2023届北京市中国人民大学附属中学高三统练（四）数学试题含解析

2023届北京市中国人民大学附属中学高三统练（四）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答.

【详解】集合，即，

，则，所以.

故选：B

2．已知向量，且，则m=

A．−8 B．−6

C．6 D．8

【答案】D

【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．

【详解】∵，又，

∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．

故选D．

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．

3．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.

【详解】对于A，函数为奇函数，但在定义域上函数不单调，故A不符合；

对于B，的定义域为，，则为偶函数，故B不符合；

对于C，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上均为增函数，故在上为增函数，故C不符合；

对于D，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上为减函数，在上为增函数，故在上为减函数，故D符合.

故选：D.

4．若实数、满足，则下列不等式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】对于D，结合对数函数的单调性即可判断；对于ABC，取，即可判断.

【详解】由题意，，所以，故D正确；

当，时，，但，，，故A，B，C错误.

故选：D.

5．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（    ）

A．60 B．80 C． D．

【答案】B

【分析】根据各项系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可.

【详解】当时，，解得，

则的展开式第项，

令，解得，所以，

故选：B

6．已知抛物线的焦点为F，点，点P为该抛物线上一动点，则周长的最小值是（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【分析】根据题意分析出的最小值为点A到准线的距离，而为定值，即可求出周长的最小值.

【详解】

因为抛物线方程为，所以，

所以焦点，且抛物线准线方程为.

注意到的周长为，

因为，，所以,

所以.

因为根据抛物线定义，点到准线的距离等于，

则若求周长最小值，即求点到准线的距离与长度之和的最小值即可，

由图可知，当点为过点作轴垂线与抛物线的交点时，

点到准线的距离加长度之和最小，

最小值为，

所以周长的最小值为.

故选：C.

7．已知等差数列的前项和为，，，则（    ）

A．当时，最大 B．当时，最小

C．数列中存在最大项，且最大项为 D．数列中存在最小项

【答案】C

【分析】根据题意分析可得，.对A：根据等差数列的前项和的性质结合二次函数分析判断；对B：分类讨论判断与的大小关系；对C、D：根据等差数列的单调性以及的正负性分析判断.

【详解】设等差数列的公差为d，

∵，则，即，

又∵，解得，

对A：∵为等差数列，则可设，

由二次函数可知不存在最大值，故A错误；

对B：因为，则有：

当时，，故；

当时，，故；

当时，，；故B错误；

对C、D：∵，则数列为递减数列，

且，

所以对，均有；对，均有0，

所以中，最大，无最小项，故C正确，D错误.

故选：C.

8．已知非零向量，，则“与共线”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．即不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】取为方向相反的单位向量，得到不充分，根据得到，得到必要性，得到答案.

【详解】若与共线，取为方向相反的单位向量，则，，

，不充分；

若，则，整理得到，

若或，不等式成立，且与共线，

若且，设夹角为，则，即，即，即，故与共线，必要性.

综上所述：“与共线”是“”的必要不充分条件.

故选：B

9．血药浓度（Plasma    Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：

根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中：

①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；

②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒；

③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；

④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒.

其中正确说法的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据图象，结合题意，逐个判断即可．

【详解】①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确；

②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确；

③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使血药浓度大于最低有效浓度，药物持续发挥治疗作用，故正确；

④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误．

故选：C．

10．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件确定出点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答.

【详解】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，

显然直线，因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，

其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图：

，两圆外离，由圆的几何性质得：，，

所以的取值范围是：.

故选：B

【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.

二、填空题

11．已知a，b均为实数.若，则_____________.

【答案】

【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.

【详解】，故，.

故答案为：.

12．设双曲线的两个焦点为、，点是圆与双曲线的一个公共点，，则该双曲线的离心率为________．

【答案】

【分析】运用双曲线的定义、向量加法及数量积、余弦定理计算可得结果.

【详解】由题意知，点P在双曲线E上，不妨取设，

则由双曲线的定义知，，①

因为O为的中点，

所以，

所以，

又因为点P在圆上，所以，

所以，

即：，②

又因为在△中，由余弦定理得：，即：，③

由①②③得，所以.

故答案为：.

三、双空题

13．若函数在上取到最大值A，则的最小值为___________.若函数的图象与直线在上至少有1个交点，则的最小值为__________.

【答案】         

【分析】利用正弦函数的图象和周期即可求解.

【详解】要使在区间上取到最大值A，

则，，则的最小值为；

又函数与在上至少有1个交点，

即函数在区间上至少出现1次最小值，

，解得：，则的最小值是.

故答案为：；.

14．如图，在中，，，、分别在边、上，，且.则值是__________；的面积是__________.

【答案】          /

【分析】分析可得，，在中，利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可求得的值；求出的长，利用两角和的正弦公式求出的值，利用三角形的面积公式可求得的面积.

【详解】因为，则，故，

因为，则为的中点，且，

在中，由正弦定理可得，即，

易知为锐角，故，可得，

所以，，则，

，

，故在中，为锐角，故，

所以，，

因此，.

故答案为：；.

四、填空题

15．在数列中，对任意的都有，且，给出下列四个结论：

①对于任意的，都有；

②对于任意，数列不可能为常数列；

③若，则数列为递增数列；

④若，则当时，.

其中所有正确结论的序号为_____________.

【答案】③④

【分析】对数列递推关系变形得到，得到与同号，当时，，①错误；

当时，推导出此时为常数列，②错误；

作差法结合时，，求出数列为递增数列，③正确；

由与同号，得到当，有，结合作差法得到为递减数列，④正确.

【详解】因为，所以，

因为任意的都有，所以，

所以与同号，当，则时，都有，①错误；

当时，，所以，同理得：，此时为常数列，②错误；

，

由A选项知：若，则，

所以，

则数列为递增数列，③正确；

由与同号，当，则时，都有，

且此时，

所以数列为递减数列，

综上：若，则当时，，④正确.

故答案为：③④

五、解答题

16．已知函数.在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：

条件①：在图象上相邻的两个对称中心的距离为；

条件②：的一条对称轴为.

(1)求ω；

(2)将的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由三角函数的恒等变换对进行化简，再分别由条件①②求的值．

（2）由三角函数的平移变换得的解析式，再由函数的定义域求值域即可．

【详解】（1）

选①：图象上相邻两个对称中心的距离为，

则，则，

选②：的一条对称轴为，

则，

，又，则，

于是

（2）将的图象向右移个单位长度（纵坐标不变），

得到函数的图象

，

，

，

的值域为．

17．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，，E为线段AD的中点.PE⊥底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.

(1)求证：；

(2)若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理和性质定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）证明：因为E为AD中点，

所以．

又因为BC＝1，所以DE＝BC．在梯形ABCD中，DEBC，

所以四边形BCDE为平行四边形．所以BECD．

又因为BE⊄平面PCD，且CD⊂平面PCD，

所以BE平面PCD．

因为BE⊂平面BEF，平面BEF∩平面PCD＝FG，

所以BEFG．

.

（2）因为PE⊥平面ABCD，且AE，BE⊂平面ABCD，

所以PE⊥AE，且PE⊥BE．

因为四边形BCDE为平行四边形，∠ADC＝90°，

所以AE⊥BE．

以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E﹣xyz．

则．

设，

所以，．

因为PC与AB所成角为，

所以．

所以．

则，．

所以，，．

设平面BEF的法向量为，

则，即

令，则，

所以．

所以．

所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为．

18．某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：

（1）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；

（2）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E（X）与E（Y）的值；

（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【分析】（1）由频率和为1可得a的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率；

（2）计算概率可得分布列和期望．

（3）由两组数据的比重可直接作出判断.．

【详解】（1）由图知，某场外观众评分不小于9的概率是．

（2）X的可能取值为2，3．P（X=2）=；P（X=3）=．

所以X的分布列为

所以E（X）=2×．

由题意可知，，所以E（Y）=np=．

（3）．

【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望考查了超几何分布和二项分布，属中档题．

19．已知函数.

（I）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【详解】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.

试题解析：（I）的定义域为.当时，

，

曲线在处的切线方程为

（II）当时，等价于

设，则

，

（i）当，时，，故在上单调递增，因此；

（ii）当时，令得

.

由和得，故当时，，在单调递减，因此.

综上，的取值范围是

【解析】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性

【名师点睛】求函数的单调区间的方法：

（1）确定函数y＝f（x）的定义域；

（2）求导数y′＝f′（x）；

（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

20．如图，已知椭圆的离心率为，F为椭圆C的右焦点，，.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M，直线OM与直线交于点D，过O且平行于AP的直线与直线交于点E.求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆的离心率为， ，结合性质 ，列出关于、、的方程组，求出、、，即可得椭圆C的方程；

（2）设直线的方程为：，将其代入椭圆方程，整理得，根据韦达定理可得，直线的方程是，令 ，得，同理可得，根据斜率公式可得在和中，和都与互余，所以.

【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c，

依题意，得：，解得，，

，

椭圆C的方程是：.

（2）证明：由第一问得，设AP的中点，，

设直线AP的方程为：，将其代入椭圆方程，

整理得：，

椭圆C与直线AP的交点为与，

，

的中点是，

，代入得：，

即，

直线OM的斜率是，

直线OM的方程是，令，得，

，且直线过原点，

直线OE的方程是，令，得，

由，得直线EF的斜率是，

直线OM的斜率与直线EF的斜率互为负倒数，

，记垂足为H，

直线DF的斜率是，

直线DF的斜率与直线OE的斜率互为负倒数，

，记垂足为G，

在和中，和都与互余，

.

21．对非空数集，，定义，记有限集的元素个数为.

（1）若，，求，，；

（2）若，，，当最大时，求中最大元素的最小值；

（3）若，，求的最小值.

【答案】（1）；（2）13；（3）15

【解析】（1）根据新定义求出，进而可得答案；

（2）设，，当A中元素与B中元素的差均不相同时，可取到最大值，进而可求出最大值，再通过得到，可得中最大元素的最小值；

（3）对非空数集T，定义运算，首先确定A中不同的元素的差均不相同，B中不同的元素的差均不相同，由可得的最小值，然后验证最小值可以取到即可.

【详解】解：（1），，

，

;

（2）设，，

①，

，当A中元素与B中元素的差均不相同时等号成立，

所以最大值为16；

②当时，A中元素与B中元素的差均不相同，

，

又因为，

，

，

则，

综上，最大值为16，A中最大元素的最小值为13；

（3）对非空数集T，定义运算，

①,

，当且仅当时取等号，

又因为，

所以A中不同的元素的差均不相同，

同理，B中不同的元素的差均不相同，

若

因为，

，

②令，，

所以，A中不同元素的差均不相同，B中不同元素的差均不相同，

所以，

经检验，符合题意，

综上的最小值为15.

【点睛】本题考查集合的新定义问题，正确理解题意是解题的关键，考查学生分析问题解决问题的能力，是一道难度较大的题目.