2023年高考数学题型猜想预测卷导数及其应用-恒成立问题含解析

这是一份2023年高考数学题型猜想预测卷导数及其应用-恒成立问题含解析，共53页。试卷主要包含了填空题，单选题等内容，欢迎下载使用。
 猜题23 第12、16题 导数及其应用-恒成立问题
一、填空题
1．若对于，，使得不等式恒成立，则实数x的范围为______．
【答案】.
【分析】由题，有.利用导数可得，则可得.
后将看成关于m的函数，后分类讨论
在三种情况下的最大值与0的大小即可.
【解析】恒成立，
等价于.
令，，则，
注意到时，，，时，.
则在上单调递减，在上单调递增，则.
则，则
.
令，.
当，，故满足条件；
当，则在上单调递减，故
.
令，.
则，得在上单调递增，
时，，因此时无最值，且，.
则不合题意；
当，在上单调递增，故
.
令.
则.
令，.
则，故在上单调递减，
则，则在上单调递增，
则，则符合题意.
综上，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题涉及双变量与恒成立，难度较大.
恒成立问题常转化为最值相关问题，本题因告知m范围，求x范围，故还采取了变换主元的做题方法.
2．已知函数（其中，），当时恒成立，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】将拆分为、分别研究单调性，令可得，讨论该方程、情况下参数a、b、c的关系或范围，进而利用导数求目标式的范围.
【解析】令，则，
∴时，时，
∴在上递减，在上递增，故，
若，则在上递减，在上递增，
令，即，，
1、，即时，在上，此时只需即即可.
此时，，当且仅当时等号成立，
所以；
2、即时，在上的两个零点为，同时它们恰好为的零点，
∴，即，又，则，
此时，，令，则，
∴在上递减，在上递增，故.
综上，的取值范围为
故答案为：
【点睛】关键点点睛：要使题设问题成立，研究、在上的乘积恒为非负数求参数范围或关系，进而求目标式范围.
3．已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】将已知转化为对于任意，恒成立，利用同构思想，构造函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性转化为恒成立，利用参数分离，构造函数即可得解.
【解析】∵对于任意，，不等式恒成立
∴对于任意，，即恒成立
当时，；
当，，
设，则，所以在上单调递增，
由，知，即，即
设，，求导
令，得
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴在处取得极大值，且为最大值，
所以时，不等式恒成立
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值，着重考查了函数的构造思想、等价转化思想与导数在函数中的综合应用，本题的解答中把恒成立问题利用同构思想转化为，再利用函数的单调性及求参方法求解.
4．已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是____．
【答案】
【分析】化简不等式，并分离变量可得，根据函数与不等式的关系转化已知条件得，利用换元法及导数求的最小值，由此可得a的范围.
【解析】∵   恒成立，
∴   恒成立.
∴   
又   
设，则
∴   时，，函数为增函数
时，，函数为减函数，
又时，
∴    
设
则恒成立，
所以在区间内单调递增，
所以，
故
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
5．定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是________.
（1）在处取得极小值，极小值为
（2）只有一个零点
（3）若在上恒成立，则
（4）
【答案】（2）（3）（4）
【分析】对于（1），根据，，求，求出，根据极值定义进行判断；对于（2），根据单调性和零点定义，结合图像判断；对于（3），若在上恒成立，即，通过构造函数求最值，进行判断；对于（4），根据单调性，和对数比较大小，进行判断.
【解析】对于（1），，且，可得，可得，故为常数.，可得，求得：.故：，整理可得：，，，
当，即，解得：，，即单调递增，
当，即，解得，
当，即，解得：，，即单调递减，取得极大值，，故（1）错误.
对于（2），，画出草图：如图   

根据图象可知：中有一个零点，故（2）说法正确；
对于（3），要保证在上恒成立，即：保证在上恒成立，，可得在上恒成立，故只需，令，当时，，当时，，当，. ，故（3）说法正确.
对于（4），根据，单调递增，
，单调递减，，可得，又，，
根据，，故 ，故（4）说法正确.
故答案为：（2）（3）（4）.
【点睛】本题主要考查了根据导数求函数的单调性和极值，及其最值问题，解题关键是掌握导数求极值的方法和构造函数解决不等式恒成立的步骤，考察了分析能力和计算能力，属于难题.
6．已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据存在，，使得成立，只需，先利用导数法求得，再令，将求的最大值转化为在中的最大值，求导，然后分， 和 三种情况讨论求解.
【解析】因为存在，，使得成立，
所以只需，
因为，当时，当时，，
所以在中单调递减，在中单调递增，
所以，
令，则在中的最大值，也就是在中的最大值.
因为
（1）当时，，在中递减，且趋近于0时，趋近于，满足题意；
（2）当时，，，不合题意舍去；
（3）当时，由可得，可得，
∴在中单调递增，在中单调递减，
∴，
∴只需，即，
令，则.
由可知，，
∴在中单调递减，在中单调递增，
又时，，
∴的解为，即的解为.
综上所述，所求实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查双变量问题，导数与函数的单调性和最值，还考查了转化化归的思想，分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.
7．已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为_______
【答案】
【分析】利用导数可得函数为增函数，把要求解的不等式转化为在，恒成立，分离变量后再利用导数求得函数的最大值，则实数的取值范围可求．
【解析】解：由于函数，
恒成立，
即有为上的增函数，
对于任意的，，不等式恒成立，
在，恒成立，
，，
在，恒成立．
设，，，
则，
，
当，时，．
在，上是增函数，（4）．
综上知符合条件的的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用函数的单调性的性质求解不等式，体现了数学值思想方法，属于中档题．
8．设a，b是正实数，函数，.若存在，使成立，则的取值范围为_________.
【答案】
【分析】由区间的表示可知,令，存在，使成立等价于，求导后判断导数的正负号，即可讨论出函数在区间上的单调性，即可求出的取值范围.
【解析】∵存在，使成立，∴，得；
令；
∴；
∵，，，令，即时，递增；时，递减；
①若，即在上单调递减；
∴，对恒成立；
②若，即，在上先递减后递增；
∴，∴，，即，
综上的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】本题结合函数考查不等式的存在性问题，属于难题.将存在，使成立转化为最值是解本题的关键.
9．已知函数，.若对于任意的，都存在使得成立，则实数的取值范围是_____________.
【答案】，
【分析】首先对进行求导，利用导数研究函数的最值问题，根据题意对任意，存在，，使，只要的最小值大于等于的最小值即可，对进行讨论，根据对称轴研究的最值问题，从而进行求解．
【解析】解：函数，
，
若，，为增函数；
若，或，为减函数；
在上有极值，
在处取极小值也是最小值；
，对称轴，，，
当时，在处取最小值；
当时，在处取最小值；
当时，在，上是减函数，；
对任意，存在，，使，
只要即可，
当时，即：时，，解得：，故无解；
当时，即：时，，
解得：或，故无解；
当时，即：时，，解得：，
综上得：，
即实数的取值范围是：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，还涉及利用导数研究函数的单调性和利用导数解决函数的恒成立问题，注意问题最终转化为求函数的最值问题上．
10．若，，，对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围____________．
【答案】
【分析】先分类讨论的最小值，再分类讨论研究函数的单调性，根据题意得到关于的不等式，利用构造函数，使用导数研究不等式的解的情况，从而综合得出实数a的取值范围．
【解析】解：（1）①当时，，，，恒成立，
在上增函数，故当时，
②当时，，
，
（I）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数，
故当时，，且此时
（II）当，即时，在时为负数，在时为正数，
所以在区间上为减函数，在上为增函数，
故当时，，且此时
（III）当，即时，在时为负数，所以在区间上为减函数，
故当时，．
综上所述，．
由于当趋近于时，的趋近于，
①当时，在上,，单调递增，
在的取值范围是[g,
由题意得，
解得；
②当时，.
，即时，在上减，在上增，当趋近于时，g的趋近于，
由题意得，
即(*)
设，，
，，所以单调递增,
∴，当且仅当时取等号.
∴由得,即，
∴时符合题意；
③当时在递增，在递减，在递增，当趋近于时，g的趋近于，
若时，由题意得
得（**），
设，.
则，所以递增，且，
所以恒成立，
∴此时不等式（**）无解；
若当时，由题意得得，
即（***）
由于，∴,而，
∴不等式（***）无解．
综上，所求a的取值范围是．
故答案为：
【点睛】本题关键是先利用导数讨论函数的单调性，求得在不同情况下的最小值；然后结合二次函数的性质研究函数的单调性，利用数形结合思想得出关于的不等式，并注意利用构造函数方法，利用导数作为工具研究不等式时恒成立还是恒不成立.
11．已知函数，若函数有三个互不相同的零点0，，，其中，若对任意的，都有成立，则实数的最小值为______.
【答案】
【解析】由题意可知，，是的根，且，，从而可知，，然后结合导数可求，而原题可转化为，代入解不等式可求．
【解析】解：因为，
由题意可知：，是的根，
则，，△，
，，
当时，，
则存在的极大值点，，
且，
由题意，，
将代入得，
解可得．
又因为，
结合二次函数的性质可知，，
得即的最小值．
故答案为：.
【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想．
12．设函数的两个极值点分别为，若恒成立，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】由函数有两个极值点分别为，可知不单调，利用导数求得的范围，运用韦达定理可得，作差，再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数，通过求导，判断单调性可得，即可得到的范围.
【解析】解：∵函数有两个极值点分别为，
的定义域为，
，
令，其判别式.
当时，在上单调递减，不合题意.
当时，的两根都小于零，在上，，则在上单调递减，不合题意.
当时，，设的两个根都大于零，
令，
当时，，当时，，当时，，
故分别在上单调递减，在上单调递增，
∴的取值范围是.
则，

，
.
若恒成立，则，
，
不妨设，则.
又，
①恒成立.
记，
记，
在上单调递增，在上单调递减，
且易知.又，
∴当时，；当时，.
故由①式可得，，代入方程，
得，（在上递增）.
又，
∴的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用导数求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题.
13．已知函数有且仅有一条切线经过点.若，恒成立，则实数的最大值是______.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，将所求问题转化为方程的根的问题，求出函数表达式，然后再分离参数，构造函数，利用导数法求最值即可
【解析】因为，所以，设切点为，
由题意，有且仅有一解，即只有一解，
则，解得或（舍），所以，恒成立，即在上恒成立，
当时，，此时；
当时，在上恒成立，
记，则，，
令，则，，
令，得，令，得，
所以在单调递增，在单调递减，
又，所以当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，即，
综上，，所以实数的最大值是
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法解决时，可以利用多次求导的方法来解决.在此过程中，要注意导函数和原函数间的对应关系.
14．设函数的两个极值点分别为.若恒成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由函数有两个极值点分别为，可知不单调，利用导数求得的范围，运用韦达定理可得，作差，再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数，通过求导，判断单调性可得，即可得到的范围.
【解析】∵函数有两个极值点分别为，
的定义域为，
令，其判别式，
当时，在上单调递减，不合题意.
当时，的两根都小于零，在上，，
则在上单调递减，不合题意.
当时，，设的两个根都大于零，
令，
当时，，当时，，当时，，
故分别在区间，上单调递减，在区间上单调递增，
则，∴a的取值范围是.
∵，
∴，
若恒成立，则，
∴，
不妨设，则.又，
∴，
∴①恒成立，
记，，
记的两根为，
，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且易知.又，
∴当时，；当时，.
故由①式可得，，代入方程，
得.又，
∴a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题.
15．已知函数（e为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】先将命题转化为在上恒成立，令，运用二阶求导法讨论的单调性及最值，对a分类讨论，利用最小值列不等式求解即可.
【解析】由，令，
令，则在上单调递增，.
（1）当时，恒成立，即函数在上单调递增，则有，解得；
（2）当时，则存在使得，则时，，在上单调递减；时，，在上单调递增.
∴，又，∴.
∵，令，，则，∴在上单调递减.
则，故.
综上，.
故答案为：
【点睛】含参不等式恒成立问题，一般构建函数，利用导数研究函数的单调性及最值，对参数分类讨论，将问题转化为函数最值的不等式求解.
16．已知函数（）.若对任意，恒成立，则实数的取值范围_________.
【答案】
【分析】根据的结构特征，令，求其最小值，由此得时，即恒成立，分类讨论,分和两种情况可得实数的取值范围．
【解析】令，故函数的定义域为，，
当变化时，，的变化情况如下表：









单调减
单调增
单调减

因为，，所以时，函数的最小值为；
因为对任意， 恒成立，
故时，即恒成立；
因为，因为，令得，，．
（ⅰ）当，即时，在上，
所以函数在上单调递增，所以函数．
故由得，，所以．
（ⅱ）当，即时， 在上，在上，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
由得或，所以，
综上所述，的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于要将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题解决，因此要根据不等式的结构特点，构造函数，再利用导数判断函数单调性，求得最值，解决问题.
17．已知，函数.若，对任意的，，不等式：恒成立，则的最小值__________.
【答案】
【分析】原不等式等价于恒成立，由此可构造函数，进而得递减，进而只需即可，由此得恒成立，只需，再结合题设即可得结果.
【解析】∵，，，
∴当时，，，
∴成立，∴在上递增．
设，则，∴，
又∵，∴，
∴可化为，
即恒成立，故设，
∴当时，，∴在上为减函数，
则 在上恒成立，
即恒成立，
设，，
∵，，∴，∴在上递增，，
∴，
又，对任意的，，不等式：恒成立，
故，∴，故，
故答案为：20
【点睛】方法点睛：求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数， 这样就把问题转化为一端是函数， 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的， 如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂， 性质很难研究， 就不要使用分离参数法，要考虑其他方法.
18．已知，若恒成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】．
【分析】根据函数的奇偶性，可得出的图像关于对称，又根据导数得出是上的增函数，故可将问题转化为，利用导数求在上的最大值即可.
【解析】令，则有，
∴为奇函数，图像关于点对称，
，
∴的图像关于对称，
且，
由，
所以是上的增函数，
，
等价于，
所以，所以，
令，则，
因为且定义域为，
所以是上的偶函数，
所以只需求在在上的最大值．
当时，，
，
则当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
可得：，
即．
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用导数求解函数的单调区间，以及利用导数研究不等式恒成立问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
19．若对任意的，均有成立，则称函数为和在上的“中间函数”．已知函数，且是和在区间上的“中间函数”，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据“中间函数”的定义列出不等式，将问题转化成不等式恒成立问题，利用参变分离以及构造函数的方法来解决函数最值，从而求出的取值范围.
【解析】依题意得：已知条件等价为：在区间上恒成立
对于在区间上恒成立，变形为：
令，易知单调递增，
对于在区间上恒成立，变形为：
令
则
为增函数，
在单调递增，

综上所述： 即
故答案为：.
【点睛】本题考查了用参变分离的方法解决恒成立的问题，考查了用导数求函数单调性、极值、最值以及恒成立的等价形式，对学生分析问题和解决问题的能力有一定的要求，属于难题.
20．已知函数，若对，，都有，则k的取值范围是________．
【答案】
【分析】对函数求导可知在上单调递增，在上单调递减，设，则当时，恒成立，即恒成立，设，求其最大值后可求k的取值范围.
【解析】，则当时，，
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，则，，
由已知，即，
令，则在上不存在减区间，
从而当时，恒成立，即恒成立，
令，则，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以，所以.
21．已知三次函数的两个极值点，均为正数，，且不等式对于所有的都恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据极值点与导数的关系，求出a的范围；求出的最大值，解不等式即可得t的范围.
【解析】令，
由题可知，



，
令，，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴，
∴，
故答案为：.
22．设函数，，，若对任意的实数，，总存在实数，使得不等式成立，则的最大值是_______．
【答案】
【分析】构造函数，分情况讨论函数的单调性，并求最值.
【解析】设的最大值为，
令，则在上，当时，即时，单调递增，
此时，
当时，，
当时，，
从而当时，时，取最小值，，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
在时，，当时，，
在，时，，当时，，
对任意实数，，总存在实数，使得不等式成立等价于恒成立，
，
故的最大值为，
故答案为：.
23．已知、，关于的不等式在上恒成立，则当取得最大值时，的取值范围是_________．
【答案】
【分析】先验证时，不等式恒成立，再分离参数的方法得到，由图可得出的最大值，然后利用导数法以及数形结合求的取值范围，即可得到答案．
【解析】解：由题可知，当时，不等式化为，显然恒成立；
当时，由，得到，
即恒成立，
即函数在上的图象在和之间，
，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，

由图可知的最大值为，与相切时最小，
设切点，则切线方程为，
切线过原点，可得，则切线斜率，
当经过时，最大，此时，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解决本题的关键在于将问题转化为恒成立，利用数形结合思想找到临界位置求出的最大值和最小值，进而求解.
24．已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围___________.
【答案】
【分析】先求得函数为定义域上的偶函数，且在为递减函数，把不等式的恒成立，转化为，进而得到且在上恒成立，分别设函数和，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【解析】由函数的定义域为关于原点对称，
又由，
所以函数为定义域上的偶函数，
所以，
即不等式可化为，
当时，函数
根据初等函数的单调性，可得函数为单调递减函数，
所以函数在上单调递增，在区间上单调递减，
由，可得，整理得且，
即且在上恒成立，
设，可得，其中，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以.
设，可得，
当时，，所以，
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：.
25．已知都是定义域为的连续函数．已知满足：①当时，恒成立；②都有；满足：①都有；②当时，．若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据函数满足的条件得到是偶函数且在上单调递增；根据函数满足的条件得到的周期且在，上单调递增，在上单调递减，从而可求函数在上的最大值，然后把不等式恒成立问题转化为函数求最值法的问题即可求出结论.
【解析】因为满足当时，恒成立，且都有，
所以是偶函数且在上单调递增，且，
所以由对恒成立，且
得对恒成立，
所以只需时，，
因为都有，所以，
因为时，，所以，
由得或；由得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以时，.
因为，所以时，
所以，即，所以或.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
26．已知，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______________________.
【答案】
【分析】先判断为偶函数，利用导数判断出的单调性，由此化简不等式，分离常数后结合导数求得的取值范围.
【解析】，
所以为偶函数.
由得
，
，，
，，
所以在上递增，而，所以当时，，在上递增.
所以，
所以，
所以对任意，恒成立，
，，所以在区间，递增，在区间，递减.所以.
，，所以在区间上递减.所以.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】当一阶导数无法判断函数的单调性时，可考虑利用二阶导数来进行求解.
27．已知，下列结论正确的是______.
①当时，恒成立；
②若在上单调，则；
③当时，的零点为且；
④若有三个零点，则实数的取值范围为.
【答案】②③④.
【分析】用特殊值判断①，由导函数研究恒成立判断②，利用导数研究函数零点判断③④．
【解析】①当时，，，故①错误；
②，则，
若在上单调递增，则，即恒成立，
令，则，得，即在上单调递增，在单调递减，
所以，故；
若在上单调递减，则，即恒成立，
当时，，无最小值，故不恒成立，即不会单调递减，
综上：若在上单调，则；故②正确；
③当时，，，
令，则，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，故在上单调递增，
∵，，
由函数零点存在性定理知，存在，使得，故③正确；
④有3个零点等价于方程有3个根，
即方程有3个根，令，，
故在递减，在递增，在递减，
而，，且当时，，大致图象如图示：

故的取值范围是，故④正确；
故答案为：②③④.
【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题，研究函数的零点个数问题．解题关键是掌握导数与单调的关系．在用导数确定函数单调性得到函数极值后需结合零点存在定理确定零点的存在，由单调性得零点个数．有时可由数形结合思想求解．
28．已知函数和，对于任意，，且时，都有成立，则实数的取值范围为________.
【答案】
【分析】根据的单调性同时不妨设，可以得，进而可以转化为，即，构造函数，,转化为在单调递增，且在单调递增；然后参变分离即可求出结果.
【解析】因为函数和，且，，所以，所以单调递增，不妨设，则，所以等价于恒成立，即，即，则，
构造函数，
,
所以，因此在单调递增，且在单调递增；
故在上恒成立，在上恒成立，
所以，设，则当时，，所以，设，则当时，，所以，所以，即，
故答案为：.
【点睛】恒成立问题解题思路：
（1）参变量分离：
（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.
29．已知函数的定义域为，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】对求导判断在上的单调性，再对已知不等式变形为，再构造新函数，根据单调性的定义可判断单调递减，再由恒成立，转化为最值问题即可求解.
【解析】因为，
所以，
因为，所以，可得在单调递减，
因为，，所以，
所以
可变形为，
不妨设，则，，
所以，即，
令，则，所以在单调递减，
所以对于恒成立，
，
对于恒成立，
所以对于恒成立，
即对于恒成立，所以，
因为在单调递减，
所以，
所以，
故答案为：
【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法
（1）分离参数法
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
（2）数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
（3）主参换位法
把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.
30．已知函数，，若对任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】若对任意的，都存在，使得成立，等价于，分别求出两个函数的最小值，可得，从而可求出实数的取值范围
【解析】解：若对任意的，都存在，使得成立，等价于，


则，
令，则，得，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以

，
因为函数在定义域内为增函数，
所以在上递减，
所以，
所以只需，即
解得或，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数求最值问题，解题的关键是若对任意的，都存在，使得成立，转化为，然后利用导数求出的最小值，利用单调性求出的最小值，进而可得，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题

二、单选题
31．若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将题干中的不等式变形为，由题意可知直线恒位于函数图象的上方，函数的图象的下方，代表直线在轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过且与曲线相切时，最小，设切点坐标为，求出的值，即可得出的最小值.
【解析】令，其中，则，
当时，，则函数在上单调递增，且，
令，则，
因为函数在上单调递增，
，，
所以，存在，使得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，如下图所示：

由题意得，
直线恒位于的图象上方，的图象下方，
代表直线在轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过且与曲线相切时，最小．
设切点为，则，
整理可得，
令，则，
，
而当时，，，
所以，，
所以当时，，则函数在上单调递增，
所以有唯一的零点，
所以，此时直线方程为，故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的最值，解题的关键在于将不等式变形为，通过作出图象，找出直线与函数相切时，最小，然后利用导数法进行求解.
32．已知函数则下列说法正确的是（    ）
①当时，；
②若不等式至少有3个正整数解，则；
③过点作函数图象的切线有且只有一条；
④设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是．
A．①③④ B．②③④ C．①③ D．①④
【答案】A
【分析】对于①，根据题意求出函数在上解析式，即可判断，对于②，利用参变量分离法可得，令，利用导数分析函数在上的单调性，结合已知条件可求出的取值范围，对于③，切点，则切点，得，化简后构造函数可求出，从而可求出切线方程，对于④，由题意可得，设，利用导数可得其在上是增函数，所以得对任意的恒成立，再由的单调性可得结果.
【解析】对于①，当，∴，，
∵，
∴，①正确；
对于②，当时，由，得，令，
则，
所以在上单调递增，
因为不等式至少有3个正整数解，
所以不等式的解集中至少含有元素1，2，3，
所以，所以②错误，
对于③，设切点，则，
∴，即，设，当时，，
∴是单调递增函数，
∴最多只有一个根，又，
∴，由得切线方程是，故③正确；
对于④，由题意．设，则，于是在上是增函数．
∵，，
∴，即对任意的恒成立，因此只需．
当时，由，，
∴在上为增函数，∴，
∴，即的最大值是e，④正确．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是根据题意构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性分析判断，考查数学计算能力和分析问题的能力，属于难题.
33．函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目条件可构造函数，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成，即在上恒成立，求出函数在上的最大值即可得的取值范围.
【解析】设，，
所以函数在上为增函数．
由的定义域为可知，得，
将不等式整理得，即，
可得在上恒成立，即在上恒成立；
令，其中，所以
，令，得．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
所以，即
故选：B．
34．已知函数，其导函数为，设，下列四个说法：
①；
②当时，；
③任意，都有；
④若曲线上存在不同两点，，且在点，处的切线斜率均为，则实数的取值范围为.
以上四个说法中，正确的个数为（    ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】对于①，直接求导函数，根据导数运算判断正误；对于②，利用函数分离思想，结合函数不等式放缩，构造函数分别验证，，即可得结论；对于③，设，确定函数的单调性，从而判断正误；对于④，将问题转化为直线与应存在两个不同的交点，确定导函数增减性与取值情况分析图象，从而可得的取值范围.
【解析】解：对于①，函数，，，
当时，取到等号，故①不正确；
对于②，，设，，所以在恒成立，
则在上单调递减，故，即，
又，则，所以，可得
令，所以在恒成立，
则在上单调递减，故，即，所以，
综上，恒成立，故②正确；
对于③，设，则，
因为，所以，又，设，
所以，又，所以，则恒成立，
所以在上单调递增，则，
所以，单调递减，则恒成立，
所以，即，故③正确；
对于④，因为，所以，令，则得，
所以，，单调递增，，，单调递减，
所以，又得，且
则可以得的图象如下：

因为曲线上存在不同两点，，且在点，处的切线斜率均为，所以，
则与应存在两个不同的交点，所以，故④不正确.
综上，②③正确，①④不正确.
故选：B.
【点睛】本题考查函数的导数运算、不等式恒成立、凸凹性、导数的几何意义，属于难题.本题验证不等式成立的关键是证明指对混合型不等式的方法，根据函数的结构，本题采用的是分离函数的形式，利用对数不等式，先证明，再证明，即可得结论；证明函数凸凹性时，关键是“控制变量”将作为常熟，构造函数，利用导数求解单调性得最值即可证得.
35．关于函数，下列判断正确的是（    ）
①是的极大值点
②函数有且只有1个零点    
③存在正实数，使得成立    
④对任意两个正实数，且，若，则
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
【答案】C
【分析】对于①，根据极大值点的定义，求导，研究导数与零的大小关系，可得答案；
对于②，构造函数，求导研究其单调性，根据零点存在定理，可得答案；
对于③，采用变量分离，构造函数，研究单调性与最值，可得答案；
对于④，以直线为对称轴，构造函数，求导研究其单调性和最值，可得答案.
【解析】解：对于①，由，求导得，
令，解得，可得下表：










极小值


则为函数的极小值点，故①错误；
对于②，由，
求导得：，
则函数在上单调递减，
当时，，
当时，，
由，故函数有且只有1个零点，故②正确；
对于③，由题意，等价于存在正实数，使得，
令，求导得，
令，则，
在上，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减，
，，
在上单调递减，无最小值，
不存在正实数，使得恒成立，故③错误；
对于④，令，则，，
令，
则，
在上单调递减，则，即，
令，由，且函数在上单调递增，得，
则，当时，显然成立，故④正确.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了导数得应用，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，运算量较大，有一定的难度.
36．已知函数，，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得的值域与 的值域有交集即可，先求导分析的值域，再求导分情况讨论的单调性与值域，结合解集区间的端点关系列式求解即可
【解析】①当时，，则在上恒成立，
所以函数在区间上单调递减，则，即，
②当时，，函数在区间上单调递增，
所以，即，
综上，函数f（x）的值域为；
由题意，的值域与的值域有交集，故分析的值域.
又，，
若时，则，函数在上单调递增，所以，即，
此时若要满足题意，只需，当时恒成立；
当时，令，解得，，.
当时，，故函数在上单调递增，故，所以，所以，解得，
当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增；因为，，
故若值域满足与有交集，则只能，解得，此时
当时，，在上单调递减，所以，，此时，不满足题意
综上，实数a的取值范围为
故选：C．