通用版2023届高考数学二轮复习数列求和及其综合应用作业含答案

数列求和及其综合应用

一、单选题

1.  九章算术是我国古代的一本数学著作。全书共有方田，粟米，衰分，少广，商宫，均输，盈不足，方程和勾股共九章，收录个与生产、生活实践相关的实际应用问题。在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各有几何？”其意思为：“现有五个人分钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在该问题中，任意两人所得的最大差值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若数列满足，则称为“对奇数列”已知正项数列为“对奇数列”，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  对于函数，若时，，则函数的图象关于点成中心对称．探究函数图象的对称中心，并利用它求的值为 (    )

A.  B.  C.  D.

4.  将正整数分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解，当是正整数的最佳分解时，定义函数，则数列的前项和为 (    )

A.  B.  C.  D.

5.  对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为 (    )

A.  B.  C.  D.

6.  设常数，无穷数列满足，，若存在常数，使得对于任意，不等式恒成立，则的最大值为 (    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题

7.  已知正项数列满足，，则下列说法正确的是 (    )

A. 是等比数列 B. 对任意的，
C. 对任意都成立 D.

8.  已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  已知正项数列满足，，则下列说法正确的是 (    )

A. 是等比数列 B. 对任意的，
C. 对任意都成立 D.

三、填空题

10.  设数列的前项和为，且，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为          ．

11.  一张纸的厚度为，将其对折后厚度变为，第次对折后厚度变为，设，第次对折后厚度变为，则          ，数列的前项和为          ．

12.  已知数列与数列的前项和分别为，则          若对于恒成立，则实数的取值范围是          ．

13.  已知数列，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围          ．

四、解答题

14.  本小题分

已知数列的前项和为，若，

求数列的通项公式

证明：．

15.  本小题分

设为数列的前项和，，数列满足，．

Ⅰ求及；

Ⅱ记表示的个位数字，如，求数列的前项和．

16.  本小题分

已知等差数列中，首项，公差，，，成等比数列．

求数列的通项公式

若，设数列的前项和为，，求正整数的最大值．

17.  本小题分

某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加

设第年该生产线的维护费用为，求的表达式

若该生产线前年每年的平均维护费用大于万元时，需要更新生产线，求该生产线前年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线

18.  本小题分

已知数列的前项和为，且满足，，

求数列的通项公式；

记数列的前项和为若表示不大于的正整数的个数，求

19.  本小题分
已知数列的前项和为，，当时，．

求数列的通项公式

求证：．

20.  本小题分

在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中．

问题：正项等比数列的公比为，满足，，_____．

求数列的通项公式：

若，为数列前项和，若对任意正整数恒有成立，求的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

21.  本小题分
已知数列的前项和为，且
Ⅰ求，并求数列的通项公式；
Ⅱ若数列满足，求数列前项的和．

22.  本小题分

在数列中，，

求数列的通项公式；

求满足不等式成立的的最大值．

23.  本小题分

已知数列的首项，且满足，设．

求证：数列为等比数列

若，求满足条件的最小正整数．

24.  本小题分

已知数列的前项和为，且，是公差为的等差数列．

求的通项公式以及

证明：．

25.  本小题分

记为数列的前项和已知，．

求，，并证明是等差数列

从下面个条件中选个作为本小题的条件，证明：．

；．

26.  本小题分
已知数列满足，
求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
记数列的前项中最大值为，最小值为，令，称数列是数列的“中程数数列”．
求“中程数数列”的前项和；
若且，求所有满足条件的实数对．

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11.

12.

13. 

14.解：当时，

相减得

当时，符合上式，所以

当时，

当时，符合上式故

由知：

所以

15.解：当时，，

由于也满足，则．

因为，，所以，

所以是首项为，公差为的等差数列，

所以．

因为，

所以的前项依次为，，，，．

因为，

所以的前项依次为，，，，．

易知，数列与的周期均为，

所以的前项的和为：
 

．

16.解：由题意可知：，解得

，

由题意可知

解得

的最大整数为．

17.解：由题知，当时，数列是首项为，公差为的等差数列，

所以．

当时，数列是首项为，公比为的等比数列，

此时．
故

设为数列的前项和，

当时，；

当时，由，得．

故该生产线前年每年的平均维护费用为：

当时，为递增数列，当时，

因为，

所以，故也为递增数列．

又，，，

故第年年初需要更新生产线．

18.解：因为，所以，
两式相减得 ，
故，所以数列是等比数列，公比为，     
即；     
因为，则，
，
两式相减得
所以，                                            
显然，且，即为递增数列，
，所以
所以             

19.解：当时，，
，
当时，，
，
是以为首项，为公差的等差数列，
，
，
当时，，
当时，，符合数列的通项公式，
；
证明：，
当时，，
当时，
，
故原命题得证． 

20.解：选 
由     解得．

选  ，
由 解得．

选

由     解得．

故；

，

故

两式相减得
对任意正整数恒有

即对任意正整数恒成立．

时，得到最大值．

，

的取值范围是

21.解：Ⅰ，
当时，，，
当时，，，
当时，，
，
数列是首项为，公差为的等差数列，
．
Ⅱ，，
． 

22.解：由条件得，
所以数列是以为首项，公差的等差数列．
故，
即
由知，
故
，
所以，解得，
结合得，的最大值是． 

23.解：，
，
数列为首项为，公比为等比数列
由可得
即
而随着的增大而增大
要使，即，则
的最小值为． 

24.解：由题意可知，整理可得，

则，

由可得，

整理可得，，

因为，所以，

因为，所以，

．

证明：当时，成立

当时，

．

综上， 得证．

25.解：中，
令得，所以，则，

令，得，即，所以，

下面证明为等差数列．

证明：由，得，

所以，

两式相减，得，所以，
两式相减，得，
即，所以是等差数列．
证明：由得是等差数列，且，，
所以的公差，
．
若选
所以
，
所以，
因为，，
所以．
若选
所以
所以．

26.证明：因为，，
所以，，，
又，所以，
所以数列为等比数列，首项为，公比为，
所以，
所以
解：
时，
时，，所以
所以，，
所以，，
，，，，
显然，，则，
由知：，故，，，
时，，即，则：，，又，故
时，，即，则：，，又，故无解；
时，，即，则：，符合．
综上，所有满足条件的实数对有和．