通用版2023届高考数学二轮复习配凑法作业含答案

配凑法

一、单选题

1.  若，则

A.  B.  C.  D.

2.  已知，，直线，，且，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知函数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，，且若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知数列满足，，若，则数列的通项    (    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于的方程恰有两个根为、，且、分别满足和，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题

7.  若不等式对任意正数，恒成立，则实数的可能取值为(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题

8.  若数列的首项，且，令，则          ．

9.  已知，则          ．

10.  利用配凑法求解析式：已知函数，则          ．

11.  已知，，，则的最小值为          

12.  已知，则的最小值为          ．

13.  在数列中，，，且对任意的，都有，则数列的通项公式为          ．

14.  已知，函数的值域为，则的最小值为          ．

15.  化简：          ．

16.  已知，则          ．

17.  已知，且式子的最小值是          ．

18.  已知，，满足，且对于任意，，恒成立，则实数的最大值为          ．

19.  已知函数，则 的最大值为          ．

20.  已知实数满足，若，则的最小值是          ．

21.  抛挪一枚硬币，每次正面出现得分，反面出现得分，则恰好得到分的概率是          

22.  如图，在中，是边上一点，且，为直线上一点列，满足：，且，则数列的前项和          ．

四、解答题

23.  本小题分
已知角在第二象限，且．
求的值；
若，且为第一象限角，求的值．

24.  本小题分

设数列的前项和为，且

求；

证明：当时，．

25.  本小题分

设数列满足，，且．

求证：数列为等差数列，并求的通项公式；

设，求数列的前项和．

26.  本小题分
设数列的前项和为 ， 已知 ，，，且当时，．

求的值；

证明：为等比数列；

求数列的通项公式．

27.  本小题分

记各项均为正数的数列的前项和是，已知，为正整数．
求的通项公式
设，求数列的前项和．

答案和解析

1. 

【解析】

【分析】

此题考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，还考查了二倍角公式的应用，属于基础题．

由已知利用二倍角的余弦公式求出的值，再利用诱导公式即可求出所求式子的值．

【解答】

解：  ，
，
．
 

2. 

【解析】

【分析】

本题考查两条直线垂直的判定，考查利用基本不等式求最值，属于中档题 
根据得到，再将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果．

【解答】

解：因为，所以，即，
因为，，所以，，
所以

，
当且仅当，时，等号成立．
故选D ．

3. 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数解析式的求解，利用配凑法或换元法求出的解析式是解决本题的关键．
利用配凑法先求出的解析式，然后代入求解即可．

【解答】

解：，令，
则，
则，
故选：．

4. 

【解析】

【分析】

本题主要考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围，考查利用“”的代换的方法和基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于较难题．
首先根据不等式恒成立，得到，然后结合“”代换的方法以及基本不等式，求得实数的取值范围．

【解答】

解：由于不等式对任意实数恒成立，
即恒成立，
而，
所以，即，
由于，
则
，
当且仅当时等号成立，则取得最小值，
所以，
故选D．

5. 

【解析】

【分析】

本题考查数列的递推关系以及等比数列的综合运用，属于中档题．
由题意得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，通过累加法，从而得出结果．

【解答】

解：由题意得，，
，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
通过累加法得，

，
．
故选B．

6. 

【解析】

【分析】

本题考查了函数方程与零点之间的关系，指数函数与对数函数性质，属于较难题目．
根据题意易知，然后根据题意可知，，根据同底数的指数函数与对数函数图象关于对称，可知，即可求解．

【解答】

解：方程可得：，
满足，满足，
，，
由同底数的指数函数与对数函数图象关于对称，
，，
．
故选D．

7. 

【解析】

【分析】

本题主要考查了基本不等式的应用，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．
根据题意得到，得到，当且仅当时取等号，即可得解．

【解答】

解：不等式对任意正数，恒成立，
，
由，可得，
化为，当且仅当时等号成立，
，
当且仅当时等号成立．
，满足条件的选项有，．
故选AD．

8. 

【解析】

【分析】

本题考查数列递推关系，等比数列的概念，等差数列的求和，对数的运算，属于基础题．
根据递推关系构造等比数列，再由对数的运算和等差数列的求和公式可得答案．

【解答】

解：因为，则，
又因为，
所以数列为公比为，首项为的等比数列，
故，所以，
所以．
则
．
故答案为．

9. 

【解析】

【分析】

本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
将写成；利用二项展开式的通项公式求出通项，令的指数为，求出．

【解答】

解：
其展开式的通项为，
令得
故答案为．

10.，或 

【解析】

【分析】

本题考查函数解析式的求法，属于拔高题．
由于，所以得到，注意自变量的范围．

【解答】

解：
又由对勾函数单调性得：当且仅当时取等号或当且仅当时取等号，
，或，
即函数的解析式是，或．
故答案为： ，或．

11. 

【解析】

【分析】

本题考查了由基本不等式求最值或取值范围，涉及对数运算、换底公式等知识，属一般题．
化简已知可得，再化得，进而利用基本不等式求解最小值即可．

【解答】

解：原式化简，，
，
当且仅当，时取“”号．

12. 

【解析】

【分析】

本题考查由基本不等式求最值，属于较难题．
利用基本不等式结合配凑求出结果．

【解答】

解：由于，
所以
，
当且仅当，即，时，等号成立．
故答案为：．

13. 

【解析】

【分析】

本题考查数列的递推关系，等比数列的判断，等比数列的通项公式及求和，属于中档题．
由，得，由等比数列的通项公式可得，累加可得结果．

【解答】

解：由，得，

又，，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，，

因为符合上式，
所以．
故答案为．

14. 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数的性质以及基本不等式的性质，关键是求出、的关系．
根据题意，由二次函数的性质分析可得且，即，又由，结合基本不等式的性质分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数的值域为
则有且，即，
，
又由，则，
当且仅当 时，等号成立．
即的最小值为；
故答案为．

15. 

【解析】

【分析】

本题考查指数幂的计算，注意根据乘积中各项的次数关系来配凑因式，从而达到化简的目的，属于中档题．
在等式的左边乘以，利用平方差公式可逐步化简得到．

【解答】

解：原式

．
故答案为．

16.， 

【解析】

【分析】

本题考查了运用同角三角函数公式，化简求值，属于中档题．
，直接代入解析式计算即可．

【解答】

解：因为
，
因为，
所以，
所以，．
故答案为，．

17. 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式求最值，属于基础题．

【解答】

解：令，，则，且，
，
，
，
当且仅当且，即，，时成立．
故答案为：．

18. 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式的应用问题，考查了转化与化归能力．
依题意求，由，应用基本不等式，后两项通分化为关于的关系式，求得，使得恒成立，即可得出的最大值．

【解答】

解：由，时，，
所以，当且仅当或时取等号，
所以，
解得；
又对于任意，，恒成立，
所以，即
所以的最大值为．
故答案为．

19. 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数恒等变换，以及求函数的最值，考查了基本不等式的推广式的应用，属中档题．
根据同角三角函数的关系化简求解．

【解答】

解：，
，
，即的最大值为．
故答案为：．

20. 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求解最值，属于较难题．
先由基本不等式放缩，然后再用基本不等式得最小值．

【解答】

解：因为，所以，

，当且仅当，即时取等号，

所以，
当且仅当且时等号成立，
则的最小值为．
故答案为．

21. 

【解析】

【分析】

本题考查了概率概念的理解和运用，属于中档题．
要得分，必须满足以下情形：先得分，再掷一次正面；或先得分，再掷一次反面，列式解答即可．

【解答】

解：设恰好得到分的概率为，则得到分的概率为，得到分的概率为．
要得分，必须满足以下情形：先得分，再掷一次正面，此时概率为；或先得分，再掷一次反面，此时概率为，因为这两种情况是互斥的，故有．
由题意
而，即，累加可得
所以．
故答案为：．

22. 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加减法以及数乘运算，考查平面向量的基本定理的应用，数列的递推关系以及等比数列求和，属于较难题．
由向量的运算得到，从而得到，再构造等比数列，由等比数列的求和公式求解即可．

【解答】

解：由于是边上一点，且，
则
，
由于为直线上一点列，
则，
因为，
则故，
整理，
即，
故，令，
则，即，
因此，
所以为等比数列，，
则，
故
故答案为

23.解：因为角在第二象限，且，，
所以，，
原式．
因为，且为第一象限角，
所以，
故． 

【解析】本题考查三角函数的化简与求值，熟练掌握两角差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
根据同角三角函数的基本关系，求得和的值，
结合诱导公式化简原式，代入即可得解；
由题得出的值，根据结合两角差的正弦公式，即可得解．
 

24.解：当时，，
解得．
当时，，
化简得，．
即，，
是以为首项，为公比的等比数列，
故，
故．
证明：由，得，
则，
令，，则，设，
在上单调递增，
，即，
当且仅当时取等号，
原命题得证． 

【解析】本题考查数列的递推关系、等比数列的通项公式和数列中的不等式证明，属于基础题．
由递推关系求得是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解
求出，换元，利用函数的单调性即可求证．
 

25.解：由已知得，
即，
，
是以为首项，为公差的等差数列，
，
当时，
，
当时，也满足上式，
．
，
当为偶数时，
．
当为奇数时，
．
所以． 

【解析】本题考查了分组求和方法，等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由题可得，又，结合等差数列的定义即可证明，再根据等差数列的通项公式以及累加法即可求得．
，对分奇偶讨论，利用分组求和的方法进行求解即可得出．
 

26.解：当时，，

即，

解得：；

因为，

所以，

即，

因为，
所以，，

即，，
则，
又，

所以数列是以为首项，公比为的等比数列；

由可得：，
两边同乘，得，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，

即，

所以数列的通项公式是．

【解析】本题考查数列的递推关系，等比数列的证明及通项公式的求法，属于较难题．

令，代入求解得；

由递推关系得到，，再进行构造，根据等比数列的定义证明即可；

由得到，可推得数列为等差数列，求得的通项公式即可得数列的通项公式．

27.解：当时，相减得，
即，各项均为正数，所以，
故是以首项为，公差为的等差数列，所以
，
故，
，
． 

【解析】本题考查由与的关系求数列的通项公式，裂项相消法求和，属于中档题．