通用版2023届高考数学二轮复习零点问题作业含答案

零点问题

一、单选题

1.  若函数有两个零点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知函数，若函数为常数有三个零点，则实数的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

3.  函数的零点的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知当时，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知函数有两个零点，则的最小整数值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知是定义在上的偶函数，且满足，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  已知函数图象上存在点，函数为自然对数的底数图象上存在点，且，关于点对称，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  已知正实数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知函数与的图象有三个不同的公共点，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D. 或

二、多选题

10.  已知方程，其中，下列条件中使得该三次方程有且仅有一个实根的是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

11.  已知函数，则(    )

A. 为其定义域上的增函数 B. 为偶函数
C. 的图象与直线相切 D. 有唯一的零点

12.  已知函数，则下列结论正确的是(    )

A. 当时在上单调递增 B. 当时的最小值为
C. 当时有且仅有个极值点 D. 当时有且仅有个零点

13.  已知函数，，，，，，为图象上的三点，则

A. 有两个零点
B. 若为极小值点，则
C. 直线是曲线的切线
D. 若，则

三、14.  函数的零点有          个．

15.  若函数只有一个零点，则实数的取值范围是________．

四、解答题（本大题共11小题，共132.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分

已知函数．

Ⅰ求的零点个数；

Ⅱ若，证明：时，．

17.  本小题分
已知函数，函数图象在处的切线与轴平行．
求的值；
讨论方程根的个数．

18.  本小题分
设函数，．
求的单调区间和极值；
证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．

19.  本小题分

已知函数，

时，求函数在上的单调区间

时，试讨论在区间上的零点个数．

20.  本小题分
已知函数，．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线的方程；
Ⅱ若曲线与轴有且只有一个交点，求的取值范围．

21.  本小题分
已知函数在处取得极值．
求的区间的最值；
若恰有两个零点，求在处的切线方程．

22.  本小题分

已知函数．

若，求的极大值

若在区间上有两个零点，求实数的取值范围．

23.  本小题分

已知函数与  

 证明：当时，；

 若函数与图象有公共点，求的取值范围．

24.  本小题分

已知函数．

若，讨论在区间上的单调性；

证明：当时，在区间上有且只有两个零点．

25.  本小题分

已知函数．

求在的极值；

证明：函数在有且只有两个零点．

26.  本小题分

已知函数．
讨论函数的零点个数
记较大的零点为，求证：．

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16.解：，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
．
又，，
的零点有个．
令，．
，
，，
，，
，在上单调递增，
，
当时，． 

17.解：，
则，
由题意知，，即，解得；
由得，
此时，
则有：

且当时，，当时，．
大致图象如图，

当时，方程无根，当或时，方程有一根，
当或时，方程有两个根，当时，方程有三个根． 

18.解：由
由解得
与在区间上的情况如下：

所以，的单调递增区间为，单调递减区间为；
在处的极小值为，无极大值．
证明：由知，在区间上的最小值为．
因为存在零点，所以，从而
当时，在区间上单调递减，且
所以是在区间上唯一零点．
当时，在区间上单调递减，且，
所以在区间上仅有一个零点．
综上所述，若存在零点，则在区间上仅有一个零点． 

19.解：时，，

而在上单调递增，而

，．

在上单调递减

当时：

时，，在区间上无零点

时，方程的解等价于方程的解．

时，在单调递增，

而

唯一使得且在单调递减，单调递增

而，

在上有两个零点

时，，，

令，则在上单调递减
，，唯一使得
在单调递增，上单调递减
而，
唯一使得
在单调递增，上单调递减，而，
在上无零点．
时
在上单调递减
而，
唯一使得
综上所述：时，在区间有三个零点

20.解：Ⅰ当时，，．
，又，
所以曲线在点处的切线方程为．
Ⅱ由，得，
当时，，此时在上单调递增，
当时，，当时，，
所以当时，曲线与轴有且只有一个交点；
当时，令，得，
与在区间上的情况如下：

若曲线与轴有且只有一个交点，
则有，即，解得．
综上所述，当或时，曲线与轴有且只有一个交点． 

21.解：函数，
则，
因为在处取得极值，
则，即，解得，
所以，
令，可得或，
令，可得，
所以函数在处取得极值，
故符合题意，
则，
因为，，，，
所以在上的最小值为，最大值为；
由，
由可知，的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以的极大值为，极小值为，
因为有两个零点，
所以，
解得，
则，
则，
故切点为，
又，
则，
所以切线的斜率为，
则在处的切线方程为，即． 

22.解：当时，．
则．
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的极大值为．

由题意得．
当时，，对恒成立，在区间上单调递增，

又，所以在区间上仅有一个零点，不符合题意．
当时令．
得．．
若即时对恒成立．
在区间上单调递减．
又，所以在区间上仅有一个零点，不符合题意，
若即时，在区间上单调递增在区间上单调递减，
令，，则，
所以在区间上单调递减，
所以，即，
所以．
其中．
因为函数的图象开口向下，
所以，使．
即在区间上有两个零点．
综上，实数的取值范围为． 

23.解：，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减．

故即当时，．

当时，，故存在，使得，故两函数图象有交点．

当时，考虑到与互为反函数，故与公共点必在上反之，与的公共点也是与交点．

令．

令．

令得．

当时，，单调递增．

当时，，单调递减．

故

即，即．

综上所述，当且时，与图象有公共点．

24.解：若，则，
当时，，，，令，
则．
由，得在上单调递减，
又，
所以，所以在上单调递增．
当，时，，，
，
所以在上单调递减，，
若，则，
所以在上单调递增．
又，，
所以在上有唯一零点
若，则，又，
所以存在，使得，
且当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以在上有唯一零点．
当，时，，，
所以在上单调递减，
又，，
所以在上有唯一零点．
当，时，，，，
所以，所以在上无零点．
综上，时，在上有且只有两个零点． 

25.解：由得，，令得，，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，无极大值．
证明：，，则，
令，则．
当时，，则在上单调递减，
，
所以，存在，使得 
当变化时，，变化如下表：

而，，
则，又，
令，其中，
则，所以，函数在上单调递增，
则，所以，，
由零点存在定理可知，函数在上有两个零点． 

26.解：的定义域为，．
，
令，则，所以单调递减．
因为，，由此可得存在唯一，使得．
所以在单调递增，在单调递减，所以，
又，所以存在，使得．
所以在单调递减，在单调递增，在单调递减．
因为，所以，而，所以在之间存在唯一零点．
综上所述：有两个零点．
由可得函数较大的零点为，则，
则故只需证明，
等价于证明．
不妨设，，则等价于证明．
设，，
则，
因为，，，所以，
所以在单调递增，因此．
所以，
设，，注意到，
则，
令，注意到，
则，
令，注意到，则，，
所以在单调递减，所以，则在恒成立．
因此在单调递增，所以在恒成立．
所以在单调递增，则在恒成立．
所以在单调递增，则在恒成立．
故，
综上所述：．