第6讲第1课时《矩形与菱形》（教案）人教版数学八年级下册

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第六讲  矩形与菱形［教学内容］八年级第六讲“矩形与菱形”.（第一课时）［教学目标］知识技能掌握矩形和菱形的性质和判定方法.数学思考利用矩形与菱形的性质和判定方法，培养学生的观察推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力.解决问题1.经历探索矩形和菱形的概念与性质的过程，在学习过程中，探索论证的方法.2.知道矩形的基本思路是转化为三角形，了解菱形的现实应用.情感态度
　　1.培养学生自觉反思证明过程和观察的良好习惯，培养严谨的治学态度.2.在学习过程中，体会菱形的图形美.[教学重点、难点]重点：矩形与菱形的性质和判定方法的理解和掌握    难点：矩形与菱形的性质和判定方法的综合应用 [教学准备]动画多媒体语言课件.        第一课时教学路径 导入：师：同学们都知道红丝带吧！生：知道.师：“好的，那我请一位同学来帮我画一下。生：动手画。师:看来同学们的动手能力都很强啊，我们一起来看一下：   启动型问题课件出示：红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1 cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图所示），得到重叠四边形ABCD.（1）四边形ABCD是什么四边形？试说明理由.（2）四边形ABCD的面积是多少？  小萍(图标)：四边形ABCD是菱形.理由：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.(下一步)如图，过A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F. （动画：用手画出示）（下一步）∵S=AE·BC=AB·CF，又AE=CF,∴AB=BC.∴四边形ABCD是菱形. 小亮（图标）：（用手在图中标上AB=1，BC=1,然后用手将△ABE描绿，标上∠ABE=60°）（下一步）∵S菱形=AE·BC，又在△ABE中，∠AEB=90°,∠ABE=60°，∴∠BAE=30°,∴BE=AB,AE= AB =AB=1cm.∴AB=BC=cm.∴S菱形=×1=（cm2）.师：考虑一下在刚才证明菱形的过程中，我们运用了什么判定方法？我们知道菱形、矩形是特殊的平行四边形，让我们一起回顾菱形和矩形的相关知识.回顾：1.矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.下一步2.矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.定理2：矩形的对角线相等.推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 下一步3.矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.定理2：有三个角是直角的四边形是矩形. 下一步4.菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 下一步5.菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等.定理2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 下一步6.菱形的面积公式1：S菱形=ah(其中a、h分别为菱形的底边及底边上的高).公式2：S菱形=ab（其中a、b表示菱形的两条对角线的长）. 下一步7.菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.定理2：四边相等的四边形是菱形. 下一步动画依次出示           初步性问题探究类型之一 矩形的判定例1  如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE.(1)求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形.   1.师：如何求∠CAE的度数？生：利用等腰△ABC三线合一可以求出∠CAD=30°，再根据再根据∠CAE=∠DAE-∠CAD=30°.师：如何证明四边形AFCE是矩形？生：先证明四边形AFCE是平行四边形，再证明∠CFA=90°.2.师：最后大家总结证明四边形是矩形的方法. （1）解析：在“等边△ABC中，点D是BC边的中点”下面划线，然后出示：根据等腰三角形三线合一的性质得到∠BAD=∠DAC=30°，（同时在图中用手标出∠DAC=30°）（下一步）∠CAE=∠DAE-∠CAD.（用手在图中标出∠DAE和∠CAD）答案：解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC, ∠BAC=60°，同理，∠DAE=60°.∵点D是BC边的中点，∴∠BAD=∠DAC=30°，∴∠CAE=∠DAE-∠CAD =30°. （2）解析：先证明四边形AFCE是平行四边形，再由∠CFA=90°可证四边形AFCE是矩形. 答案：证明：在等边△ABC中，∵F是AB边的中点，D是BC边的中点，∴CF=AD，∠CFA=90°, ∠ACF=30°.又∵AD=AE，∴AE=CF.由（1）知∠CAE=30°,且∠ACF=30°, ∴∠ACF=∠CAE,∴CF∥AE.∵AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形.又∵∠CFA=90°,∴四边形AFCE是矩形.  初步性问题探究类型之二  矩形的性质例2    如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC.(分两题出示)（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长.  1.师：如何证明两条线段相等？生1：利用三角形全等.师：还有别的方法吗？生2：连接AF,CE利用平行四边形的性质证明.2.师：如何求AB的长？生：证明∠ABO=30°，解含30°的特殊直角三角形.  生独立证明，然后找学生说说自己的思路. （1）方法1：证明△AOE≌△COF. 答案：证明：∵四边形ABCD是矩形,∴CD∥AB,∴∠FCO=∠EAO.∵在△FCO与△EAO中，∠FOC=∠EOA,∠FCO=∠EAO,CF=AE, ∴△FCO≌△EAO(AAS),∴OF=OE. 方法2：连接AF,CE，（动画，用手画出）利用平行四边形的性质证明.答案：连接AF,CE，如图.在矩形ABCD中，AE∥FC，又∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴OF=OE. （2）解析：在图中用手标上依次标上红色和黑色的线，然后动画：连接OB（在图中作出），根据等腰三角形的性质可得BO⊥EF，（下一步）根据矩形的性质可得OA=OB，故∠BAC=∠ABO；（同时在图中出示标记角）（下一步）结合∠BEF=2∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°；（下一步）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，利用勾股定理求AB．答案：解：连接OB.∵OE=OF，BE=BF,∴OB⊥EF.∵△FCO≌△EAO，∴OA=OC，即O为矩形对角线的交点，∴OA=OB，∴∠BAC=∠ABO，∴∠BEF=2∠BAC=2∠ABO.∵OB⊥EF, ∴∠BEF+∠ABO=90°，即3∠ABO=90°，∠ABO=30°.∴∠BAC =30°.∵在Rt△ABC中，∠BAC =30°, BC=2，∴AC=4.根据勾股定理得AB==6. 探究类型之三   菱形的判定例3   如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF． (1) 证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2) 若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3) 在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由．   师：如何证明角相等？生：利用全等三角形证明.师：还有别的方法吗？生：连接BD利用中垂线的性质定理.师：如何证明四边形ABCD是菱形？生：证明四条边都相等.师：如何确定点的位置？生：（预设）执果索因.（1）解析：动画：用手现在图上依次标上紫色，和红色的短线（下一步）先根据SSS证明△ABC≌△ADC，再根据SAS证明△ABF≌△ADF. (下一步)答案： 证明：∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC =∠DAC.∵ AB=AD,∠BAF=∠DAF，AF=AF，∴△ABF≌△ADF,∴∠AFB=∠AFD,又∵∠CFE =∠AFB,∴∠AFD=∠CFE,∴∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE.（2）解析：四条边都相等的四边形是菱形.答案：证明：∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.由(1)知∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠ACD,∴AD=CD.∵ AB=AD, CB=CD,∴AB=CB=CD=AD,∴四边形ABCD是菱形. （3）解析：先将△BCF，△DCF填充上颜色，然后再出示：证明△BCF≌△DCF得到∠CBE=∠CDE,（最后在图上用手给∠CBE与∠CDE标上弧度线）(下一步)用手动画在图上用手给∠EFD与∠BCD标上弧度线） 根据三角形内角和定理可得∠BEC=∠FED，(下一步)又∠BEC+∠FED=180°，故BE⊥CD． 答案：解：当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD.理由如下：证明：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD,∠BCF=∠DCF.又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠EFD=∠BCD. 类似性问题4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AF=DC；(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.   解析：（1）证明△AEF≌△DEB得到AF=BD,由中线定义得到BD=DC，故AF=DC；（下一步）（2）由（1）结论易知四边形ADCF为平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质说明AD=CD即可.