2023年高考数学题型猜想预测卷解三角形含解析

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 猜题15 第17-18题 解三角形（上海精选归纳）
一、解答题
1．（2021秋·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考阶段练习）在中，已知，．
(1)若，求的面积．
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据余弦定理和面积公式求解；
(2)利用同角三角函数的基本关系，余弦定理和正弦定理即可.
【解析】（1）由余弦定理得，解得，
所以；
（2）因为，由正弦定理得，又，
所以，，所以，，为锐角，
所以．
由余弦定理得，又，，
所以，得，解得．
由正弦定理得，所以.
2．（2023·上海·统考模拟预测）在中，角A，B，C对应边为a，b，c，其中．
(1)若，且，求边长c；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得.
（2）利用正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式求得正确答案.
【解析】（1）依题意，，
由正弦定理得，即，
，
由于，所以，则，
由正弦定理得.
（2）依题意，，
由正弦定理得，
由于，，所以，
由于，所以为锐角，所以，
则，
，
由正弦定理得，
所以.
3．（2022·上海金山·统考一模）在中，设角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简即可；
（2）由得，因为，两方程联立结合均值不等式即可得出答案.
【解析】（1）由，
得
即，
从而，
由，得.
（2）由得，
从而，即
又因为，得
所以，即，
从而，
而，故
解得，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
4．（2022·上海虹口·统考一模）设的内角 所对的边分别为 ，已知．
(1)求角A；
(2)若，求证：是直角三角形．
【答案】(1)
(2)证明见解析．

【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及二倍角公式，化简，即可求得答案；
（2）利用正弦定理边化角可得，结合两角和差的正余弦公式化简，求值，可得答案.
【解析】（1）由条件，得，
即，亦即，
故，因为，所以．
（2）证明：由正弦定理及得，
由（1）知，故，于是，
则，即，
因，故，又，
从而，
所以，则，
因此是直角三角形．
5．（2022·上海长宁·统考一模）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c；
(1)若△ABC的面积，求B；
(2)若，求；
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理，通过化简整理可求出，即可求出角的值；
（2）首先由根据正弦定理得，利用角的余弦定理得，最后联立方程组，解方程组即可求出的值.
【解析】（1）已知，化简得，
即得，又，故.
（2）已知，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
由，得，即，
由，解得.
故得.
6．（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，.
(1)求角的大小；
(2)求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先利用余弦定理求出边，再利用正弦定理求出，最后结合锐角三角形求解即可；
（2）先利用三角形的面积公式得到，再利用正弦定理得，最后结合角的范围及函数的值域问题求解即可.
【解析】（1）由,
根据余弦定理可得，化简得，
由正弦定理，可知，
因为为锐角三角形，所以.
（2）由.
由正弦定理得，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
则，，
故，
即面积的取值范围为.
7．（2022·上海松江·统考一模）在三角形中，内角，，所对边分别为，，，已知；
(1)求角的大小；
(2)若，三角形的面积为，求三角形的周长；
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理得，代入化简可得.
（2）利用面积公式可得，，再根据余弦定理求解进而可得边长.
【解析】（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，，可得．又因为，可得．
（2）由题意，，故，即，故，由余弦定理，解得.
故三角形的周长为
8．（2022秋·上海静安·高三上海市新中高级中学校考期中）已知的周长为 且.
(1)求的长;
(2)若的面积为，求角的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据正弦定理边角互化得，又的周长为，即可求边的长；
（2）根据的面积为，可得的值，再利用余弦定理即可求.
【解析】（1）解：根据题意由正弦定理得，
因为，
所以，解得.
（2）解：因为，
所以，又，
由余弦定理得，
又因为，所以.
9．（2023·上海·高三专题练习）中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足．
(1)当A为何值时，函数取到最大值，最大值是多少？
(2)若等于边AC上的高h，求的值．
【答案】(1)时，取得最大值，最大值为2；
(2).

【分析】（1）由余弦定理求出，对恒等变形得到，利用整体法求解出最大值；
（2）先利用三角形面积公式和正弦定理得到，再使用和差化积等得到，解方程求出：或，舍去不合要求的解，求出答案.
【解析】（1）由得：，
因为，所以，


，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，最大值为2；
（2）由（1）知：，
由三角形面积公式得：，
从而，由正弦定理得：，
因为，所以，
由和差化积得：，
因为
，
所以，
故，解得：或，
因为，
所以.
10．（2022秋·上海黄浦·高三上海市光明中学校考期中）在中，角的对边分别为.
(1)求角；
(2)若的外接圆半径为2，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)最大值为

【分析】（1）由正弦定理化简求解，
（2）由正余弦定理，面积公式与基本不等式求解
【解析】（1）由正弦定理得，因为，所以，故.
.因为.所以，
（2）根据正弦定理得，解得
根据余弦定理得.
由基本不等式得，即，解得，当且仅当时等号成立，
此时，所以面积的最大值为.
11．（2022秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考阶段练习）已知中，，点D满足.
(1)求与面积之比；
(2)若，，求边BC长.
【答案】(1)
(2)3

【分析】（1）由可知，即可求得与面积之比.
（2）由与面积之比可求得，再通过余弦定理即可求得.
【解析】（1）因为，
所以，即，
即，即，
所以.
（2）由，且，
可得，即或（舍），
所以，因为，所以，
在中由余弦定理得：，而，
解得：.
所以.
12．（2022秋·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角A的值；
(2)若，且的面积为，求.
【答案】(1)；
(2)．

【分析】（1）由诱导公式、二倍角公式，变形可求得，从而得角
（2）由三角形面积公式求得，由两角和余弦公式求得，利用正弦定理求得三角形外接圆半径，从而再由正弦定理求得．
（1）
，
，，，，，所以；
（2）
由题意，，
由（1）， ，即，又，所以，
由（是外接圆半径），得，，
所以由，得．
13．（2022秋·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知中，三个内角的对边分别为，外接圆半径，
(1)求的大小；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据正弦定理，进行角化边，整理等式，结合余弦定理，可得答案；
（2）由（1），根据正弦定理，可得边的长，结合余弦定理以及基本不等式，可得的最值，根据三角形面积公式，可得答案.
（1）
由正弦定理，可得，
代入，可得，
，，
由余弦定理，，由，则.
（2）
由（1）可得，则，
由余弦定理，可得，则，
由基本不等式，则，当且仅当时，等号成立，即，
的面积，故的面积的最大值为.
14．（2022秋·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）在中，已知.其中为内角，它们的对边分别为.
(1)判断的形状
(2)若，求的面积.
【答案】(1)等腰三角形
(2)

【分析】（1）由正弦定理与三角恒等变换求解即可；
（2）由余弦定理与三角形面积公式求解即可
（1）
因为，
所以，
所以，
所以，
即，
因为，
所以，
即，
所以，
所以，即，
所以是等腰三角形；
（2）
由（1）可知，
又，
所以，
所以，
因为，，
所以，
所以
15．（2022秋·上海嘉定·高三校考期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【解析】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.

16．（2023·上海·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角.
(1)求角的大小；
(2)若，证明：是直角三角形.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）利用正弦定理边化角可解得，再由为锐角即可求解（2）利用正弦定理边化角之后再消元，可得，再结合的范围即可得证
【解析】（1）由正弦定理可知，，

又在中，，即，
为锐角，.
（2）
所以由正弦定理得：，
又，
即，
，
故可得，
即
为直角三角形.
17．（2022·上海长宁·统考二模）在中，角的对边分别为．
(1)若，求
(2)若， 的面积，求外接圆半径的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可
（2）根据三角形的面积公式可得，再根据基本不等式可得，再根据正弦定理求解即可
【解析】（1）因为，由正弦定理，，所以，因为，所以
（2）由已知，，所以，                                
所以    
因为
所以（当时取等号）         
所以
所以的最小值为（当时取得）
18．（2023·上海·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若，，求a，c．
【答案】(1)；
(2)，.

【分析】（1）利用三角恒等变换化简即得解；
（2）求出再利用正弦定理得解.
（1）
解：因为，所以．
由正弦定理得，
所以，
所以，
即．
因为，所以，
因为，所以．
（2）
解：若，，则．
则．
由正弦定理，得，
解得，．
19．（2022春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）在平面四边形中，已知，，平分.
(1)若，，求四边形的面积；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据正弦定理与面积公式求解
（2）根据正弦定理与三角比有关知识求解
【解析】（1），则，
在中，由正弦定理可知，则，
则.

（2）设，在中，由正弦定理可知，即，即，在中，由正弦定理可知，即，
即，即，则，解得.
20．（2022秋·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）已知等腰三角形ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，c(c＋b)＝(a＋b)(a－b)．
(1)求A和b；
(2)若点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF＞BE，在运动过程中始终有，求△EAF面积的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理结论，结合，可求得；利用余弦定理结合即可求得A,从而求得b.
（2）利用（1）中的结论，分别在三角形和三角形中利用正弦定理，结合三角形面积公式，即可解出答案.
（1）
由正弦定理得：即： (R为三角形ABC的外接圆半径)，
故 ，
由 得： ，
则 ，因为 ，故 ；
由等腰三角形ABC可得 ，故 ；
（2）
由（1）知： ，
由点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF>BE，在运动过程中始终有 ，
知点在点的左边,如图：

设 ，不变，可知,
在中，由正弦定理可得，
，
在中，由正弦定理可得，
，
故
，，
，
三角形的面积的最小值为，此时．
21．（2022·上海·高三专题练习）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
【答案】（I）；（II）；（III）
【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
【解析】（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
22．（2020秋·上海徐汇·高三位育中学校考阶段练习）在中，．
（1）求的值：
（2）若，，求在方向上的投影．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式将已知式化简，即可得到的值；
（2）先利用余弦定理求出，也即是，再根据投影的定义，求在方向上的投影，其中需要注意的是和的夹角是的补角.
【解析】解：（1）由
可得，
即，
即，
（2）由余弦定理可知，
解得，（舍去）．
向量在方向上的投影：．
23．（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若，且边上的中线，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.
（2）利用得到，利用余弦定理求得，由此求得三角形的面积.
【解析】（1）因为，由正弦定理，得，所以．所以．
又因为，所以．因为，所以
（2）因为，所以，得；
又因为，所以，所以．
24．（2022秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考开学考试）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14

【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
【解析】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.

25．（2022春·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考阶段练习）已知以角B为钝角的的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，且.
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用，结合正弦定理，求出，为钝角，所以.
（2）化简，由（1）知，，，即可确定的取值范围，
（1）
因为，所以，得：，由正弦定理化简得：，所以，为钝角，所以.
（2）
因为，
由（1）知，，，，故的取值范围是.
26．（2022春·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）已知中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若，，的外接圆半径为，，求的大小；
(2)若，，，求边的长.
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）结合正弦定理化简已知条件，从而求得的大小.
（2）结合正弦定理、余弦定理求得边的长.
（1）
依题意，
由正弦定理得，
，，
，
由于，，
所以.
（2）
由正弦定理得，
，
由余弦定理得，
，解得或.
27．（2021秋·上海浦东新·高三校考开学考试）的内角，，的对边分别为，，，已知.
（Ⅰ）若，的面积为6，求；
（Ⅱ）若，求.
【答案】（1）；（2）
【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可得，进而可求，利用三角形的面积公式即可求得的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，结合已知由余弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角公式可求，的值，进而根据两角差的正弦公式即可计算求解．
【解析】解：（Ⅰ），
，
由正弦定理可得，
又，
，
的面积为，
解得：．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
又，
由余弦定理可得，
，
，，，
．
28．（2022·上海·高三专题练习）在中，已知.
（1）若外接圆的直径长为，求的值；
（2）若为锐角三角形，其面积为6，求的取值范围．
【答案】（1）6；（2）．
【解析】由三角形内角求得，
（1）由正弦定理可得；
（2）由三角形面积得，利用正弦定理可把用表示为，这样只要求得的范围即可．，展开后应用二倍角公式，辅助角公式化为形式，然后结合正弦函数性质可得范围，其中可求得．
【解析】（1）由已知，又，∴，，
由解得，，
由正弦定理得，∴．
（2）由（1），，则，∴．
由正弦定理得，，，，
，其中且为锐角，
，
∴时，，，
时，，，
∴的范围是．
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理，三角形面积公式，考查三角函数的恒等变换．关键是由正弦定理用角表示出边，再利用三角函数性质得出边的范围．
29．（2022·上海·高三专题练习）在中，设角、、所对应的边分别为、、，点是边的中点，且．
（1）求的值；
（2）若， ，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）根据题意和正弦定理化简得，进而得到，即可求解；
（2）由余弦定理列出方程，求得，进而求得，再结合点是边的中点，即可求解.
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
又因为，
所以，
因为，所以，所以，
又，所以.
（2）由余弦定理得，解得，
所以，
因为点是边的中点，所以．
【点睛】对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求解，同时注意利用三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.
30．（2021秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）如图，四边形中，为的内角的对边，且满足

（1）证明：；
（2）若，且，设，当变化时，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由已知条件化简可得，再由正弦定理可得；
（2）由条件和（1）的结论可得为等边三角形，利用，结合辅助角公式，可得平面四边形OACB面积的最大值．
【解析】（1）因为，
所以，
所以，
所以，即，
由正弦定理得；
（2）因为，所以，
所以为等边三角形，
由余弦定理得，
所以
，
因为，所以，
所以当即时，四边形面积取得最大值.
【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理和余弦定理解三角形的应用，解答本题的关键是由余弦定理得到，从而可得，将四边形的面积表示成角的三角函数，属于中档题.
31．（2021·上海·统考模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，依次成等比数列，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再利用两角差的余弦公式进一步化简可求得，从而求得角B；（2）由等比数列的性质可得，再利用正弦定理进行边化角，带入通分后的式子即可得解.
【解析】（1）由正弦定理得，
又中，，故，
即，化简得，
又，所以角的大小为．       
（2）由，，依次成等比数列得，由正弦定理得，
故．
【点睛】本题考查正弦定理、两角差的余弦公式，属于中档题.
32．（2018春·上海·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知的顶点分别为，，．
(1)若，，，求的值；
(2)若虚数是实系数方程的根，且是钝角，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)且．

【分析】（1）根据坐标，可作图，利用方格图，在构造的直角三角形中，利用三角函数定义，可得答案；
（2）根据一元二次方程的根的性质，以及余弦定理，可得答案.
【解析】（1）（1）因为，，，所以，，．
所以，，，
如图，因为，所以．

（2）将代入得，
展开得，即，
解得（舍去）或（舍去）或，
所以，，，则，．
因为是钝角，所以且，，三点不共线，
即且，
解得且．
33．（2020·上海·高三专题练习）在中，满足 ．
（1）求；
（2）设，求的值.
【答案】（1） （2）1或
【分析】（1）先利用平方关系将余弦化为正弦，再结合正余弦定理化简可得C.
（2）由（1）结合两角和与差的余弦公式及同角基本关系式将已知化简整理成关于正切的二次方程，解之即可.
【解析】（1）∵，，∴变形为，
即，
利用正弦定理可得：，由余弦定理可得cosC=，即C=.
（2）由（1）可得cos（A+B）=，A+B=，
又cosAcosB=，可得，
同时cos（）cos（）=，
∴
=
=
=-=，
∴，
∴或4.
【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了两角和差的余弦公式的应用，考查了利用同角基本关系式处理齐次式的技巧，考查了学生的运算能力及逻辑推理能力，属于难题.
34．（2022·上海·高三专题练习）已知A、B、C为的三内角，且其对边分别为a、b、c，若，，且．
（1）求角A的值；
（2）若的周长为，面积为，求a的值．
【答案】（1）；（2）；
【分析】（1）三角恒等变换、诱导公式可得，，再利用向量数量积公式运算可得，得解；
（2）由三角形周长及三角形面积可得，，再利用余弦定理运算即可得解.
【解析】解：（1）因为，
， ，
则 ，
即 ,又，故；
（2）因为，由余弦定理得，，
又 的周长为，所以，由三角形面积为，所以 即，所以
故.
【点睛】本题考查了三角恒等变换、诱导公式，向量数量积的运算，重点考查了余弦定理及三角形面积公式，属中档题.
35．（2021秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）已知函数.
(1)求函数在区间上的最大值和最小值；
(2)设方程在上的两个解为和（），求的值；
(3)在中，角､､的对边分别为､､.若，，且，求的面积.
【答案】(1)最大值，最小值
(2)
(3)

【分析】（1）利用辅助角公式及正弦函数的性质即求；
（2）由题得，可解得，，再利用两角差的余弦公式及二倍角公式即求；
（3）由题可求，再结合正余弦定理及面积公式即求.
(1)
由题意知，又，
故当且仅当时，取最大值；当且仅当时，取最小值.
(2)
令，化简得，
解得或．
由于，故，．
于是．
令，则，
因此．
(3)
由题意知，
由于，解得．
在△中，由正弦定理知，
故，，
代入题目条件得
在△中，由余弦定理知，
将上式代入得，
解得，
因此△的面积．