2023届内蒙古呼和浩特市高三二模数学试题含解析

这是一份2023届内蒙古呼和浩特市高三二模数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届内蒙古呼和浩特市高三二模数学试题 一、单选题1．已知全集，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】计算，再计算补集得到答案.【详解】，则.故选：B2．已知复数满足，则的虚部为（    ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】计算，确定虚部得到答案.【详解】，故虚部为.故选：C3．如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．根据该折线图，下列说法错误的是（    ）A．城镇人口与年份呈现正相关 B．乡村人口与年份的相关系数接近C．城镇人口逐年增长率大致相同 D．可预测乡村人口仍呈现下降趋势【答案】B【分析】根据折线图判断乡村人口与年份、城镇人口与年份的相关关系以及线性相关关系的强弱，逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，由折线图可知，城镇人口与年份呈现正相关，A对；对于B选项，因为乡村人口与年份呈负线性相关关系，且线性相关性很强，所以接近，B错；对于C选项，城镇人口与年份呈现正相关，且线性相关性很强，相关系数接近，故城镇人口逐年增长率大致相同，C对；对于D选项，由折线图可知，乡村人口与年份呈负线性相关关系，可预测乡村人口仍呈现下降趋势，D对.故选：B.4．函数在上的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值，即可排除选项.【详解】首先，所以函数是奇函数，故排除D，，故排除B，当时，，故排除A，只有C满足条件.故选：C5．执行如图所示的程序框图，若输入k的值为1，则输出n的值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】按照程序框图运行，当时，结束循环，输出.【详解】输入，第一次循环：，，；第二次循环：，，；第三次循环：，，；第四次循环：，结束循环，此时，.所以输出.故选：B.6．若双曲线：的右焦点与抛物线：的焦点重合，则实数（    ）A． B． C．3 D．-3【答案】D【分析】根据双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合知焦点在轴上，对双曲线表达式进行变形，求出，再令即可求解.【详解】双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，所以双曲线方程化为：，再转化为：，所以， ，所以，所以，所以平方得故选：D.7．意大利数学家斐波那契（1170-1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、……，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数列满足：，，，若，则（    ）A．2025 B．2026 C．2028 D．2024【答案】D【分析】根据得到原式等于，得到答案.【详解】，则，故.故选：D8．已知向量，，若，且，则实数（    ）A．3 B． C．5 D．【答案】B【分析】计算，根据垂直得到，解得答案.【详解】，，则，解得.故选：B9．已知角，且点在直线上，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据点在线上，以及的范围，求出的值，然后用正切和公式求出的值【详解】解：因为点在直线上，代入可得：，，即，解得，，，，．故选：．10．已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算得到，根据面面垂直得到平面，设外接球半径为，的外接圆半径为，计算，得到表面积.【详解】，，则，，故，平面平面，面平面，平面，则平面， 设外接球半径为，的外接圆半径为， 则，解得，外接球表面积为.故选：D11．用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（    ）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【分析】对所选颜色的种数进行分类讨论，先涂、、三点，再确定、、三点颜色的选择方法种数，结合分步乘法和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下几种情况讨论：①若种颜色全用上，先涂、、三点，有种，然后在、、三点中选择两点涂另外两种颜色，有种，最后一个点有种选择，此时共有种；②若用种颜色染色，由种选择方法，先涂、、三点，有种，然后在、、三点中需选择一点涂最后一种颜色，有种，不妨设涂最后一种颜色的为点，若点与点同色，则点只有一种颜色可选，若点与点同色，则点有两种颜色可选，此时共有种；③若用种颜色染色，则有种选择方法，先涂、、三点，有种，点有种颜色可选，则、的颜色只有一种选择，此时共有.由分类加法计数原理可知，共有种涂色方法.故选：D.12．已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用导数画出图象，由方程，解得 或 ，根据题意，由有两个解求解.【详解】解：因为，所以，令，得，当时，，递增；当时，，递减；所以当时，取得极大值，图象如图所示：方程，即为，解得 或 ，由函数的图象知： 只有一个解，所以有两个解，所以 ，解得，故选：A 二、填空题13．在的展开式中，的系数为，则______．【答案】/【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】的展开式中，含的项为，所以.故答案为：14．已知和均为等差数列，，，，则数列的前60项的和为________．【答案】7260【分析】确定是等差数列，计算首项和公差，求和得到答案.【详解】和均为等差数列，则是等差数列，首项为，公差为，故前60项的和为.故答案为：15．一组数的分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有的数据不大于该值，且至少有的数据不小于该值．直观来说，一组数的分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于位置的数．例如：中位数就是一个50%分位数.2023年3月，呼和浩特市为创建文明城市，随机从某小区抽取10位居民调查他们对自己目前生活状态的满意程度，该指标数越接近10表示满意程度越高．他们的满意度指标数分别是8，4，5，6，9，8，9，7，10，10，则这组数据的分位数是________．【答案】6【分析】首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】依题意这个数据从小到大排列为、、、、、、、、、，又，所以这组数据的分位数是第个数.故答案为：16．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线：．当，，时，下列关于曲线的判断正确的有________．①曲线关于轴和轴对称②曲线所围成的封闭图形的面积小于8③曲线上的点到原点的距离的最大值为④设，直线交曲线于、两点，则的周长小于8【答案】①②③【分析】确定，在曲线上，①正确，曲线在一个长为，宽为的矩形内部，②正确，利用三角换元计算得到③正确，确定椭圆在曲线内，④错误，得到答案.【详解】曲线：，对①：取曲线上点，则，在曲线上，故曲线关于轴和轴对称，正确；对②：取，，取，，故曲线在一个长为，宽为的矩形内部，故其面积小于，正确；对③：设曲线上一点为，则，设，到原点的距离的平方为，，，当时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为，正确.对④：对于曲线和椭圆，设点 在上， 点在上，，故， 所以，设点在上，点在上，，所以，即，故椭圆在曲线内(除四个交点外)， 如图：设直线交椭圆 于两点，交轴于，为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义可知：，，所以的周长为8，由图可知，的周长不小于8，错误；故答案为：①②③【点睛】关键点睛：本题考查了超椭圆的概念，对称性，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定椭圆在曲线内，再利用椭圆的知识求解是解题的关键. 三、解答题17．如图，在直三棱柱中，，，，点为的中点．(1)求证平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）确定，得到平面，得到，再根据得到线面垂直.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，确定平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1），，，则，所以，平面，且平面，则，平面，故平面，又平面，所以，由于四边形为正方形，所以，，平面，故平面.（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：可知，，，，，，，设为平面的法向量，，令，可得；设为平面的法向量，令，可得，所以，又因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为.18．在中，内角，，的对边分别为，，，已知外接圆的半径为1，且．(1)求角；(2)若，是的内角平分线，求的长度．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理得到，整理得到，得到答案.（2）根据正弦定理得到，，计算角度得到，得到答案.【详解】（1），则，即，则由余弦定理可得，所以．又，，所以，即，又，所以．（2）由正弦定理可得：，解得，，，故为锐角，，在中，，是的内角平分线，故，，故．19．文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有个字脱落．(1)若，用随机变量表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量的分布列及期望；(2)若，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率．【答案】(1)分布列见解析，(2)0.6 【分析】(1)利用超几何概率分布模型求解即可；(2)根据掉落的两个字的不同情况进行分类讨论求解.【详解】（1）方法一：随机变量X的可能取值为0，1，2， ，，，随机变量X的分布列如下表：X012P随机变量X的期望为法二：随机变量X服从超几何分布，所以.（2）设脱落一个“学”为事件，脱落一个“好”为事件，脱落一个“数”为事件，事件为脱落两个字，，，，，，所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为，法二：掉下的两个字不同的概率为，所以标语恢复原样的概率为．20．已知函数，．(1)若，判断函数的单调性；(2)当时，求函数的最小值，并证明：．【答案】(1)在上为增函数，在上为减函数(2)；证明见解析 【分析】（1）求导得到，确定，取得，得到单调区间；（2）确定函数单调区间，计算，，得到最小值，确定，设，求导得到单调区间，计算最值得到证明.【详解】（1），即，因为，所以在上成立．令得，当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数.（2）当时，，．在单调递增，在单调递减，，，故函数的最小值为，，即，即．即．要证，只需证，只需证在上恒成立令，则，所以单调递减，所以，故恒成立，所以，原不等式得证．【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，通过函数的构造将不等式的证明转化为函数的最值是解题的关键.21．已知抛物线：和椭圆：，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的中垂线交椭圆于，两点．(1)若恰是椭圆的焦点，求的值；(2)若，且恰好被平分，求的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）计算焦点得到，解得答案.（2）设直线：，联立方程得到根与系数的关系，设的中点，代入计算得到，由点在椭圆内，得到，确定，再计算面积得到答案.【详解】（1）在椭圆中，，所以，由，得．（2）设直线：，，，代入抛物线方程得．，则，设的中点，则，，设，，则直线的斜率为，，，相减得到，即.即，解得，由点在椭圆内，得，解得，因为，所以值是1，面积．【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和抛物线方程，面积问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用点差法得到是解题的关键，弦中点问题我们一般使用点差法，需要熟练掌握.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；(2)设直线：（为参数）与曲线，的交点从上到下依次为，，，，求的值．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据将曲线的参数方程化为普通方程，根据，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程分别代入曲线、的普通方程，根据直线的参数方程中参数的几何意义计算可得.【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），又，所以曲线的普通方程为．曲线的极坐标方程为，有，由得曲线的直角坐标方程为．（2）将直线：（为参数）代入曲线的方程得，即．解得两根为，，由的几何意义得，，同理将直线：（为参数）代入曲线的方程得，解得两根为，，所以由的几何意义得，，，，对应的值为，，，，故．23．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)设的最小值为M，若正实数a，b满足，证明：．【答案】(1)(2)证明过程见详解 【分析】（1）对进行分类讨论，再结合图象求解绝对值不等式即可；（2）由（1）可知，可得，再利用基本不等式证明即可．【详解】（1）由题意知，令，得或，结合图象可知的解集为．（2）由题意可知，，，，则令，，则，，当且仅当，即，时等号成立．