左边时，OG=DG−DO=1−1=0，则点P(−13,0)，
当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，则点P(13,−2)；
②当OC与DP是对应边时，
∵△DOC∼△CDP，
∴OCDP=ODDC，即3DP=1 10，解得：DP=3 10，
如图：过点P作PG⊥y轴于点G，
则DGDF=PGEF=DPDE，即DG3=PG1=3 10 10，解得DG=9，PG=3，
当点P在点D的左边时，OG=DG−OD=9−1=8，则点P的坐标是(−3,8)；
当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，则点P的坐标是(3,−10)
综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为(−13,0)、(13,−2)、(−3,8)、(3,−10).
【解析】(1)运用待定系数法求得抛物线的解析式，然后再化成顶点式即可解答；
(2)先求出点C的坐标，然后运用待定系数法求得直线BC解析式，如图：连接BC，过M点作MN平行于y轴，交BC于N点，设M(m,m2−2m−3)，则N(m,m−3)，MN=−m2+3m；再根据S四边形OBMC=S△BOC+S△BMC用m表示出S四边形OBMC的表达式，最后根据二次函数的性质求最值即可；
(3)根据点C、D、E的坐标证明△COD和△DFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EDF=∠DCO，然后得到CD⊥DE，利用勾股定理求出CD的长度；然后分OC与CD是对应边和OC与DP是对应边两种情况，分根据相似三角形对应边成比例列式求出DP的长度，再过点P作PG⊥y轴于点G，再分点P在点D的左边与右边两种情况分别求出DG、PG的长度，最后写出各种情况P的坐标即可．
本题属于二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理的应用、相似三角形对应边成比例的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
22.【答案】 5−12 5 5−1 5−12 5+3 52
【解析】(1)解：设AB=1，AC=m(m>0)，则BCAC=ACAB，即1−mm=m1，
∴m2+m−1=0，解得m= 5−12或− 5−12(舍去)
经检验，m= 5−12是原方程的解，
∴BCAC=ACAB= 5−12.
故答案为： 5−12.
(2)解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=1，AC=2，
∴AB= BC2−AC2= 5，
∵BD=BC，AD=AE，
设AE=n(n>0)，
则AB=AD+DB=AE+BC=1+n，
AC2=AB2−BC2=(1+n)2−12=n2+2n，
∵AC=2，
∴n2+2n=4，
解得n= 5−1或− 5−1(舍去)，
经检验n= 5−1是原方程的解，
∴AE= 5−1，
则AEAC= 5−12.
故答案为： 5， 5−1， 5−12.
(3)解：如图，设EC与MN交点为P，
∵MN//AB，且M为EA中点，
∴MPAC=EMEA=12，
过P作PQ⊥EN，
∵EC平分∠AEN，
∴PM=PQ.
设PM=PQ=12AC=x，
∴PN=MN−PM=4−x，
∵EN= 22+42=2 5，
∴sin∠ENM=PQPN=EMEN，
即x4−x=22 5，
解得x= 5−1，
经检验x= 5−1为原方程的解，
∴AC=2x=2 5−2，
∴ACAB=2 5−24= 5−12,BCAC=4−(2 5−2)2 5−2= 5−12，
∴ACAB=BCAC= 5−12，
∴C为AB的黄金分割点．
(4)解：如图：延长NE、BA交于点K，过N作NL⊥AB，过A作AS⊥AN交NK于点S，过S作ST⊥AK，取BM、AN交点O.
∵∠AMO=∠BNO，∠AOM=∠BON，
∴△AMO∼△BNO，
∴OAOB=OMON，
即OAOM=OBON，
又∵∠MON=∠AOB，
∴△MON∼△AOB，
∴∠1=∠ABO=45∘，
∴△SAN是等腰直角三角形，
∴SA=AN，∠SAN=90∘，
∴∠3=90∘−∠4=∠5，
在△STA和△ALN中，
∠STA=∠ALN=90∘∠3=∠5SA=AN，
∴△STA≅△ALN(AAS)，
∵N为CD的黄金分割点，CN
∴DC=BC=NL=AT=2a，
∴TL=AT+AL=( 5+1)a，
设KT=x，
∴tanK=STKT=NLKL，
∴( 5−1)ax=2a( 5+1)a+x，
解得x=(3+ 5)a，
经检验，符合题意，
∴AK=x+2a=5+ 5a，
∴AEDE=AKDN=(5+ 5)a( 5−1)a=5+3 52.
(1)直接根据黄金分割比求解即可；
(2)先根据勾股定理求得AB，设AE=n，则AB=AD+=AE+BC=1+n，再利用勾股定理建立方程求得n的值，进而求得AE，最后代入AEAC计算即可；
(3)由图2，取EC与MN交点P，过P作PQ⊥EN，PM=PQ=12AC=x，由sin∠ENM=PQPN=EMEN，求得AC的长，计算ACAB的值即可；
(4)延长NE、BA交于点K，过N作NL⊥AB，过A作AS⊥AN交NK于点S，过S作ST⊥AK，取BM、AN交点O，由已知条件证明△AMO∽△BNO，继而证明△MON∼△AOB，可知∠1=∠ABO=45∘，接着证明△STA≅△ALN；由tanK=STKT=NLKL，求得KT的值，最后由AEDE=AKDN得出结果．
本题主要考查了成比例线段、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数、三角形全等的性质与判定等知识点，正确的作出辅助线、用好比例式是解题的关键．
2023年江西省赣北学考联盟中考数学第一次联考试卷
1. 下列计算正确的是( )
A. 4x−2x=2 B. x2+y2=(x+y)2
C. x3⋅x2=x6 D. x3÷x2=x
2. 如右图所示，将一个正方体切去一个角，则所得几何体的左视图为( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列说法正确的是( )
A. 为了加强“五项管理”，要了解某市中学生的睡眠时间，采用全面调查
B. 打开电视机，它正在播广告是必然事件
C. 一组数据“5，4，6，2，7，4，3”的众数是4，中位数是2
D. 甲、乙两名同学5次数学测试的平均分都是92分，方差分别为S甲2=0.8，S乙2=1.2，由此可以判断甲的数学成绩比乙的稳定
4. 两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90∘，∠E=45∘，∠C=30∘，AB与DF交于点M.若BC//EF，则∠BMD的大小为( )
A. 60∘ B. 67.5∘ C. 75∘ D. 82.5∘
5. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：(1)abc>0；(2)2a−b=0；(3)b2−4ac>0；(4)a+b+c>0；(5)点(−72,y1)，(−32,y2)，(−54,y3)是该抛物线上的点，则y1
6. 在实数范围内分解因式：xy2−4x=______.
7. 甲型H1N1流感病毒的直径约是0.00000011米，用科学记数法表示为______米．
8. 已知x1，x2是方程x2+3x−2=0的两根，则x12+2x1−x2的值为______ .
9. 《孙子算经》有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸.问竿长几何？”歌谣的意思是：有一根竹笨不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五.同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸.请你算一算竹竿的长度是______ 尺.(1丈等于10尺，1尺等于10寸)
10. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是20，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为______ .
11. 在菱形ABCD中，AB=4，∠B=2∠A，E，F分别是AD，AB的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当△PEF为直角三角形时，BP的长度为______ .
12. (1)计算：(13)−2−|2− 2|− 2+(2023−π)0+4cos45∘.
(2)解不等式组{5−12x⩽3①3x−2⩾1②.
13. 先化简再求值：(a+2−5a−2)÷a2+6a+9a−2，其a从−2，2，−3，3中选一个合适的数代入求值.
14. “垃圾分类”进校园，锦江教育出实招．锦江区编写小学生《垃圾分类校本实施指导手册》，给同学们介绍垃圾分类科学知识，要求大家将垃圾按A，B，C，D四类分别装袋投放．其中A类指有害垃圾，B类指厨余垃圾，C类指可回收垃圾，D类指其他垃圾．小明和小亮各有一袋垃圾，需投放到小区如图所示的垃圾桶．
(1)“小明投放的垃圾恰好是有害垃圾”这一事件是______.(请将正确答案的序号填写在横线上)
①必然事件
②不可能事件
③随机事件
(2)请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮投放的垃圾是同类垃圾的概率．
15. 如图，四边形ABCD中，BC//AD，BC=2AD，AB=CD，请用无刻度的直尺按要求画图(不写作法，保留作图痕迹).
(1)在图1中，画出BC的中点E.
(2)在图2中，画出AB的中点F.
16. 某公司计划购进多种优质特产水果加工成水果套餐进行销售，以3万元/吨的价格买入，包装后直接销售，它的平均销售价格y(单位：万元/吨)是销售数量x(2≤x≤10,单位：吨)的一次函数，并且当x=2时y=12，当x=8时y=9，已知包装费用为1万元/吨.
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售数量为多少时，该经营这批套餐所获得的毛利润(w)最大？最大毛利润为多少万元？(毛利润=销售总收入-进价总成本-包装总费用).
17. 如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=k2x的图象分别交于C、D两点，点D(2,−4)，点B是线段AD的中点.
(1)求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=k2x的解析式；
(2)求△COD的面积；
(3)直接写出y1>y2时自变量x的取值范围.
18. 某校为了七、八、九年级学生对“创建文明城市”知识的掌握情况，从七、八、九年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析.部分信息如下：
a.九年级成绩频数分布直方图
b.九年级成绩在70≤x<80这一组的是：71 73 74 74 75 75 76 76 76 77 78
c.七、八、九年级成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七
75.9
77
八
77.2
78.5
九
77.5
m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这次测试中，九年级在70分以上的有______ 人；
(2)表中m的值为______ ；
(3)在这次测试中，七年级学生甲、八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
(4)该校九年级学生有450人，假设全部参加此次测试，请估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数.
19. 如今，不少人在购买家具时追求简约大气的风格，图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，已知OA=BD=40cm，OD=120cm，∠ABC=75∘.(结果精确到1cm.参考数据：sin75∘≈0.97，cos75∘≈0.26，tan75∘≈3.73， 2≈1.41， 3≈1.73)
(1)求支架顶点A到地面BC的距离；
(2)如图3，将镜面顺时针旋转15∘，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离.
20. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)求证：直线DF是⊙O的切线；
(2)求证：CD2=CF⋅AC；
(3)若⊙O的半径为8，∠CDF=22.5∘，求扇形OBD(阴影部分)的周长(结果保留π).
21. 如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为(−1,0)，(0,−3).点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点.
(1)求E点坐标；
(2)M是抛物线在第四象限部分的一个动点，求四边形OBMC面积的最大值；
(3)若D坐标为(0,−1)，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.
22. 【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.我们知道：如图1，如果BCAC=ACAB，那么称点C为线段AB的黄金分割点.
(1)【问题发现】如图1，请直接写出CB与AC的比值是______ ；
(2)【尺规作黄金分割点】如图2，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=1，AC=2，则AB=______ ，在BA上截取BD=BC，则AD=______ ，在AC上截取AE=AD，则AEAC的值为______ ；
(3)【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得折痕MN，连接EN，点A对应点H，得折痕CE，试说明：C是AB的黄金分割点；
(4)【拓展延伸】如图4，正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，点N在边CD上，且CN
1.【答案】D
【解析】解：A、4x−2x=2x，此选项运算结果错误，不符合题意；
B、(x+y)2=x2+2xy+y2≠x2+y2，此选项运算结果错误，不符合题意；
C、x3⋅x2=x3+2=x5，此选项运算结果错误，不符合题意；
D、x3÷x2=x，此选项运算结果正确，符合题意；
故选：D.
根据整式的运算逐一进行分析即可．
本题考查了整式的运算，掌握合并同类项、完全平方公式、同底数幂乘法公式、同底数幂除法公式是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：从物体左面看，是一个正方形，正方形内部有一条捺向的实线．
故选：B.
左视图是从物体左面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3.【答案】D
【解析】解：A、为了加强“五项管理”，要了解某市中学生的睡眠时间，采用抽样调查，故A不符合题意；
B、打开电视机，它正在播广告是随机事件，故B不符合题意；
C、一组数据“5，4，6，2，7，4，3”的众数是4，中位数是4，故C不符合题意；
D、甲、乙两名同学5次数学测试的平均分都是92分，方差分别为S甲2=0.8，S乙2=1.2，由此可以判断甲的数学成绩比乙的稳定，故D符合题意；
故选：D.
根据随机事件，全面调查与抽样调查，中位数，众数，方差的意义，逐一判断即可．
本题考查了随机事件，全面调查与抽样调查，中位数，众数，方差，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F和∠B的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDB的度数，在△BMD中，利用三角形内角和可求出∠BMD的度数．
【解答】
解：在△ABC和△DEF中，
∠BAC=∠EDF=90∘，∠E=45∘，∠C=30∘，
∴∠B=90∘−∠C=60∘，
∠F=90∘−∠E=45∘，
∵BC//EF，
∴∠MDB=∠F=45∘，
在△BMD中，∠BMD=180∘−∠B−∠MDB=75∘.
5.【答案】B
【解析】解：(1)由开口方向知a<0，由对称轴为直线x=−1=−b2a，则b=−2a<0，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，则c>0，则abc>0，故(1)正确，符合题意；
(2)由于b=2a，则2a−b=0，故(2)正确，符合题意；
(3)抛物线与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，由抛物线的对称性，抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，所以抛物线与x轴有两个不同的交点，则b2−4ac>0，故(3)正确，符合题意；
(4)抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，则当x=1时，y=a+b+c<0，故(4)错误，不符合题意；
(5)由于a<0，且|−1−(−72)|>|54−(−1)|>|−1−(−32)|，离对称轴越近则函数值越大，故y1
故选：B.
由抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点可判定(1)；由抛物线的对称轴为直线x=−1可判定(2)；由抛物线与x轴的交点情况及抛物线的对称可判定(3)；由抛物线的对称性结合函数图象可判定(4)；由抛物线的三点距离抛物线对称轴的远近，结合开口方向可判定(5)，则最后可确定答案．
本题考查了二次函数的图象与性质，根据图象确定式子的符号及系数的符号，关键是掌握二次函数的图象与性质，注意数形结合．
6.【答案】x(y+2)(y−2)
【解析】
【分析】
本题考查了提公因式法，平方差公式分解因式的方法，正解运用公式法分解因式是关键；
本题可先提公因式x，再运用平方差公式分解因式即可求解．
【解答】
解：xy2−4x
=x(y2−4)
=x(y+2)(y−2).
故答案为：x(y+2)(y−2).
7.【答案】1.1×10−7
【解析】解：0.00000011=1.1×10−7；
故答案为：1.1×10−7.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8.【答案】5
【解析】解：∵x1，x2是方程x2+3x−2=0的两根，
∴x12=2−3x1，x1+x2=−3，
∴x12+2x1−x2
=2−3x1+2x1−x2
=2−x1−x2
=2−(x1+x2)
=2−(−3)
=5.
故答案为：5.
根据一元二次方程根与系数关系可得到x12+2x1−x2的值．
本题考查了一元二次方程根与系数关系，一元二次方程的解，合并同类项，已知式子的值求代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系是解题的关键．
9.【答案】45
【解析】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴x15=1.50.5，
解得x=45(尺).
答：竹竿的长度是45尺．
故答案为：45.
根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
10.【答案】12
【解析】解：如图，连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=20，
解得：AD=10，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴CM+MD=AD+MD≥AD，
∴△CDM周长的最小值=(CM+MD)+CD=AD+12BC=10+12×4=12.
故答案为：12.
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线，可知点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11.【答案】3或 13或2 3
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，
∴菱形四边长为4，且AD//BC，
∴∠A+∠B=180∘，
∵∠B=2∠A，
∴∠A+2∠A=180∘，
即∠A=60∘，
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴AE=AF=2；
连接EF，则△AEF是等边三角形；
①当点P在AB边上时；如图，
当点P是AF的中点时，△PEF为直角三角形，此时AP=12AF=1，
∴BP=AB−AP=4−1=3；
②当点P在AD边上时，如图，连接PF，
当点P是AE的中点时，△PEF为直角三角形，此时AP=PE=12AE=1，
连接BD，BE，BP，
∵AB=AD，∠BAD=60∘，
∴△ABD是等边三角形，
∴BE⊥AD，由勾股定理得BE= 42−22=2 3，
由勾股定理得：PB= BE2+PE2= 12+1= 13；
③当点P在CD边上时，连接BD，AC，PE，PF，PB，如图，
当点P是CD的中点时，此时PC=12CD=2，
∵AC⊥BC，PE为△ACD的中位线，EF为△ABD的中位线，
∴PE//AC，EF//BD，
∴PE⊥EF，
∴△PEF为直角三角形，
∵CD=BC，∠BCD=∠BAD=60∘，
∴△BCD是等边三角形，
∴BP⊥CD，
由勾股定理得PB= BC2−PC2= 16−4=2 3；
综上，PB的长为3或 13或2 3；
故答案为：3或 13或2 3.
分三种情况考虑：点P在AB边上；点P在AD边上：点P在CD边上，利用等边三角形的判定与性质、勾股定理即可求得．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，注意分类讨论是解题的关键．
12.【答案】解：(1)原式=9−(2− 2)− 2+1+4× 22
=9−2+ 2− 2+1+2 2
=8+2 2；
(2){5−12x⩽3①3x−2⩾1②，
解不等式①得：x≥4，
解不等式②得：x≥1，
∴不等式组的解集为x≥4.
【解析】(1)先计算负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的余弦值，再根据实数的混合运算法则计算即可；
(2)先求出每一个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可作答．
本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是掌握解一元一次不等式组的步骤．
13.【答案】解：原式=[(a+2)(a−2)a−2−5a−2]⋅a−2(a+3)2
=a2−4−5a−2⋅a−2(a+3)2
=(a+3)(a−3)a−2⋅a−2(a+3)2
=a−3a+3，
由题意可得，a≠2和−3，
当a=3时，原式=3−33+3=0，
当a=−2时，原式=−5.
【解析】先根据分式的混合计算法则化简，然后结合分式有意义的条件选取合适的值代值计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的相关计算法则是解题的关键．
14.【答案】 (1)③
(2)画树状图如图所示：
由图可知，共有16种等可能结果，其中小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的结果有4种，
∴小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率为416=14.
【解析】解：(1)(1)“小明投放的垃圾恰好是有害垃圾”这一事件是③，
故答案为：③．
(2)画树状图如图所示：
由图可知，共有16种等可能结果，其中小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的结果有4种，
∴小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率为416=14.
(1)根据随机事件和必然事件及不可能事件的概念求解即可；
(2)首先利用树状图法得出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，正确画出树状图．
15.【答案】解：(1)如图，E点为所求．
(2)如图，F点为所求．
【解析】(1)延长BA、CD，它们相交于点G，连接AC、BD，它们相交于点O，连接GO并延长交BC于E点；
(2)连接AE交BD于P点，连接DE交AC于N点，然后延长PN交CD于F点，则F点为CD的中点．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了中位线的性质和线段垂直平分线的性质．
16.【答案】解：(1)设其解析式为y=kx+b，
由题意可得：
2k+b=128k+b=9，
解得：k=−12，b=13，
∴一次函数的解析式为y=−12x+13(2≤x≤10)；
(2)根据题意得，w=(y−4)x=(−12x+13−4)x=−12x2+9x，
∴当x=−b2a=9时，WW最大值−12x2+9x=40.4(万元)；
答：当销量为9吨时，该经营这批套餐所获得的毛利润(w)最大，最大毛利润为40.5万元．
【解析】(1)根据题意用待定系数法求解即可；
(2)根据毛利润的等式关系求解即可．
本题考查了一次函数、二次函数的实际应用，理清题目中的数量关系是解题关键．
17.【答案】解：(1)将D(2,−4)代入y2=k2x，
得：k22=−4，
解得k2=−8，
即反比例函数解析式为：y2=−8x；
∵点B为AD的中点，点B横坐标为0，点A纵坐标为0，点D(2,−4)，
∴B点坐标为(0,−2)，
将B(0,−2)、D(2,−4)代入一次函数y1=k1x+b，
得：2k1+b=−4b=−2，
解得：k1=−1b=−2，
即一次函数解析式为：y1=−x−2；
(2)∵B(0,−2)，
∴OB=2，
联立y=−x−2y=−8x，
解得x1=2y1=−4，x2=−4y2=2，
即C的坐标(−4,2).
又∵D(2,−4)，
则△COD的面积是S△COD=12|OB|×[|xC|+|xD|]=12×2×(2+4)=6，
即所求面积为6；
(3)y1>y2时自变量x的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量x的取值范围，如图，
结合图象可得：x<−4或者0
(2)联立y=−x−2y=−8x，求出C的坐标(−4,2).再利用S△COD=12|OB|×[|xC|+|xD|]即可作答；
(3)根据图象，数形结合即可作答．
本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，利用函数图象解不等式．熟练掌握待定系数法是解(1)的关键，求出点C的坐标是解(2)(3)的关键．
18.【答案】3476.5
【解析】解：(1)在这次测试九年级在70分以上(含70分)的有11+15+8=34(人)；
故答案为：34；
(2)九年级50人成绩的中位数按从小到大排列是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为76、77，
∴m=76+772=76.5
故答案为：76.5；
(3)甲学生在该年级的排名更靠前，
∵七年级学生甲的成绩高于中位数7，
所以其名次在该年级抽查的学生数的25名及以前，
八年级学生乙的成绩小于中位数78.其名次在该年级抽查的学生数的26名及以后，
∴甲学生在该年级的排名更靠前．
(4)估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数为450×1+15+850=216(人).
答：估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数是216人．
(1)由九年级成绩频数分布直方图即可计算出人数；
(2)把数据按大小排列，中间两位数是第25、26两个数据，分别为76、77，则可求得中位数m；
(3)根据两位同学所在年级的中位数即可作出判断；
(4)由样本估计总体，求得九年级成绩超过平均数77.(5分)所占的百分比，即可求得．
本题考查频率分布直方图，统计图表的综合，考查了平均数、中位数及众数，根据中位数作出判断，样本估计总体等知识，读懂图表是解题的关键．
19.【答案】(1)如图2，过点A作AM⊥BC于点M，
∵OA=BD=40cm，OD=120cm，
∴AD=OD−OA=80m，
∵BD=40cm，
∴AB=OD=120cm，
∵∠ABC=75∘，
在Rt△ABM中，AM=AB⋅sin75∘≈116(cm)，
答：支架顶点A到地面BC的距离约为116cm.
(2)如图3，延长AD与地面交于点N，过O点向地面作垂线，垂足为G，
在Rt△ABM中，AB=120cm，∠ABC=75∘，
∴∠BAM=90∘−75∘=15∘，
AM=AB×sin∠ABC=120×sin75∘≈116.4cm，
∵∠DAB=15∘，
∴∠ANM=90∘−∠DAB−∠BAM=60∘，
∴AN=AMsin∠ANM=116.4÷ 32≈134.57cm，
∵OA=40cm，
∴ON=134.57+40=174.57cm，
在Rt△ONG中，
OG=ON×sin∠ONG=174.57× 32≈150cm.
答：端点O到地面BC的距离为150cm.
【解析】(1)如图2，过点A作AM⊥BC于点M，可求出AD=80cm，AB=120cm，然后在Rt△ABM中根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
(2)如图3，延长AD与地面交于点N，过O点向地面作垂线，垂足为G，根据题意可求出∠ONM=60∘，所以ON=174.57cm，从而可求出OG的长度．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
20.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD//AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥AC，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DF是⊙O的切线；
(2)证明：连接AD，如图：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∵DF⊥AC，
∴∠DAC=90∘−∠ADF=∠FDC，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△DFC，
∴CDCF=ACCD，即CD2=CF⋅AC；
(3)解：∵DF⊥AC，∠CDF=22.5∘，
∴∠C=∠B=67.5∘，
∴∠BAC=45∘，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD=67.5∘，
∴∠BOD=45∘，
∵⊙O的半径为8，
∴lBD=45×π×8180=2π，
∴扇形OBD(阴影部分)的周长为2π+8+8=2π+16.
【解析】(1)由DF⊥AC，证明OD//AC即可；
(2)连接AD，由△ADC∽△DFC，可得CDCF=ACCD，即可；
(3)连接AD，OE，根据已知求出∠BOD=45∘，根据弧长公式求出BD的长，即可得到答案．
本题考查圆的切线判定、圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是恰当连接辅助线，熟练掌握运用圆的相关性质和等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．
21.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)、B(0,−3)，
∴1−b+c=0c=−3，
解得b=−2c=−3，
∴拋物线的函数解析式为y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴点E坐标为(1,−4)；
(2)令x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3，
∴点C的坐标为(3,0)，
又∵B(0,−3)，
∴由待定系数法可得直线BC解析式为y=x−3，
如图：连接BC，过M点作MN平行于y轴，交BC于N点，
设M(m,m2−2m−3)，则N(m,m−3)，MN=−m2+3m，
∴S四边形OBMC=S△BOC+S△BMC=12×3×3+12×MN×(xC−xB)
=92+32(−m2+3m)=−32(m−32)2+638(0
(3)解：过点E作EF⊥y轴，
∵点C(3,0)，D(0,−1)，E(1,−4)，
∴CO=DF=3，DO=EF=1，
∴CD= OC2+OD2= 32+12= 10，
在△COD和△DFE中，
CO=DF∠COD=∠DFE=90∘DO=EF，
∴△COD≅△DFE(SAS)，
∴∠EDF=∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO=90∘，
∴∠EDF+∠CDO=90∘，
∴∠CDE=180∘−90∘=90∘，
∴CD⊥DE，
①当OC与CD是对应边时，
∵△DOC∼△PDC，
∴OCDC=ODDP，即3 10=1DP，
解得：DP= 103；
过点P作PG⊥y轴于点G，则DGDF=PGEF=DPDE，即DG3=PG1= 103 10，
解得：DG=1,PG=13，
当点P在点D的左边时，OG=DG−DO=1−1=0，则点P(−13,0)，
当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，则点P(13,−2)；
②当OC与DP是对应边时，
∵△DOC∼△CDP，
∴OCDP=ODDC，即3DP=1 10，解得：DP=3 10，
如图：过点P作PG⊥y轴于点G，
则DGDF=PGEF=DPDE，即DG3=PG1=3 10 10，解得DG=9，PG=3，
当点P在点D的左边时，OG=DG−OD=9−1=8，则点P的坐标是(−3,8)；
当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，则点P的坐标是(3,−10)
综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为(−13,0)、(13,−2)、(−3,8)、(3,−10).
【解析】(1)运用待定系数法求得抛物线的解析式，然后再化成顶点式即可解答；
(2)先求出点C的坐标，然后运用待定系数法求得直线BC解析式，如图：连接BC，过M点作MN平行于y轴，交BC于N点，设M(m,m2−2m−3)，则N(m,m−3)，MN=−m2+3m；再根据S四边形OBMC=S△BOC+S△BMC用m表示出S四边形OBMC的表达式，最后根据二次函数的性质求最值即可；
(3)根据点C、D、E的坐标证明△COD和△DFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EDF=∠DCO，然后得到CD⊥DE，利用勾股定理求出CD的长度；然后分OC与CD是对应边和OC与DP是对应边两种情况，分根据相似三角形对应边成比例列式求出DP的长度，再过点P作PG⊥y轴于点G，再分点P在点D的左边与右边两种情况分别求出DG、PG的长度，最后写出各种情况P的坐标即可．
本题属于二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理的应用、相似三角形对应边成比例的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
22.【答案】 5−12 5 5−1 5−12 5+3 52
【解析】(1)解：设AB=1，AC=m(m>0)，则BCAC=ACAB，即1−mm=m1，
∴m2+m−1=0，解得m= 5−12或− 5−12(舍去)
经检验，m= 5−12是原方程的解，
∴BCAC=ACAB= 5−12.
故答案为： 5−12.
(2)解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=1，AC=2，
∴AB= BC2−AC2= 5，
∵BD=BC，AD=AE，
设AE=n(n>0)，
则AB=AD+DB=AE+BC=1+n，
AC2=AB2−BC2=(1+n)2−12=n2+2n，
∵AC=2，
∴n2+2n=4，
解得n= 5−1或− 5−1(舍去)，
经检验n= 5−1是原方程的解，
∴AE= 5−1，
则AEAC= 5−12.
故答案为： 5， 5−1， 5−12.
(3)解：如图，设EC与MN交点为P，
∵MN//AB，且M为EA中点，
∴MPAC=EMEA=12，
过P作PQ⊥EN，
∵EC平分∠AEN，
∴PM=PQ.
设PM=PQ=12AC=x，
∴PN=MN−PM=4−x，
∵EN= 22+42=2 5，
∴sin∠ENM=PQPN=EMEN，
即x4−x=22 5，
解得x= 5−1，
经检验x= 5−1为原方程的解，
∴AC=2x=2 5−2，
∴ACAB=2 5−24= 5−12,BCAC=4−(2 5−2)2 5−2= 5−12，
∴ACAB=BCAC= 5−12，
∴C为AB的黄金分割点．
(4)解：如图：延长NE、BA交于点K，过N作NL⊥AB，过A作AS⊥AN交NK于点S，过S作ST⊥AK，取BM、AN交点O.
∵∠AMO=∠BNO，∠AOM=∠BON，
∴△AMO∼△BNO，
∴OAOB=OMON，
即OAOM=OBON，
又∵∠MON=∠AOB，
∴△MON∼△AOB，
∴∠1=∠ABO=45∘，
∴△SAN是等腰直角三角形，
∴SA=AN，∠SAN=90∘，
∴∠3=90∘−∠4=∠5，
在△STA和△ALN中，
∠STA=∠ALN=90∘∠3=∠5SA=AN，
∴△STA≅△ALN(AAS)，
∵N为CD的黄金分割点，CN
∴DC=BC=NL=AT=2a，
∴TL=AT+AL=( 5+1)a，
设KT=x，
∴tanK=STKT=NLKL，
∴( 5−1)ax=2a( 5+1)a+x，
解得x=(3+ 5)a，
经检验，符合题意，
∴AK=x+2a=5+ 5a，
∴AEDE=AKDN=(5+ 5)a( 5−1)a=5+3 52.
(1)直接根据黄金分割比求解即可；
(2)先根据勾股定理求得AB，设AE=n，则AB=AD+=AE+BC=1+n，再利用勾股定理建立方程求得n的值，进而求得AE，最后代入AEAC计算即可；
(3)由图2，取EC与MN交点P，过P作PQ⊥EN，PM=PQ=12AC=x，由sin∠ENM=PQPN=EMEN，求得AC的长，计算ACAB的值即可；
(4)延长NE、BA交于点K，过N作NL⊥AB，过A作AS⊥AN交NK于点S，过S作ST⊥AK，取BM、AN交点O，由已知条件证明△AMO∽△BNO，继而证明△MON∼△AOB，可知∠1=∠ABO=45∘，接着证明△STA≅△ALN；由tanK=STKT=NLKL，求得KT的值，最后由AEDE=AKDN得出结果．
本题主要考查了成比例线段、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数、三角形全等的性质与判定等知识点，正确的作出辅助线、用好比例式是解题的关键．
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