2023届高考数学二轮复习专题8数列作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题8数列作业含答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题）
1. 在等比数列 an 中，若 a1=19，a4=3，则该数列前五项的积为
A. ±3B. 3C. ±1D. 1
2. 若实数数列：1，a1，a2，a3，81 成等比数列，则圆锥曲线 x2+y2a2=1 的离心率是
A. 10 或 223B. 10C. 223D. 13 或 10
3. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，a8=1，S16=0，当 Sn 取最大值时 n 的值为
A. 7B. 8C. 9D. 10
4. 若等比数列 an 的各项均为正数，a1+2a2=3，a32=4a2a6，则 a4 等于
A. 38B. 245C. 316D. 916
5. 对于数列 an，定义数列 an+1-an 为数列 an 的“差数列”，若 a1=2，an 的“差数列”的通项公式为 2n，则数列 an 的前 2015 项和 S2015=
A. 22016-1B. 22016C. 22016+1D. 22016-2
6. 在等比数列 an 中，公比 q≠1，且 a1+a2，a3+a4，a5+a6 成等差数列．若 a1+a2+a3=1，则 a12+a22+⋯+a102=
A. 1B. 10C. 32D. 100
7. 各项均为正数的等差数列 an 中，a4a9=36，则前 12 项和 S12 的最小值为
A. 78B. 48C. 60D. 72
8. 设数列 an 满足 a1=1，a2=3，且 2nan=n-1an-1+n+1an+1，则 a20 的值是
A. 215B. 225C. 235D. 245
9. 已知函数 fnx=xn+1n∈N* 的图象与直线 x=1 交于点 P，若图象在点 P 的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn，则 lg2013x1+lg2013x2+⋯+lg2013x2012 的值为
A. 1B. 1-lg20132012C. -lg20132012D. -1
10. 已知函数 fx 是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时，fx=x1-x，若数列 an 满足 a1=12，且 an+1=11-an，则 fa11=
A. 2B. -2C. 6D. -6
11. 记 Sn 为正项等比数列 an 的前 n 项和，若 S12-S6S6-7⋅S6-S3S3-8=0，且正整数 m，n 满足 a1ama2n=2a53，则 1m+8n 的最小值是
A. 75B. 53C. 95D. 157
12. 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a2+a7+a12=24，则 S13=
A. 52B. 78C. 104D. 208
二、填空题（共4小题）
13. 观察下列等式
1+2+3+⋯+n=12nn+1；
1+3+6+⋯+12nn+1=16nn+1n+2；
1+4+10+⋯+16nn+1n+2=124nn+1n+2n+3；
可以推测，1+5+15+⋯+124nn+1n+2n+3= ．
14. 已知在等差数列 an 中，a1，a2017 为方程 x2-10x+16=0 的两根，则 a2+a1009+a2016= ．
15. 若数列 an 的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且 a1=1，Sn+1+Sn=1an+1n∈N*，则 a25= ．
16. 设 Sn 是数列 an 的前 n 项和，且 a1=-1，an+1Sn+1=Sn，则数列 an 的通项公式 an= ．
三、解答题（共6小题）
17. 已知函数 fx=x2x+1，数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a1=12，Sn+1=fSnn∈N*．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）设 Tn=S12+S22+⋯+Sn2，当 n≥2 时，求证：4Tn<2-1n．
18. 已知数列 an 各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，且满足 4Sn=an+12．
（1）求 an 的通项公式；
（2）设 bn=1anan+1，求数列 bn 的前 n 项和为 Tn．
19. 已知数列 an 与 bn 满足 an+1-an=2bn+1-bnn∈N*．
（1）若 a1=1，bn=3n+5，求数列 an 的通项公式；
（2）若 a1=6，bn=2nn∈N* 且 λan>2n+n+2λ 对一切 n∈N* 恒成立，求实数 λ 的取值范围．
20. 已知数列 an 中，a1=13，an+1=an2-ann∈N*．
（1）求证：数列 1an-1 是等比数列，并求 an 通项公式 an；
（2）设 bn=nan1-an，求证：i=1nbi<2．
21. 正项数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 an1+an=2Sn，在等比数列 bn 中，b1=1，且 4b1，2b2，b3 成等差数列．
（1）求数列 an，bn 的通项公式；
（2）若 cn=3an⋅bn，求数列 cn 的前 n 项和 Tn．
22. 已知数列 an 的首项为 a1=1，前 n 项和 Sn，且数列 Snn 是公差为 2 的等差数列．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）若 bn=-1nan，求数列 bn 的前 n 项和 Tn．
答案
1. D【解析】设公比为 q，则 3=a4=a1⋅q3=19q3，
所以 q=3，a1a2a3a4a5=a35=19×325=1．
2. C【解析】81=a22 且 a>0，a2=9，
所以 x2+y29=1，a=3，b=1，c=22，
所以 e=ca=223．
3. B【解析】通解
由 a8=a1+7d=1,S16=16a1+16×152d=0, 解得 a1=15,d=-2, 则 Sn=-n2+16n=-n-82+64，则当 n=8 时，Sn 取得最大值．
优解
因为 an 是等差数列，
所以 S16=8a1+a16=8a8+a9=0，则 a9=-a8=-1，即数列 an 的前 8 项是正数，从第 9 项开始是负数，
所以 Snmax=S8．
4. C【解析】设公比为 q 且 q>0 ， 由 a2a6=a42，
得 a32=4a42，an>0，
所以 a3=2a4，
所以 q=a4a3=12，
所以 a1+2a2=a1+a1=3，
得 a1=32，
所以 a4=a1q3=32×123=316．
5. D
【解析】因为 an+1-an=2n，
所以
an=an-an-1+an-1-an-2+⋯+a2-a1+a1=2n-1+2n-2+⋯+22+2+2=2-2n1-2+2=2n-2+2=2n.
设 Sn 是数列 an 的前 n 项和，
所以 Sn=21-2n1-2=2n+1-2，
所以 S2015=22016-2．
6. B【解析】由 a1+a2，a3+a4，a5+a6 成等差数列，得 2a3+a4=a1+a2+a5+a6，即 2q2=1+q4q≠1 或 a1+a2=0，解得 q=-1．则 a1+a2+a3=a1=1，an=-1n-1，an2=1，
所以 a12+a22+⋯+a102=10．
7. D【解析】S12=6a1+a12=6a4+a9≥6×2a4a9=72，当且仅当 a4=a9=6 时等号成立．
8. D【解析】数列 nan 为等差数列，首项 1⋅a1=1，
公差 d=2×a2-1×a1=5，
所以 nan=1+n-1×5=5n-4，
所以 an=5n-4n，
所以 a20=9620=245．
9. D【解析】fn1=1，fnʹx=n+1xn，
所以函数 fnx 在点 P 的切线方程为：y-1=n+1x-1，
令 y=0，得 xn=nn+1，
lg2013x1+lg2013x2+⋯+lg2013x2012=lg2013x1x2⋯x2012=lg201312×23×⋯×2012213=lg201312013=-1.
10. C
【解析】由已知 a1=12，a2=2，a3=-1，a4=12，
所以数列 an 是周期为 3 的数列，
所以 fa11=f2=-f-2=6．
11. B【解析】设正项等比数列 an 的公比为 q，则 q>0，
因为 S12-S6S6-7⋅S6-S3S3-8=0，所以 q6-7q3-8=0，
解得：q=2，或 q=-1（舍去），
若正整数 m，n 满足 a1ama2n=2a53，则 m+2n=15，则
1m+8n=1m+8nm+2n15=1715+2n15m+8m15n≥1715+22n15m⋅8m15n=53,
当且仅当 2n15m=8m15n，即 m=3，n=6 时，取等号，
故 1m+8n 的最小值是 53．
12. C
【解析】由 a2+a7+a12=24，得 a7=8，
所以，S13=13a1+a132=13a7=104．
13. 1120nn+1n+2n+3n+4
【解析】根据式子中的规律可知，等式右侧为 15×4×3×2×1nn+1n+2n+3n+4=1120nn+1n+2n+3n+4.
14. 15
【解析】由已知 a1+a2017=10=2a1009，
所以 a1009=5，a2+a1009+a2016=3a1009=15．
15. 5-26
【解析】在数列 an 中，
因为 Sn+1+Sn=1an+1，
所以 Sn+1+Sn=1Sn+1-Sn，
所以 Sn+12-Sn2=1，
所以数列 Sn2 是以 1 为公差的等差数列，
因为 a1=1，
所以 Sn2=1+n-1×1=n，
又 Sn>0，
所以 Sn=n，
所以 a25=S25-S24=25-24=5-26．
16. -1,n=11nn-1.n≥2
【解析】由 an+1Sn+1=Sn⇒1Sn+1-1Sn=-1⇒1Sn=-1+n-1×-1=-n，
Sn=-1n⇒an=-1,n=11nn-1.n≥2
17. （1） 由题意可知，Sn+1=Sn2Sn+1，
两边取倒数得 1Sn+1=2Sn+1Sn=1Sn+2，
即 1Sn+1-1Sn=2，
又 1S1=2，
所以数列 1Sn 是首项为 2，公差为 2 的等差数列．
故 1Sn=2+2n-1=2n，
所以 Sn=12n，
当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=12n-12n-1=-12nn-1，
所以 an=12,n=1-12nn-1,n≥2．
（2） 由（1）可知，Sn2=14n2，
当 n≥2 时，14n2<14nn-1，
所以 Tn<141+1-12+12-13+⋯+1n-1-1n，
即 4Tn<2-1n．
18. （1） 因为 an+12=4Sn，
所以 Sn=an+124，Sn+1=an+1+124．
所以 Sn+1-Sn=an+1=an+1+12-an+124，
即 4an+1=an+12-an2+2an+1-2an，
所以 2an+1+an=an+1+anan+1-an．
因为 an+1+an≠0，
所以 an+1-an=2，
即 an 为公差等于 2 的等差数列．
由 a1+12=4a1，解得 a1=1，
所以 an=2n-1．
（2） 由（1）知 bn=12n-12n+1=1212n-1-12n+1，
所以
Tn=b1+b2+⋯+bn=121-13+13-15+⋯+12n-1-12n+1=121-12n+1=n2n+1.
19. （1） 因为 an+1-an=2bn+1-bn，bn=3n+5，
所以 an+1-an=2bn+1-bn=23n+8-3n-5=6，
所以 an 是等差数列，首项为 a1=1，公差为 6，
即 an=6n-5．
（2） 因为 bn=2n，
所以 an+1-an=22n+1-2n=2n+1，
当 n≥2 时，
an=an-an-1+an-1-an-2+⋯+a2-a1+a1=2n+2n-1+⋯+22+6=2n+1+2,
当 n=1 时，a1=6，符合上式，
所以 an=2n+1+2，由 λan>2n+n+2λ 得：
λ>2n+n2n+1=12+n2n+1，n+12n+1-n2n=1-n2n+1≤0，
所以当 n=1时或2时，2n+n2n+1 取最大值 34，故 λ 的取值范围为 34,+∞．
20. （1） 由已知得：1an+1=2an-1；
所以 1an+1-1=21an-1，
所以 1an+1-11an-1=2，
所以 1an-1 是首项为 1a1-1=2，公比为 2 的等比数列．
1an-1=2⋅2n-1=2n，
所以 an=12n+1．
（2） 由（1）得 bn=nan1-an=n2n，
令 Sn=12+222+⋯+n2n，
所以 12Sn=122+223+⋯+n2n+1，
相减得 12Sn=12+122+123+⋯+12n-n2n+1=1-n+22n+1，
所以 Sn=2-n+22n<2．
21. （1） 因为 an+an2=2Sn，
当 n=1 时，a1+a12=2a1，
所以 a1=1，
又 an-1+an-12=2Sn-1n≥2，
an-an-1+an2-an-12=2Sn-2Sn-1，
所以 an2-an-12=an+an-1，
所以 an-an-1=1，
所以数列 an 为等差数列，公差 d=1，a1=1，
所以 an=n，
又设 bn=b1qn-1，代入 4b2=4b1+b3，
解得 q=2，则 bn=2n-1，n∈N*．
（2） cn=3n×2n-1，
所以 Tn=31×20+2×21+3×22+⋯+n×2n-1, ⋯⋯①
2Tn=31×21+2×22+3×23+⋯+n×2n, ⋯⋯②
由 ①-② 得
-Tn=320+21+22+⋯+2n-1-n×2n=31-2n1-2-n×2n,
所以 Tn=3n-1×2n+3．
22. （1） 由已知得 Snn=1+n-1×2=2n-1，
所以 Sn=2n2-n．
当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=2n2-n-2n-12-n-1=4n-3．
a1=S1=4×1-3，
所以 an=4n-3，n∈N*．
（2） 由（1）可得 bn=-1nan=-1n4n-3．
当 n 为偶数时，
Tn=-1+5+-9+13+⋯+-4n-7+4n-3=4×n2=2n，
当 n 为奇数时，n+1 为偶数．
Tn=Tn+1-bn+1=2n+1-4n+1=-2n+1，
综上，Tn=2n,n=2k,k∈N*-2n+1,n=2k-1,k∈N*．