2023届高考数学二轮复习专题八解析几何_第46练直线与圆锥曲线的位置关系作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题八解析几何_第46练直线与圆锥曲线的位置关系作业含答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题）
1. 已知双曲线 x212-y24=1 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是
A. -33,33B. -3,3C. -33,33D. -3,3
2. 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 Ax1,y1，Bx2,y2 两点，若 x1+x2=6，则 ∣AB∣=
A. 6B. 8C. 9D. 10
3. 已知斜率为 22 的直线 l 过双曲线 x2a2-y2b2=1a>0,b>0 的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率 e 的取值范围是
A. 1,3B. 3,+∞C. 1,5D. 5,+∞
4. 已知经过点 0,2 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 x22+y2=1 有两个不同的交点 P 和 Q，则 k 的取值范围是
A. -22,22B. -∞,-22∪22,+∞
C. -2,2D. -∞,-2∪2,+∞
5. 在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 C0,c 任作一条直线，与抛物线 y=x2 相交于 A，B 两点，若 OA⋅OB=2，则 c 的值为
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 设 F1，F2 分别是椭圆 E:x2+y2b2=100 的右、右焦点分别为 F1，F2，A 是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点 O 到直线 AF1 的距离为 13∣OF1∣，则
A. a=2bB. a=3bC. a=2bD. a=3b
10. 已知圆 x-m2+y2=4 上存在两点关于直线 x-y-2=0 对称，若离心率为 2 的双曲线 x2a2-y2b2=1a>0,b>0 的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为
A. 1B. 3C. 23D. 4
11. 如图所示，F1，F2 分别是椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的左，右焦点，A 是椭圆 C 的上顶点，B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点，且 ∠F1AF2=60∘，△AF1B 的面积为 403，则 a 的值为
A. 4B. 5C. 10D. 53
12. 如图，抛物线 E:y2=2pxp>0 的焦点为 F，点 A2,tt>0 在抛物线上，且 ∣AF∣=3．已知点 G-1,0，延长 AF 交抛物线 E 于点 B，则直线 GB 的斜率为
A. -34B. -32C. -223D. -23
二、填空题（共4小题）
13. 过点 P-2,0 的直线与抛物线 C:y2=4x 相交于 A，B 两点，且 ∣PA∣=12∣AB∣，则点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为 ．
14. 已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为 F7,0，直线 y=x-1 与其相交于 M，N 两点，MN 中点的横坐标为 -23，则此双曲线的方程是 ．
15. 已知椭圆 C:9x2+y2=m2m>0，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M，则直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为 ．
16. 过定点 C0,1 作直线与抛物线 x2=2y 相交于 A，B 两点．若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，则 △ANB 面积的最小值为 ．
答案
1. C【解析】由 x212-y24=1 可得渐近线方程为 y=±33x，若过右焦点的直线与右支只有一个交点，则直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值，即 k≤33⇒-33≤k≤33．
2. B【解析】由题意得抛物线的焦点为 1,0，准线方程是 x=-1，∣AB∣=x1+x2+2，又 x1+x2=6，
故 ∣AB∣=x1+x2+2=6+2=8．
3. B【解析】依题意，双曲线的一条渐近线的斜率 ba 必大于 22，即 ba>22，
因此该双曲线的离心率 e=ca=a2+b2a=1+ba2>3．
4. B【解析】由题意得，直线 l 的方程为 y=kx+2，代入椭圆方程得 x22+kx+22=1，整理得 12+k2x2+22kx+1=0．直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 Δ=8k2-412+k2=4k2-2>0，解得 k22，即 k 的取值范围为 -∞,-22∪22,+∞．
5. B
【解析】设过点 C 的直线为 y=kx+cc>0，代入 y=x2 得 x2=kx+c，即 x2-kx-c=0，设 Ax1,y1，Bx2,y2，
则 x1+x2=k，x1x2=-c，OA=x1,y1，OB=x2,y2，
因为 OA⋅OB=2，
所以 x1x2+y1y2=2，即 x1x2+kx1+ckx2+c=2，即 x1x2+k2x1x2+kcx1+x2+c2=2，
所以 -c-k2c+kc⋅k+c2=2，即 c2-c-2=0，
所以 c=2 或 c=-1（舍去）．
6. B【解析】如图所示，不妨设 Ac,y1y1>0，Bx2,y2y20，则由点 M4,-10 在双曲线上，可得 λ=42--102=6，故双曲线的方程为 x2-y2=6．因为 P3,t 在双曲线上，所以 32-t2=6，所以 t2=3．又双曲线的焦点分别为 F1-23,0，F223,0，PF1⋅PF2=-23-3,-t⋅23-3,-t=-32-232+t2=9-12+3=0，所以 PF1⊥PF2，所以 S△F1PF2=12×43×t=12×43×3=6．
8. B【解析】设 Px1,y1，Qx2,y2，直线 l 的方程为 y=kx-2k≠0，由题意可知，∣FP∣=x1+2，∣FQ∣=x2+2，联立直线与抛物线方程并消去 y 得，k2x2-4k2+8x+4k2=0，可知 x1x2=4，故 1∣FP∣+1∣FQ∣=1x1+2+1x2+2=x1+x2+4x1x2+2x1+x2+4=x1+x2+42x1+x2+8=12．
9. A【解析】通解：由题设 AF2⊥F1F2 及 F1-c,0，F2c,0，不妨 设点 Ac,y0，其中 y0>0．
由于点 A 在椭圆上，则 c2a2+y02b2=1，即 a2-b2a2+y02b2=1，解得 y0=b2a，从而得到 Ac,b2a，
故直线 AF1 的方程为 y=b22acx+c，整理得 b2x-2acy+b2c=0．
由题设，原点 O 到直线 AF1 的距离为 13∣OF1∣，即 c3=b2cb4+4a2c2，
将 c2=a2-b2 代入上式并化简得 a2=2b2，即 a=2b．
优解：由通解的过程得到点 A 的坐标为 c,b2a．
过点 O 作 OB⊥AF1，垂足为 B，
易知 △F1BO∽△F1F2A，
故 ∣BO∣∣OF1∣=∣F2A∣∣F1A∣．
由椭圆的定义得 ∣AF1∣+∣AF2∣=2a，
又 ∣BO∣=13∣OF1∣，
所以 13=∣F2A∣∣F1A∣=∣F2A∣2a-∣F2A∣，解得 ∣F2A∣=a2，
又 ∣F2A∣=b2a，
所以 b2a=a2，即 a=2b．
10. D
【解析】由题意得直线 x-y-2=0 过圆心 m,0，
所以 m=2，
所以圆的方程为 x-22+y2=4，且经过原点，易知渐近线与圆相交时的交点构成的图形为三角形，因为 ca=2，
所以 ba=1，
所以渐近线方程为 y=±x，
所以交点坐标分别为 0,0，2,2，2,-2，
所以三角形的面积为 12×2×4=4．
11. C【解析】通解
由题意知 △AF1F2 为等边三角形，则 a=2c，a2=4c2，b2=3c2，直线 AB 的方程为 y=-3x-c，将其代入椭圆方程 3x2+4y2=12c2，化简得 5x2-8cx=0，
所以 B85c,-335c，
所以 ∣AB∣=1+385c-0=165c，由 S△AF1B=12AF1×∣AB∣sin∠F1AB=12a×165c×32=235a2=403，得 a=10．
优解
设 ∣AB∣=t，
因为 AF2=a，
所以 BF2=t-a．由椭圆的定义 BF1+BF2=2a 可知，BF1=3a-t，由余弦定理得 3a-t2=a2+t2-2atcs60∘，即 t=85a．
由 S△AF1B=12AF1×∣AB∣sin∠F1AB=12a×85a×32=235a2=403 知，a=10．
12. C【解析】由抛物线的定义得 ∣AF∣=2+p2．
因为 ∣AF∣=3，
所以 2+p2=3，
解得 p=2，
所以抛物线 E 的方程为 y2=4x．
因为点 A2,tt>0 在抛物线 E:y2=4x 上，
所以 t=22，即 A2,22．
由 A2,22，F1,0 可得直线 AF 的方程为 y=22x-1．
由 y=22x-1,y2=4x, 得 2x2-5x+2=0，
解得 x=2 或 x=12，从而 B12,-2．
又 G-1,0，
所以直线 GB 的斜率 kGB=-2-012--1=-223．
13. 53
【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2，分别过 A，B 作直线 x=-2 的垂线，垂足分别为 D，E．
因为 ∣PA∣=12∣AB∣，
所以 3x1+2=x2+2，3y1=y2，又 y12=4x1，y22=4x2，
所以 x1=23，
所以点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为 1+23=53．
14. x22-y25=1
【解析】设双曲线的方程为 x2a2-y2b2=1a>0,b>0，Mx1,y1，Nx2,y2，
将 y=x-1 代入 x2a2-y2b2=1，
整理得 b2-a2x2+2a2x-a2-a2b2=0，
由根与系数的关系得，x1+x2=2a2a2-b2，
则 x1+x22=a2a2-b2=-23．
又 7=c2=a2+b2，解得 a2=2，b2=5，
所以双曲线的方程是 x22-y25=1．
15. -9
【解析】设直线 l:y=kx+bk≠0,b≠0，Ax1,y1，Bx2,y2，MxM,yM．将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2，得 k2+9x2+2kbx+b2-m2=0，故 xM=x1+x22=-kbk2+9，yM=kxM+b=9bk2+9，故直线 OM 的斜率 kOM=yMxM=-9k，即 kOM⋅k=-9，所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为 -9．
16. 22
【解析】依题意，点 N 的坐标为 0,-1，设 Ax1,y1，Bx2,y2，直线 AB 的方程为 y=kx+1，联立 x2=2y,y=kx+1. 消去 y 得 x2-2kx-2=0，由根与系数的关系可得 x1+x2=2k，x1x2=-2．于是 S△ABN=S△BCN+S△ACN=12×2∣x1-x2∣=∣x1-x2∣=x1+x22-4x1x2=4k2+8=2k2+2，所以当 k=0 时，S△ABNmin=22．