数学八年级下册第一章 三角形的证明4 角平分线教学演示课件ppt

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1 证明三角形的三条角平分线交于一点.2 应用角平分线定理解决数学问题.
角平分线的性质与判定的内容是什么？
定理　角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理　在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的 平分线上.
作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?
发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点，并且这一点到三角形三边的距离相等．
例1 求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F. 求证：P 点在∠BAC 的角平分线上.
证明∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD丄AB，PE丄BC，垂足分别为D，E，∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).同理，PE＝PF．∴PD＝PE＝PF.∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)， 即∠A的平分线经过点P.
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离相等．
例2 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：DE＝BD＋CE.
证明：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO. ∵DE∥BC， ∴∠CBO＝∠DOB. ∴∠ABO＝∠DOB.∴BD＝OD. 同理可证OE＝CE， ∴DE＝OD＋OE＝BD＋CE.
例3 如图，在△ABC 中. AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.（1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长；（2）求证：AB = AC + CD.
解(1)：∵AD是△ABC的角平分线，DC丄AC，DE丄AB垂足为E， ∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).∵AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC， (等边对等角).∵ ∠C＝90°， ∴∠BDE＝90°－45°＝45° .∴ BE＝DE(等角对等边). 在等腰直角三角形BDE中，∴ AC＝BC＝CD＋BD＝
（2）证明：由（1）的求解过程可知， Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）∴AC = AE（全等三角形的对应边相等）.∵BE = DE = CD，∴AB = AE + BE = AC + CD.
1 在△ABC内到三条边距离相等的点是△ABC的(　　)A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高的交点 D．以上均不对
2 到三角形三边距离相等的点的个数是(　　)A．1 B．2 C．3 D．4
3 已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB.下列确定P点的方法正确的是(　　)A．P为∠A与∠B的平分线的交点B．P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC，AB两边上的高的交点D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
4 已知：如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB =90°， ∠B = 40°， AD 平分∠CAB 交 BC 于 D 点， DE⊥AB 于 E，则∠CAD = ________.
5 如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.