2023届高考数学二轮复习专题15空间的平行、垂直、角作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题15空间的平行、垂直、角作业含答案，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题）
1. 已知 l，m，n 为不同的直线，α，β，γ 为不同的平面，则下列判断正确的是
A. 若 m∥α，n∥α，则 m∥n
B. 若 m⊥α，n∥β，α⊥β，则 m⊥n
C. 若 α∩β=l，m∥α，m∥β，则 m∥l
D. 若 α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则 l⊥α
2. 设 m，n 为两条不同的直线，α，β 为两个不同的平面，给出下列命题：
①若 m⊥α，m⊥β，则 α∥β；②若 m∥α，m∥β，则 α∥β；③若 m∥α，n∥α，则 m∥n；④若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n．
上述命题中，所有真命题的序号是
A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④
3. 已知直线 a，b，平面 α，β，且 a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知 m 为一条直线，α，β 为两个不同的平面，则下列说法正确的是
A. 若 m∥α，α∥β，则 m∥βB. 若 α⊥β，m⊥α，则 m⊥β
C. 若 m∥α，α⊥β，则 m⊥βD. 若 m⊥α，α∥β，则 m⊥β
5. 设 α，β，γ 是三个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列说法正确的是
A. 若 α⊥β，β⊥γ，则 α∥γB. 若 α⊥β，m∥β，则 m⊥α
C. 若 m⊥α，n⊥α，则 m∥nD. 若 m∥α，n∥α，则 m∥n
6. 已知 m，n 为空间中两条不同的直线，α，β 为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是
A. 若 m∥α，m∥β，则 α∥βB. 若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α
C. 若 m∥α，m∥n，则 n∥αD. 若 m⊥α，m∥β，则 α⊥β
7. 设 α，β，γ 是三个不重合的平面，m，n 是不重合的直线，给出下列命题：
①若 α⊥β，β⊥γ, 则 α⊥γ；
②若 m∥α，n∥β，α⊥β，则 m⊥n；
③若 α∥β，β∥γ，则 α∥γ；
④若 m，n 在 γ 内的射影互相垂直，则 m⊥n．
其中错误命题的个数为
A. 3B. 2C. 1D. 0
8. 设 a，b，l 均为不同直线，α，β 均为不同平面，给出下列 3 个命题：
①若 α⊥β，a⊂β，则 a⊥α；②若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a⊥b 可能成立；③若 a⊥l，b⊥l，则 a⊥b 不可能成立．
其中，正确的个数为
A. 0B. 1C. 2D. 3
9. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 BC⊥AC，∠A=π3，AC=4，AA1=4，M 为 AA1 的中点，P 为 BM 的中点，Q 在线段 CA1 上，A1Q=3QC．则异面直线 PQ 与 AC 所成角的正弦值为
A. 3913B. 21313C. 23913D. 1313
10. 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E，F，且 EF=12，则下列结论中错误的是
A. AC⊥BE
B. EF∥平面 ABCD
C. △AEF 的面积与 △BEF 的面积相等
D. 三棱锥 A-BEF 的体积为定值
11. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，不能证明 AP⊥BC 的条件是
A. AP⊥PB，AP⊥PC
B. AP⊥PB，BC⊥PB
C. 平面 BPC⊥平面 APC，BC⊥PC
D. AP⊥平面 PBC
12. 对于直线 m 、 n 和平面 α 、 β ，可以推出 α⊥β 的是
A. m⊥n，m∥α，n∥βB. m⊥n，α∩β=m，n⊂α
C. m∥n，n⊥β，m⊂αD. m∥n，m⊥α，n⊥β
二、填空题（共4小题）
13. 如图，在正方形 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是线段 B1C1 上的动点，则异面直线 AE 与直线 D1C 所成的角为 ．
14. 如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F 分别为 PQ，AB，BC 的中点，则异面直线 EM 与 AF 所成的角的余弦值是 ．
15. 如图，正四面体 ABCD 的棱 CD 在平面 α 上，E 为棱 BC 的中点．当正四面体 ABCD 绕 CD 旋转时，直线 AE 与平面 α 所成最大角的正弦值为 ．
16. 如图，已知平面 α⊥β，α∩β＝l．A，B 是直线 l 上的两点，C，D 是平面 β 内的两点，且 DA⊥l，CB⊥l，AD=3，AB=6，CB=6．P 是平面 α 上的一动点，且直线 PD，PC 与平面 α 所成角相等，则二面角 P-BC-D 的余弦值的最小值是 ．
三、解答题（共6小题）
17. 四棱锥 E-ABCD 中，AD∥BC，AD=AE=2BC=2AB=2，AB⊥AD，平面 EAD⊥平面 ABCD，点 F 为 DE 的中点．
（1）求证：CF∥平面 EAB；
（2）若 CF⊥AD，求二面角 D-CF-B 的余弦值．
18. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，E 为 PB 的中点，AD⊥AE，且 PA=AB=2，AD=AE=1．
（1）证明：PA⊥平面 ABCD；
（2）求二面角 B-EC-D 的正弦值．
19. 已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是矩形，侧面 PAD 是等边三角形，E 为棱 PD 的中点．
（1）证明：PB∥平面 AEC；
（2）若 侧面 PAD⊥底面 ABCD，PB⊥AC，求二面角 B-AC-E 的大小．
20. 如图，矩形 CDEF 和梯形 ABCD 互相垂直，∠BAD=∠ADC=90∘，AB=AD=12CD，BE⊥DF．
（1）若 M 为 EA 的中点，求证：AC∥平面MDF；
（2）求平面 EAD 与平面 EBC 所成锐二面角的大小．
21. 如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1．
（1）求直线 DF 与平面 ACEF 所成角的正弦值；
（2）在线段 AC 上找一点 P，使 PF 与 DA 所成的角为 60∘，试确定点 P 的位置．
22. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，△ABD 是边长为 23 的正三角形，∠CBD=∠CDB=30∘，E 为棱 PA 的中点．
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）若 平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2，求二面角 P-BC-E 的余弦值．
答案
1. C【解析】A：m，n 可能的位置关系为平行，相交，异面，故 A 错误；
B：根据面面垂直与线面平行的性质可知 B 错误；
C：根据线面平行的性质可知 C 正确；
D：若 m∥n，根据线面垂直的判定可知 D 错误．
2. A【解析】由线面垂直的性质定理知①④正确；平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，故②错；平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故③错．
3. B【解析】a⊥α，若 α∥β，则 a⊥β，又因 b⊂β，所以 a⊥b 成立．而 a⊥b，显然不能推出 α∥β．所以“a⊥b”是“α∥β”的必要不充分条件．
4. D【解析】选项A中，若 m∥α，α∥β，则 m∥β 或 m⊂β，故A错误；选项B中，若 α⊥β，m⊥α，则 m∥β 或 m⊂β，故B错误；选项C中，若 m∥α，α⊥β，则 m 与 β 平行或相交或 m⊂β，故C错误；选项D中，若 m⊥α，α∥β，则由直线与平面垂直的判定定理知 m⊥β，故D正确．
5. C
【解析】A：α，γ 可能的位置关系为相交，平行，故 A 错误；
B：m 可能在 α 上，可能与 α 斜交，故 B 错误；
C：根据线面垂直的性质，可知 C 正确；
D：m，n 可能的位置关系为相交，平行，异面，故 D 错误．
6. D【解析】对于选项A，若 m∥α，m∥β，则可能 α，β 相交，或者 α∥β，所以选项A不正确；对于选项B，若 m⊥α，m⊥n，则可能 n⊆α，或 n∥α，所以选项B不正确；对于选项C，若 m∥α，m∥n，则 n⊆α，或 n∥α，所以选项C不正确；对于选项D，若 m⊥α，m∥β，则由线面平行可得在平面 β 内存在一条直线 l，使得 m∥l，然后由 m⊥α 可得 l⊥α，进而得出 α⊥β．
7. A【解析】两平面都垂直于同一个平面，两平面可能平行或相交，不一定垂直，故①错误；m∥α，n∥β，α⊥β，则 m，n 可能相交，平行或异面，故②错误；由平面平行的传递性可知，若 α∥β，γ∥β，则 α∥γ，故③正确；若 m，n 在 γ 内的射影互相垂直，则 m，n 可能相交或异面，故④错误．
8. B【解析】由 a，b，l 均为不同直线，α，β 均为不同平面，得：在①中，若 α⊥β，α⊂β，则 a 与 α 平行、相交或 a⊂α，故①错误；
在②中，若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a，b 有可能异面垂直，故 a⊥b 可能成立，故②正确；
在③中，若 a⊥l，b⊥l，则 a⊥b 有可能成立，例如正方体中过同一顶点的三条棱，故③错误．
9. C【解析】以 C 为原点，CB 为 x 轴，CA 为 y 轴，CC1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则由题意得 A0,4,0，C0,0,0，B43,0,0，M0,4,2，A10,4,4，P23,2,1，
则 CQ=14CA1=140,4,4=0,1,1，
所以 Q0,1,1，AC=0,-4,0，PQ=-23,-1,0．
设异面直线 PQ 与 AC 所成角为 θ，
csθ=cs⟨AC,PQ⟩=4413=113，sinθ=1-1132=23913．
10. C
【解析】连接 BD，
因为 AC⊥平面 BDD1B1，而 BE⊂平面 BDD1B1，故 AC⊥BE，所以 A 项正确；根据线面平行的判定定理，知 B 项正确；因为三棱锥的底面 △BEF 的面积是定值，且点 A 到平面 BDD1B1 的距离是定值 22，所以三棱锥 A-BEF 的体积为定值，故 D 正确；很显然，点 A 和点 B 到 EF 的距离是不相等的，故 C 是错误的．
11. B【解析】A 中，
因为 AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，
所以 AP⊥平面 PBC，又 BC⊂平面 PBC，
所以 AP⊥BC，故 A 正确；
C 中，
因为 平面 BPC⊥平面 APC，BC⊥PC，
所以 BC⊥平面 APC，AP⊂平面 APC，
所以 AP⊥BC，故 C 正确；
D 中，由 A 知 D 正确；
B 中条件不能判断出 AP⊥BC．
12. C
【解析】根据题意，全面考虑各种情形，画出相应的图形（将文字语言翻译成图形语言）．通过画出反例的图形，可判断A、B、D错误，如图．
13. 90∘
【解析】在正方形 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是线段 B1C1 上的动点，
因为 CD1⊥B1C1，CD1⊥AB1，AB1∩B1C1=B1，
所以 CD1⊥平面 AB1C1，
因为 AE⊂平面AB1C1，
所以 AE⊥D1C，
所以异面直线 AE 与直线 D1C 所成的角为 90∘．
14. 3030
【解析】以 A 为坐标原点，射线 AB，AD，AQ 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系．
令两正方形边长均为 2，则 A0,0,0，E1,0,0，F2,1,0，M0,1,2，
所以 EM=-1,1,2，AF=2,1,0，
所以 csEM,AF=EM⋅AFEM⋅AF=-2+1+06×5=-3030，
设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 θ，
所以 csθ=csEM,AF=3030．
15. 336
【解析】不妨设正四面体棱长为 2，取 CD 中点 F，连 AF，EF，
从 ∠AEF 即为直线 AE 与 α 所成角的最大值，
在 △AEF 中，cs∠AEF=3+1-32⋅3⋅1=36，
所以 sin∠AEF=1-362=336．
16. 32
【解析】因为 α⊥β，α∩β=l，DA⊥l，CB⊥l，
所以 DA⊥α，CB⊥α．
所以 ∠DPA，∠CPB 分别为 PD，PC 与平面 α 所成的角，且 CB⊥PB，
所以 ∠DPM=∠CPM．
设 PA=m，则 PB=2m．
由 CP⊥PB，CP⊥AB 可知 ∠PBA 为二面角 P-BC-D 的平面角，
cs∠PBA=PB2+AB2-PA22PB⋅AB=4m2+36-m224m=18m2+12m=18m+12m≥123,
当且仅当 m=23 时等号成立．
17. （1） 取 AE 的中点 G，连接 GF，GB．
因为点 F 为 DE 的中点，
所以 GF∥AD，且 GF=12AD．
又 AD∥BC，AD=2BC，
所以 GF∥BC，且 GF=BC，
所以四边形 CFGB 为平行四边形，则 CF∥BG．
而 CF⊄平面 EAB，BG⊂平面 EAB，
所以 CF∥平面 EAB．
（2） 因为 CF⊥AD，
所以 AD⊥BG，而 AB⊥AD，且 BG∩AB=B，
所以 AD⊥平面 EAB，
所以 AD⊥EA．
又 平面 EAD⊥平面 ABCD，平面 EAD∩平面 ABCD=AD，
所以 EA⊥平面 ABCD，
以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AE 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
则 B1,0,0，C1,1,0，D0,2,0，F0,1,1．
设平面 BCF 的法向量为 n1=x,y,z，
则 n1⋅BC=0,n1⋅CF=0, 即 x,y,z⋅0,1,0=0,x,y,z⋅-1,0,1=0,
不妨令 x=1，可得 n1=1,0,1．
设平面 CDF 的法向量为 n2，同理可求得 n2=1,1,1，
所以 csn1,n2=n1⋅n2n1⋅n2=63．
由于二面角 D-CF-B 为钝二面角，
所以二面角 D-CF-B 的余弦值为 -63．
18. （1） 因为 PA=AB，E 为 PB 的中点，
所以 AE⊥PB．
在 Rt△PAE 中，PE=PA2-AE2=22-12=1，
所以 PB=2PE=2．
又 PA=AB=2，
所以 PA2+AB2=PB2，
所以 PA⊥AB．
又 AD⊥AE，AD⊥AB，
所以 AD⊥平面 PAB，
所以 AD⊥PA，
AD∩AB 于点 A，AD 和 AB 都属于平面 ABCD，
所以 PA⊥平面 ABCD．
（2） 以 A 为坐标原点，射线 AB，AD，AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz．
由题设知 P0,0,2，B2,0,0，C2,1,0，D0,1,0，E22,0,22，
则 AE=22,0,22，DC=2,0,0，DE=22,-1,22．
因为 AD⊥AE，AD∥BC，
所以 AE⊥BC．
由（1）知，AE⊥PB，
所以 AE⊥平面 PBC．
故 AE=22,0,22 为平面 BEC 的一个法向量．
设平面 DEC 的法向量为 n=x,y,z，
则 n⋅DC=0,n⋅DE=0, 即 x=0,22x-y+22z=0,
可取 n=0,1,2．
从而 csn,AE=n⋅AEnAE=2×223×1=33．
故二面角 B-EC-D 的正弦值为 63．
19. （1） 连接 BD 交 AC 于点 F，连接 EF，
因为底面 ABCD 为矩形，
所以 F 为 BD 的中点，
又因为 E 为 PD 的中点，
所以 EF∥PB．
又 PB⊄平面 AEC，EF⊂平面 AEC，
所以 PB∥平面 AEC．
（2） 取 AD 的中点 O，连接 PO，则 PO⊥AD，
又 平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD，PO⊂平面 PAD，
所以 PO⊥平面 ABCD，
取 BC 的中点 M，连接 OM，则 OM⊥AD，以 O 为坐标原点，以 OA，OM，OP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz，
不妨设 OA=1，AB=mm>0，则 O0,0,0，A1,0,0，B1,m,0，C-1,m,0，D-1,0,0，P0,0,3，E-12,0,32，
所以 PB=1,m,-3，AC=-2,m,0，
因为 PB⊥AC，
所以 PB⋅AC=-2+m2=0，
所以 m=2，
平面 ABC 的一个法向量 m=0,0,1，
设平面 ACE 的法向量 n=x,y,z，
因为 AC=-2,2,0，AE=-32,0,32，
由 AC⋅n=0，AE⋅n=0 得：
-2x+2y=0,-32x+32z=0, 令 x=1，得 n=1,2,3，
所以 csm,n=m⋅nm⋅n=22，
因为二面角 B-AC-E 为钝二面角，
所以所求二面角的大小为 135∘．
20. （1） 设 EC 与 DF 交于点 N，连接 MN，
在矩形 CDEF 中，点 N 为 EC 的中点，
因为 M 为 EA 的中点，
所以 MN∥AC，
又因为 AC⊄平面MDF，MN⊂平面MDF，
所以 AC∥平面MDF．
（2） 因为 平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，且 DE⊂平面CDEF，DE⊥CD，
所以 DE⊥平面ABCD．
以点 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 DA=a，DE=b，则 Ba,a,0，E0,0,b，C0,2a,0，F0,2a,b，
BE=-a,-a,b，DF=0,2a,b，BC=-a,a,0，
因为 BE⊥DF，
所以 BE⋅DF=-a,-a,b⋅0,2a,b=b2-2a2=0，b=2a．
设平面 EBC 的法向量 m=x,y,z，
由 m⋅BE=-ax-ay+2az=0,m⋅BC=-ax+ay=0,
可得到 m 的一个解为 m=1,1,2，注意到平面 EAD 的一个法向量 n=0,1,0，
而 csm,n=m⋅nm⋅n=12，
所以平面 EAD 与平面 EBC 所成锐二面角的大小为 60∘．
21. （1） 以 CD，CB，CE 为正交基底，建立如图空间直角坐标系，
则 E0,0,1，D2,0,0，B0,2,0，A2,2,0，F2,2,1，
因为 AC⊥BD，AF⊥BD，
所以 BD 是平面 ACEF 法向量，
又因为 DB=-2,2,0，DF=0,2,1，
所以 csDF,DB=33，
故直线 DF 与平面 ACEF 所成角正弦值为 33．
（2） 设 Pa,a,00≤a≤2，
则 PF=2-a,2-a,1，DA=0,2,0．
因为 PF,DA=60∘，
所以 cs60∘=22-a2×22-a2+1=12．
解得 a=22，故存在满足条件的点 P 为 AC 的中点．
22. （1） 取 AB 中点 F，连接 EF，DF，
所以 EF∥PB，
因为 ∠CBD=∠FDB=30∘，
所以 DF∥BC，
所以 DE=DF+FE=λBC+12BP，
所以 DE，BC，BP 共面，
又 DE⊄平面PBC，
所以 DE∥平面PBC．
（2） 连接 PF，因为 PA=PB=2，
所以 PF⊥AB．
因为 平面PAB⊥平面ABCD，交线为 AB，
所以 PF⊥平面ABCD，且 PF=1，
连接 DF，分别取 FB，FD，FP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
如图所示．
则点 A-3,0,0，B3,0,0，C3,2,0，D0,3,0，P0,0,1，E-32,0,12，
设平面 BCP 的法向量为 m=x,y,3，
则 BC=0,2,0，BP=-3,0,1，
所以 m⋅BC=0，m⋅BP=0，y=0，x=1，
即 m=1,0,3．
设平面 BCE 的法向量为 n=a,b,3，
BE=-332,0,12，BC=0,2,0，
所以 a=13，b=0，
所以 n=13,0,3，
所以 csm,n=m⋅n∣m∣∣n∣=5714．
因此所求二面角的余弦值为 5714．