2023届新疆喀什地区普通高考高三适应性检测数学（理）试题含解析

2023届新疆喀什地区普通高考高三适应性检测数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】化简集合，然后根据交集的定义运算即得.

【详解】不等式的解集为，

所以，又，

所以，

故选：D.

2．已知复数（i是虚数单位），则复数在复平面中所对应的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数的四则运算及几何意义即可判定.

【详解】计算可得：，即其在复平面对应的点为.

故选：B

3．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级.如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（    ）.

A．这14天中空气质量指数的中位数是179

B．从1日到5日空气质量越来越好

C．这14天中有7天空气质量为“重度污染”

D．连续三天中空气质量指数方差最小是8日到10日

【答案】C

【分析】将14天的空气质量指数由小到大依次排列，即可得出中位数，判断A项；观察数据可判断B项；由图中数据即可得出C项；计算可得，12日到14日空气质量指数的方差小于8日到10日空气质量指数的方差.

【详解】对于A项，由图象可知，14天的空气质量指数由小到大依次为：80，83，138，155，157，165，179，214，214，221，243，260，263，275，所以中位数为，故A项错误；

对于B项，1日为214，2日为275，空气质量变差，故B项错误；

对于C项，由图象可知，14天的空气质量指数在区间内的有：214，214，221，243，260，263，275，共7天（第1天和第12天均为214），故C项正确；

对于D项，经计算可得8日到10日空气质量指数方差为，12日到14日空气质量指数方差为，故D项错误.

故选：C.

4．已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】B

【分析】由三视图得到直观图，再根据锥体的体积公式计算可得.

【详解】由三视图可得几何体的直观图如下：

其中为边长为的正方形，平面，且，

所以，即该四棱锥的体积为.

故选：B

5．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先得到函数的定义域、奇偶性，再利用导数说明函数在上的单调性，利用排除法即可判断.

【详解】函数的定义域为， 又，

故为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B、D；

又当时，则，

所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，

且，，故排除C；

故选：A

6．执行如图所示的程序框图，输出的s值为

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，

详解：初始化数值

循环结果执行如下：

第一次：不成立；

第二次：成立，

循环结束，输出，

故选B.

点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.

7．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（    ）．

A．4 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据，结合三角函数的基本关系式，诱导公式和倍角公式，即可求解.

【详解】根据题意，可得，

则.

故选：A．

8．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为，求出平面的法向量，令，求出的值．

【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，

设，则，，，

故，，，

设平面的一个法向量为，

则，可取，

故，

又直线与平面所成角的正弦值为，

，解得．

故选：D

9．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，根据几何概型得到答案.

【详解】

直角三角形的斜边长为，

设内切圆的半径为，则，解得，

内切圆的面积为，

豆子落在内切圆外部的概率.

故选：C.

10．已知等比数列的前n项和为，且，则（    ）

A．54 B．93 C．153 D．162

【答案】D

【分析】先求出，根据与的关系得出当时，．又根据等比数列，可知.列出方程，即可求出的值，再利用通项公式求.

【详解】当时，则.

当时，．

又因为是等比数列，所以，

所以，解得：，

所以，所以．

故选：D.

11．在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线（，）交于A，B两点，F是该双曲线的焦点，且满足，若的面积为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．5

【答案】D

【分析】不妨设F是该双曲线的右焦点，设双曲线的左焦点为，则可得四边形为矩形，由双曲线的定义和勾股定理结合三角形面积可得，即可求出离心率.

【详解】不妨设F是该双曲线的右焦点，设左焦点为，则F，在以AB为直径的圆上，根据双曲线和圆的对称性，圆过双曲线的左右焦点，如图，连接，则四边形为矩形，

则可得，，

所以，

又因为，

所以，得，

所以.

故选：D.

12．已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，若则（    ）

A．10 B．-10 C． D．-

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性与对称性得函数的周期，再根据已知区间内的解析式求得的值，最后利用周期性即可求得的值.

【详解】由为奇函数可得：，即①，则关于点对称，令，则；

由②，得的图象关于直线对称；

由①②可得：，即，所以，故，所以函数的周期；

所以，即，

联立，解得，故.所以.

故选：A.

二、填空题

13．设为单位向量，且，则____________．

【答案】

【分析】利用平方的方法求得，再由平方的方法求得.

【详解】由两边平方得，

.

故答案为：

14．的展开式中的系数是________．（用数字作答）

【答案】

【分析】首先分析出存在有两项，然后分别求出这两项系数，相加即可.

【详解】根据题意,的项在的展开式中有两项，

分别为：和，即和，

则的系数为：.

故答案为：.

15．已知椭圆的左、右焦点为，，点关于直线的对称点P仍在椭圆上，则的周长为________．

【答案】/

【分析】利用椭圆的定义、几何性质即可求解.

【详解】椭圆的左焦点关于直线的对称点仍在椭圆上，则，，则三角形的周长为.

故答案为：.

16．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且∠BAC的平分线交BC于D，若，则的最小值为________．

【答案】9

【分析】先根据三角形面积关系列等量关系，再根据基本不等式求最值.

【详解】因为AD平分∠BAC，所以，，

即，又，

整理得，故

所以，

当且仅当，，即，时等号成立，

则的最小值是9．

故答案为：.

三、解答题

17．已知数列是等差数列，且满足，是与的等比中项.

(1)求数列的通项公式；

(2)已知数列满足，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，列方程组求解，写出通项公式；

（2）使用错位相减求和即可.

【详解】（1）设等差数列的公差为，由题设可得：，

解得：，

∴；

（2）由（1）知，

所以，

所以

，

所以.

18．如图，已知三角形是等腰三角形，，，C，D分别为，的中点，将沿CD折到△PCD的位置如图2，且，取线段PB的中点为E．

(1)求证：平面PAD；

(2)求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取PA中点F，连接DF，EF，即可证，，得到四边形CDEF为平行四边形，则，再由线面平行的判定可得平面PAD；

（2）通过题目条件证得AD，CD，PD两两互相垂直，以D为坐标原点，分别以AD，CD，PD所在直线为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面ECA，平面ECB的法向量，再由两法向量所成角的余弦值即可求得二面角的正弦值．

【详解】（1）证明：取PA中点F，连接DF，EF，

∵E为PB的中点，则，，∴，，

又∵C，D分别为，的中点，∴，，

∴，，

∴四边形CDEF为平行四边形，∴．

∵平面PAD，平面PAD，

∴平面PAD；

（2）由题知，，，

∴，则，

∵在中，，C，D分别为，的中点，

∴，∴，，

∴AD，CD，PD两两互相垂直．

如图所示，以D为坐标原点，分别以AD，CD，PD所在直线为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

∴，，，

设平面ECA，平面ECB的法向量分别为，，

则，取，可得；

，取，得．

∴．

设二面角的平面角为，则．

19．某社区对是否愿意参与2023年元旦文艺与体育活动进行调查，随机抽查男性居民，女性居民各35人，参与调查的结果如下表：

(1)从已知数据判断能否有95%的把握认为是否愿意参与文艺和体育活动与性别有关；

(2)用分层抽样方法，在愿意参与的居民中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记抽到的男性居民人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

附：，其中.

【答案】(1)有95%的把握认为是否愿意参与文艺和体育活动与性别有关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据给定的数表，结合的计算公式，求出的观测值并与临界值表比对作答；

（2）根据分层抽样原则可确定8人中，男性居民和女性居民应抽取的人数，则可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值.

【详解】（1）由已知得列联表：

因为．

所以有95%的把握认为是否愿意参与文艺和体育活动与性别有关；

（2）用分层抽样方法，在愿意参与的居民中抽取8人，男性居民应抽取3人，女性居民应抽取5人，

再从这8人中随机抽取3人，记抽到的男性居民为X，则X的可能取值为0，1，2，3．

，，，

，

所以X的分布列为：

所以．

20．已知抛物线C：的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为3．

(1)求p；

(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求三角形PAB面积的最值．

【答案】(1)

(2)PAB面积的最大值为，最小值为.

【分析】（1）通过抛物线的定义即可求得p；（2）对求导，由导数的几何意义可得出直线PA及直线PB的方程进而求得点的坐标，再将AB的方程与抛物线的方程联立，可得，，及点P到直线AB的距离，进而表示出三角形PAB面积，再求出其最值即可.

【详解】（1）由点到圆M上的点的距离的最小值为

解得．

（2）由（1）知，抛物线的方程为，即，则．

设切点，，则易得直线PA：，直线PB：，

从而得到．

设直线AB：，联立抛物线方程，消去y并整理，得，

则，即，且，，故．

因为，

点P到直线AB的距离，所以，①

又点在圆M：上，

故，代入①得，，

而，故当时，,

故当时，.

21．已知.

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)存在3个零点，求实数a的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】（1）求得导数，令，可得或，分、和三种情况讨论，即可求解；

（2）化简，得到有一个零点，转化为方程有两个零点，设，利用导数求得函数的单调性与极值，结合图象，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数，

可得，

因为，令，可得或．

（i）当时，此时，

当和时，，单调递增；

当时，，单调递减，

（ii）当时，，当时，，单调递增，

（iii）当时，此时，

当和时，，单调递增；

当时，，单调递减，

（2）由函数，

可得有一个零点，

要使得有3个零点，即方程有2个实数根，

又由方程，可化为，

令，即函数与图像有两个交点，

令，得，

的单调性如表：

所以函数在处取得极小值2e，

当时，，又，的大致图像如图，

要使得有3个零点，

则实数的取值范围为

【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

22．已知曲线的方程为，曲线的参数方程为（t为参数）．

(1)求的参数方程和的普通方程；

(2)设点P在上，点Q在上，求的最小值．

【答案】(1)：（为参数）；：

(2)

【分析】（1）根据椭圆的参数方程求的参数方程，由的参数方程消参数可得其普通方程.

（2）设，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式、三角函数的性质即可求解.

【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），

由，

可得，

所以曲线的普通方程为．

（2）设，

点P到直线的距离为d，则的最小值即为d的最小值，

因为，

其中，

当，即时，

即时，d取最小值为1，此时．

23．已知，，为正数，函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若的最小值为，且，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）分类讨论去绝对值，即可得出答案；

（2）解法一：根据绝对值三角不等式可得.根据基本不等式可得，进而推得，即可证明；解法二：根据绝对值三角不等式可得.然后根据柯西不等式即可得出，进而得出证明.

【详解】（1）由已知可得，.

当时，不等式可化为，即，解得，所以；

当时，不等式可化为，该不等式恒成立，所以；

当时，不等式可化为，解得，所以.

综上所述，不等式的解集为.

（2）解法一：

∵，当且仅当时，等号成立，

∴，∴.

∵，，，

∴，

∴，

∴，

当且仅当时，等号成立，

∴.

解法二：

∵，当且仅当时，等号成立，

∴，

∴.

由柯西不等式得：

，当且仅当时，等号成立，

∴.