2023年高考数学题型猜想预测卷分段函数、数列及其应用（题型归纳）含解析

这是一份2023年高考数学题型猜想预测卷分段函数、数列及其应用（题型归纳）含解析，共51页。试卷主要包含了分段数列；二，分段函数，分段数列等内容，欢迎下载使用。

 猜题12 第18-19题 分段函数、数列及其应用（题型归纳）
目录：一、分段数列；二、分段函数；三、分段数列、函数的实际应用
一、 解答题
一、分段数列
1．（2021·上海·高三专题练习）数列,满足,且,.
(1)证明:为等比数列;
(2)求,的通项.
【答案】（1）证明见解析；（2），
【分析】（1）由，可得，，代入，化简整理可得，即可得证.
（2）由（1）可得：，化为：，利用等比数列的通项公式可得，进而得到.
【解析】（1）证明：由，可得：，
，代入，
可得：，
化为：，
，
为等比数列，首项为-14，公比为3.
（2）由（1）可得：，
化为：，
数列是等比数列，首项为16，公比为2.
，
可得：，
.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解根据数列的递推公式，通过构造数列是解决本题的关键，运算量大，难度较大，是难题.
2．（2022春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期末）已知数列的递推公式为.
(1)求证：为等比数列；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据时，，得到，利用等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）知，先分组求和，利用错位相减法求的前，再利用公式法求的前项和，即可得解.
【解析】（1）因为当时，，
所以，
又，所以
所以数列是一个首项为2公比为2的等比数列，
（2）由（1）得，故，
所以，
先求的前，
，
，
所以，
所以，
又的前项和，
所以数列的前项和为：.
3．（2022秋·上海虹口·高三华东师范大学第一附属中学校考阶段练习）已知无穷数列的每一项均为正整数，且，记的前项和为．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)证明：数列中存在某一项（为正整数）满足，并由此验证1或3是数列中的项．
【答案】(1)41；
(2).
(3)证明见解析.

【分析】（1）根据给定的递推公式，依次计算出数列的前10项即可计算作答.
（2）根据给定条件，分别讨论是奇数、偶数对应前3项和求解作答.
（3）根据给定条件，利用反证法导出矛盾得证，再验证作答.
（1）
因，，则数列的前10项依次为：10，5，8，4，2，1，4，2，1，4，
所以.
（2）
若是奇数，则是偶数，，，解得，不符合题意，
若是偶数，不妨令，，当为偶数时，，则，无整数解，
当为奇数时，，则，解得，，符合题意，
所以.
（3）
假设数列中不存在某一项（为正整数）满足，即每一个，都有正整数，
当是奇数时，是偶数，，
当是偶数时，，有，或者，
因此，若每一个，都有正整数，则单调递减，因为正整数，则有数列的项数有限，
而数列是无穷数列，则数列必为无穷数列，显然两者矛盾，
即假设是错的，所以数列中存在某一项（为正整数）满足，
当时，，因此当或或或时，数列中出现1，
当时，，因此当或时，数列中出现3，
所以1或3是数列中的项．
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
4．（2016秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知数列是公差不为0的等差数列，，数列是等比数列，且，，，数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前n项和；
（3）若对恒成立，求的最小值.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）利用等差数列的通项公式与等比中项性质列式可解得等差数列的公差和等比数列的公比，进而可得所求通项公式；
（2）对分类讨论，结合等差数列与等比数列的求和公式可得所求和；
（3），讨论当为奇数和偶数时，的单调性，可得的最值，结合不等式恒成立可得的范围，进而可得所求最小值.
【解析】（1）设数列的公差为，，
因为数列是等比数列，所以，
所以，所以，
所以，因为，所以，
又，所以，
所以，数列的公比，
所以.
（2）由（1）知，，
所以，
当时，，
当时，，
所以.
（3），
，
令，
当为奇数时，，且递减，可得的最大值为，
当为偶数时，，且递增，可得的最小值为，
所以的最小值为，最大值为，
因为对恒成立，所以，
所以，所以的最小值为.
【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
5．（2021·上海·高三专题练习）在无穷数列中，，且，记的前n项和为.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）证明：中必有一项为1或3.
【答案】（1）37（2）5（3）证明见解析
【分析】（1）计算数列前9项，再计算和得到答案.
（2）讨论为偶数，为偶数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数四种情况，计算得到答案.
（2）设中最小的奇数为，则，，讨论为奇数，为偶数两种情况，计算得到答案.
【解析】（1），故，故.
（2）当为偶数，为偶数时，，无整数解；
当为偶数，为奇数时，，解得，验证不成立；
当为奇数，为偶数时，，解得，验证成立；
当为奇数，为奇数时，，无整数解；
综上所述：.
（3）设中最小的奇数为，则，，
若为奇数，则，解得；
若为偶数，则，，为奇数，解得；
又，∴中必有一项为1或3.
综上所述：，故中必有一项为1或3.
【点睛】本题考查了数列求和，证明数列中的项，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
6．（2016·上海奉贤·统考一模）数列，满足，；
（1）求证：是常数列；
（2）若是递减数列，求与的关系；
（3）设，求的通项公式.
【答案】（1）证明见解析（2）（3）
【分析】（1）根据所给表达式,求得,再计算,即可证明.
（2）根据数列是递减数列及,即可比较与的大小关系.
（3）根据及（1）求得代入即可求得与的关系,由的表达式可构造,再代入中求得,结合即可求得的通项公式.
【解析】（1）证明：∵
∴
∴
∴是常数列
（2）∵是递减数列
∴
∴
∴
（3）∵
∴
∴
∴
∴
即
又∵
故数列是以1为首项,2为公比的等比数列
∴
【点睛】本题考查了数列递推公式的综合应用,数列单调性的应用,构造数列法求数列的通项公式,等比数列通项公式的求法,属于中档题.
7．（2022·上海·高三专题练习）已知为正整数，各项均为正整数的数列满足：，记数列的前项和为．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若为奇数，求证：“”的充要条件是“为奇数”．
【答案】（1）；（2）或；（3）见解析.
【分析】（1）利用递推公式直接代入求值.
（2）分类讨论当为奇数和偶数的情况，再讨论为奇数和偶数的情况，求得的值.
（3）先证充分性（易证得），再证必要性，用数学归纳法证明.
【解析】解：（1），，则前7项为8，4，2，1，3，5，7，故．
（2）由题设是整数．
①若为奇数,可设，,则是偶数，得，
则，此时，符合题意
②若为偶数,可设，,则，
当是偶数时，可设，得，，
则，此时不存在．
当是奇数时，可设，得，，
，则，得 ，得．
综合①②可得，或．
（3）充分性：若为奇数，则；
必要性：先利用数学归纳法证：（为奇数）；（为偶数）．
①，，成立；
②假设时，（为奇数）；（为偶数）．
③当时，当是偶数，；当是奇数，，此时是偶数．
综上，由数学归纳法得（为奇数）；（为偶数）．
从而若时，必有是偶数．进而若是偶数，则矛盾，故只能为奇数．
【点睛】本题是递推关系为分段函数类型，注意分析并使用分类讨论，还考查了充要条件的证明，复杂的且关于自然数的递推不等式的证明可用数学归纳法证明.
8．（2016·上海奉贤·统考二模）数列，满足，，；
（1）求证：是常数列；
（2）若是递减数列，求与的关系；
（3）设，，当时，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）由题意可知，故问题得以证明；
（2）根据是递减数列，得到，，得到恒成立，
（3）先判断，再根据，得到，是递减数列，即可得到，求出的取值范围．
【解析】解：（1），
，，
，
，
，
是常数列；
（2）是递减数列，，

，
，
，
，
，
猜想，
，
恒成立，
，
时，是递减数列．
（3）整理得，，
，
，
当时，，
，
，
，
，
是递减数列，
，
，
【点睛】本题考查了递推数列的，常数列，数列的函数特征，以及的取值范围，培养了学生的运算能力，转化能力，属于难题．
9．（2016秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）已知数列的前n项和为，且，；
（1）若，求证：；
（2）若，求；
（3）若，求的值．
【答案】（1）证明见解析（2）（3）
【分析】（1）分当时和当时,分别求出的范围,得到要证的不等式.
（2）根据递推公式得到,数列,从2项起,以3为周期的数列,即可求出答案.
（3）通过解不等式判断出项的取值范围,从而判断出项之间的关系,选择合适的求和方法求出和.
【解析】解：（1）当时,则,
当时,则,
故,
所以当时,总有.
（2）时,,
∴数列,
∴从2项起,以3为周期的数列,其和为,

（3）由,可得,故,
当时,.
故且.又,
所以.
故

.
【点睛】本题主要考查了数列递推式；数列的求和.属于中等题型.
10．（2016·上海奉贤·统考二模）数列，满足，，.
（1）求证：是常数列；
（2）若是递减数列，求与的关系；
（3）设，，当时，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）由题意可知，故问题得以证明；
（2）根据数列是递减数列，得到，，得到恒成立；
（3）先判断，再根据，得到，数列是递减数列，即可得到，求出的取值范围．
【解析】（1），，，，
，，因此，数列是常数列；
（2）数列是递减数列，，
，，
，，，，
猜想，恒成立，
，
时，数列是递减数列；
（3）整理得，，，
，
当时，，，
，
，，数列单调递减，，，
因此，当时，的取值范围是.
【点睛】本题考查了递推数列，常数列，数列的函数特征，以及的取值范围，培养了学生的运算能力，转化能力，属于难题．
11．（2022·上海·高三专题练习）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1，且(nÎN*)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列满足，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn；
(3)设*(为正整数)，问是否存在正整数，使得当任意正整数n>N时恒有Cn>2015成立？若存在，请求出正整数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）．（2）（3）不存在见解析
【分析】(1) ，计算得到，，利用公式化简得到，故数列为等差数列，计算得到答案.
(2)讨论为偶数和为奇数两种情况，利用分组求和法计算得到答案.
(3) 不存在，当为奇数时，计算得到，数列单调性递减，得到证明.
【解析】（1）时，，且，解得
时，，两式相减得：
即，，
，为等差数列，．
（2），．
当为偶数时，Tn=(b1+b3+…+bn–1)+(b2+b4+…+bn) ,
当为奇数时，Tn=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4+…+bn–1)


(3),
当n为奇数时，，
∴Cn+2 因此不存在满足条件的正整数N．
【点睛】本题考查了数列的通项公式，数列的单调性，前项和，意在考查学生对于数列知识的综合应用.
12．（2017秋·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）已知数列的首项，，．设数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求；
（3）设，（为正整数），问是否存在正整数，使得时恒有成立？若存在，请求出所有的范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）（3）不存在，见解析
【分析】（1）判断数列为等差数列，计算得到通项公式.
（2）计算得到，分别计算为偶数和为奇数两种情况，利用分组求和法计算得到答案.
（3）不存在，当为奇数时，计算得到数列单调性，得到证明.
【解析】（1），故数列是等差数列
，
（2），
当为偶数时：

当为奇数时：

故
（3）不存在，
当为奇数时，
故，数列单调递减，故 ，故不存在
【点睛】本题考查了数列的通项公式，数列的单调性，前项和，意在考查学生对于数列知识的综合应用.
13．（2018秋·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）若数列的前项和
(1)求数列的通项公式；
(2)设求其前项和
(3)设求数列的最大项与最小项.
【答案】（1）;（2）（3）数列的最大项为与最小项为.
【分析】（1）由与关系,结合,即可求出;
（2）对分类讨论,奇数项成等比数列,偶数项成等比数列,即可求出前项和
（3）根据单调性求出的取值范围,再用单调性求出数列的最大项与最小项.
【解析】（1）当时,，得,
当时,,,,

是以1为首项公比为-2的等比数列,
.
（2）
当为偶数时，



当为奇数时，



（3）,
当为奇数时,,此时单调递减
且,
当为偶数时,，此时单调递增,
且,时，;
研究函数的单调性,
设

,
单调递增,

时，取得最小值，取得最小值为,
时，取得最大值，取得最大值为,
数列的最大项为与最小项为.
【点睛】本题考查已知数列的前项和求通项,考查求数列前项和,以及数列单调性和借助函数的单调性求数列的最大最小项,考查分类讨论思想,属于较难题目.
14．（2022秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，，为整数，且对任意都有．
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前项和；
（3）在（2）的条件下，若数列满足．是否存在实数，使得数列是单调递增数列．若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】试题分析: （1）根据条件Sn≥S5可知，，列出不等式组得出d，即可得出通项公式；
（2）n为偶数时，．利用此性质再根据n的奇偶性计算Tn；
（3）对任意都成立，分离参数得出λ关于n的不等式，根据数列的单调性得出λ的最值即可得出λ的取值范围．
试题解析
（1）设的公差为，由题意得，


（2）当为偶数时，
① 当为奇数时，
                             
                             ．
当时也符合上式
② 当为偶数时，

（3）
由题意得，对任意都成立，
当为奇数时，，
当时，，
当为偶数时，，
当2时，，
综上：
点睛：本题考查了数列的递推公式，数列求和及与数列有关的含参问题，涉及分类讨论，属于难题．根据数列前项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析，在处理涉及的数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的的恒成立，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．
15．（2017·上海松江·统考二模）对于数列，定义，．
(1) 若，是否存在，使得？请说明理由；
(2) 若，，求数列的通项公式；
(3) 令，求证：“为等差数列”的充要条件是“的前4项为等差数列，且为等差数列”．
【答案】（1）不存在（2）（3）见解析
【解析】试题分析：(1)由题意知数列为递增数列，计算出数列的和与可得结果；(2)根据，可得，故可得，即数列，均为公比为6的等比数列，可得其通项公式；(3)将题意转化为，先证必要性：设，其中为常数，可得，得结果，再证充分性：利用数学归纳法证得结果.
试题解析：（1）由，可知数列为递增数列， 计算得，，所以不存在，使得；        
（2）由，可以得到当时，
，
又因为，所以，  进而得到， 两式相除得，所以数列，均为公比为6的等比数列，   
由，得，所以；   
（3）证明：由题意，
当时，，
因此，对任意，都有．   
必要性()：若为等差数列，不妨设，其中为常数，
显然，
由于=，
所以对于，为常数，
故为等差数列；                             
充分性()：由于的前4项为等差数列，不妨设公差为
当时，有成立
假设时为等差数列，
即              
当时，由为等差数列，得，
即：，
所以           
         
         ，
因此，
综上所述：数列为等差数列．
点睛：本题主要考查了数列的求和，数列通项公式的求法，充要条件的证明以及数学归纳法的应用，综合性较强，具有一定的难度；利用数列求和中的分组求和可解决第一个问题，在（2）中主要是通过“”是关键，在充要条件证明中一定要注意因果关系，同时注意数学归纳法中的步骤.
16．（2022秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）已知数列满足，记，
(1)写出数列的前4项；
(2)记，判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(3)求的前20项和．
【答案】(1)，，，；
(2)是等差数列，理由见解析；
(3)300.

【分析】（1）利用代入法，结合数列的通项公式进行求解即可；
（2）根据等差数列的定义进行求解即可；
（3）根据数列奇数项和偶数项的性质，结合等差数列的前项和公式分组求和即可.
【解析】（1）因为数列满足．，
，，，所以，；
（2），，
所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，
所以；
（3）由（2） 可得，，
则，，
当时，也符合上式，所以，，
所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则的前20项和为
．
17．（2022秋·上海浦东新·高三上海市进才中学校考期中）已知数列的前项和为，满足：.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，数列满足，记为的前项和，求证：；
(3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）由条件可得、，然后可得、，两式相减即可证明；
（2）首先可求出、，然后计算出即可；
（3）首先可得，然后利用裂项求和法求出，然后求出，然后分为偶数、为奇数求解即可.
【解析】（1）因为，所以，，
两式相减可得，即
由可得，
两式相减可得
化简可得，所以，
所以数列为等差数列；
（2）由可得，可得，
因为，所以，
因为数列满足，
所以，所以，
所以数列为等比数列，
因为，所以，，
所以，
所以，即，
（3）由（2）可得；
由已知
可得
设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为，
所以，
当为奇数时，，
所以


当为偶数时，，
所以

由，
得，
即，
当为偶数时，对一切偶数成立，所以，
当为奇数时，对一切奇数成立，所以此时，
故对一切恒成立，则.
二、分段函数
18．（2019·上海·统考二模）已知函数
（1）已知，求实数a的值；
（2）判断并证明函数在区间上的单调性．
【答案】（1）（2）函数在区间上单调递增，证明见解析
【分析】（1）将代入解析式可构造方程，解方程求得结果；
（2）任取，可判断出，根据单调性的定义得到结果.
【解析】（1）    ，即
解得：
（2）任取，且

    ，，

在区间上单调递增
【点睛】本题考查根据函数值求解参数、定义法求解函数的单调性的问题，属于基础题.
19．（2022秋·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知，．
(1)在定义域上是严格增函数，求实数a的取值范围；
(2)当时，求函数的值域；
(3)已知常数，不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）由题意可得，解之即可得解；
（2），再根据二次函数的性质即可得解；
（3）令，则即为关于不等式对任意恒成立，分离参数，从而可得出答案.
【解析】（1），
因为函数在定义域上是严格增函数，
所以，解得，
所以实数a的取值范围为；
（2），
令，
则，
所以函数的值域为；
（3）不等式对任意恒成立，
即不等式对任意恒成立，
即不等式对任意恒成立，
令，
则关于不等式对任意恒成立，
即，
因为，当且仅当，即时，取等号，
所以，
所以，所以.
20．（2021秋·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考阶段练习）已知函数，其中，且．
(1)当时，若，求实数的取值范围；
(2)若存在实数使得方程有两个实根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）分段解不等式，再相并即可得解；
（2）当和时，利用图象列式可求出结果，当时，根据函数的单调性以及，可知不符合题意.
【解析】（1）当时，，则，
当时，解不等式，解得，故，
当时，解不等式，解得，故，
所以实数的取值范围是；
（2）①当时，

由图可知，当时，存在直线与有两个交点，
由，解得，故；
②当时，

由图可知，当时，存在直线与有两个交点，
即，解得，故；
当时，函数在和上都为增函数，且，
所以为增函数，
所以不存在实数使得方程有两个实根，
综上所述：实数的取值范围是为.
21．（2020秋·上海奉贤·高三校考期中）已知
（1）若函数在的最大值为，求的值；
（2）若，求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由函数在上是增函数且，故根据题意得函数的最大值为，再根据函数单调性即可得，解得.
（2）根据题意得，进而分或两种情况求解即可得答案.
【解析】解：（1）因为函数在上是增函数，
所以，
因为函数在的最大值为，
所以函数的最大值为，
由于函数是增函数，
所以，解得：.
（2）当时，，
所以或，解得或.
故若，求不等式的解集为
【点睛】本题考查分段函数与对数函数的性质，考查分类讨论思想与运算求解能力，是中档题.本题第一问解题的关键在于注意到函数在上是增函数且，进而将问题转化为函数的最大值为求解，第二问的解题核心是分类讨论.
22．（2020秋·上海宝山·高三上海市行知中学校考阶段练习）若在上的最大值为2．
（1）求的值；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）易知在上单调递增，从而可得，从而解得；
（2）由（1）知，分与时分别解不等式，从而得到不等式的解集即可．
【解析】解：（1）∵在上单调递增，∴，解得：；
（2）当时，，
解得；
当时，
，
解得，
综上所述，不等式的解集为．
【点睛】本题考查了分段函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用及反比例函数与对数函数的性质应用，属于中档题．
23．（2021·上海·高三专题练习）已知函数.
（1）解不等式；
（2）求的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）由可得,即,求解即可；
（2）将写为分段函数的形式,再由一次函数的性质判断单调性,即可求得最值.
【解析】解:（1）因为,
则,即,
解得,即
（2）由题,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以
【点睛】本题考查解含绝对值的不等式,考查求分段函数的最值.
24．（2015秋·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）设为正整数，规定：，已知；
（1）设集合，对任意，证明：；
（2）求的值；
【答案】(1) 证明见解析    ;  (2)
【分析】（1）利用分段函数的意义得出的函数值即可；
（2）利用已知进行计算，归纳得出其周期即可；
【解析】(1)由题意有,
当时.
当时.
当时.
综上有任意，有.
(2), .
.
,
,
一般地：
所以.
【点睛】熟练掌握分类讨论思想方法、分段函数的意义、函数的周期性等是解题的关键,属于中档题.
25．（2018·上海宝山·上海交大附中校考模拟预测）设函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间；单调递增区间（2）
【分析】（1）当时，，再利用二次函数的图象与性质，即可求解；
（2）由在上恒成立，等价于，分类参数可得在上恒成立，进而求得实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，
函数的图象如图所示，结合图象，
可得函数的单调区间为，函数的单调递增区间为.
（2）由函数在上恒成立，
等价于在上恒成立，
则在上恒成立，解得，
即实数的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了含有绝对值函数，以及分段函数应用，其中解答中根据题意，得到分段函数，合理应用函数的图象，以及合理利用分离参数法求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
26．（2022秋·甘肃陇南·高三统考期中）已知函数 .
(1)求不等式的解集；
(2)若方程有三个不同实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）当时，不等式化为；当时，不等式化为；求并集即可；
（2）画出的图象，方程有三个不同实数根等价于与有三个不同的交点，解不等式即可求解.
【解析】（1）当时，由得，，
当时，由得或，，
综上所述，不等式的解集为；
（2）方程有三个不同实数根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，函数的图象：

由图可知：，得：或
所以，实数的取值范围.
27．（2022秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减.
(1)求的值以及的取值范围；
(2)恒成立，求不等式的解集.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）根据二次函数的性质求出的值，再根据函数在断点处的函数值的大小关系求出参数的取值范围；
（2）由函数的最值及（1）中的取值范围确定的值，即可得到函数解析式，再根据分段函数分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解.
【解析】（1）解：因为，又在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时在定义域上单调递减，
当时，所以，解得，
即，
且，即；
（2）解：由（1）可得，所以，解得，
又，所以，
此时，
则不等式等价于或，
解得或，
综上可得不等式的解集为；
28．（2022秋·北京海淀·高三101中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求的值；
(2)求不等式＞1的解集；
(3)当x0＜0时，是否存在使得成立的x0值？若存在，直接写出x0的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)4
(2)
(3)存在；

【分析】（1）由题意，根据分段函数定义，由取值，可得答案；
（2）根据分段函数，分类讨论，整理不等式，可得答案；
（3）根据函数与方程的关系，问题转化为函数求交点问题，根据二次函数与指数函数性质，可得答案.
（1）
．
（2）
由＞1，
①，则，，解得，故；
②，则，解得，故.
解得．
（3）
由题意，问题等价于方程在上存在一个根，
则等价于函数与图象在上有交点，
，根据二次函数的性质，
在单调递增，在单调递减，；
，根据指数函数性质，在上单调递减，.
由，故函数与图象在上有唯一交点，
则存在唯一的，使得成立．
29．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知函数.
(1)当，且时，求的取值范围；
(2)是否存在正实数a，，使得函数在上的取值范围是.若存在，则求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，

【分析】（1）根据条件得到的关系，代入消去得到关于的函数，求其最值即可；
（2）假设存在满足条件的实数a，b，且，分a，，a，，，讨论，列方程组求解.
【解析】（1）因为，
所以在上为减函数，在上为增函数，
由且，可得且，
故.
令，则，函数在上单调递增，所以，
即的取值范围是.
（2）存在满足条件的实数a，b，理由如下：
假设存在满足条件的实数a，b，且.
①当a，时，在上单调递减，
则由，即，
解得ab=1，因为a，，故此时不存在符合条件的实数a，b.
②当a，时，在上单调递增.
则由，即，
所以a，b是方程得或，
所以，此时存在符合条件的实数，.
③当，时，由于，而，故此时不存在符合条件的实数a，b.
综上所述，存在符合条件的实数，.
三、分段数列、函数的实际应用
30．（2021秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）已知某电子公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收人为万美元，且
(1)写出年利润（万美元）关于年产量（万部）的函数解析式（利润=销售收入成本）；
(2)当年产量为多少万部时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)年产量为32万部时，利润最大，最大利润为6104万美元

【分析】（1）分段分别求出利润与的函数解析式，再写出分段函数的形式即可；
（2）当时，利用二次函数性质求的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，再比较两者大小，即可得到的最大值.
【解析】（1）当时，，
当时，，
∴．
（2）①当时，，
∴当时，，
②当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，，
综上所述，当时，取得最大值为6104万美元，
即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万美元．
31．（2021秋·上海浦东新·高三上海师大附中校考期中）近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
(2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.

【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.
（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.
【解析】（1）依题意，销售收入万元，固定成本250万元，另投入成本万元，
因此，
所以2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式是.
（2）由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当，即时取等号，
而，因此当时，，
所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
32．（2023·上海·高三专题练习）疫情防控期间，某小微企业计划采用线下与线上相结合的销售模式进行产品销售运作．经过测算，若线下销售投入资金x（万元），则可获得纯利润（万元）；若线上销售投入资金x（万元），则获得纯利润（万元）．
(1)当投入线下和线上的资金相同时，为使线上销售比线下销售获得的纯利润高，求投入线下销售的资金x（万元）的取值范围；
(2)若该企业筹集了用于促进销售的资金共30万元，如果全部用于投入线下与线上销售，问：该企业如何分配线下销售与线上销售的投入资金，可以使销售获得的纯利润最大？并出求最大的纯利润．
【答案】(1)
(2)投入线下销售的资金10万元，投入线上销售的资金为20万元时，纯利润最大，最大值为62.5万元

【分析】（1）根据题意分与进行讨论求出即可；（2）设投入线下销售的资金为x（万元），投入线上销售的资金y（万元），结合题意写出总利润的表达式，利用函数的性质求解即可.
【解析】（1）当时，
由得或，
所以    
当时，
由得，
所以                  
综上所述，投入线下的资金x（万元）的取值范围为
（2）设投入线下销售的资金为x（万元），投入线上销售的资金y（万元），
所以    
当即时，
总利润
易得在区间上严格递减，在区间上严格递增
又  
所以当时，
当即时，
总利润
缘上所运，投入线下销售的资金10万元，投入线上销售的资金为20万元时，
纯利润最大，最大值为62.5万元．
33．（2022秋·上海嘉定·高三上海市育才中学校考期中）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：）
(1)若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数）
(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.
【答案】(1)13分钟
(2)当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.

【分析】（1）由题意列方程求解
（2）由题意得出利润与的函数关系，结合基本不等式求解最值
【解析】（1）由题意可得，解得.
设经过分钟，这杯茶水降温至，则，
解得（分钟）.
故欲将这杯茶水降温至，大约还需要13分钟.
（2）设2022年该企业该型号的变频空调的利润为，
当时，，
当时，取得最大值3400万元；
当时，，
因为，当且仅当时，等号成立，
则当时，取得最大值3380万元.
因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.
34．（2016春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）某公司自2016年起，每年投入的技术改造资金为1000万元，预计自2016年起第年（2016年为第一年），因技术改造，可新增的盈利（万元），按此预计，求：
（1）第几年起，当年新增盈利超过当年的技术改造金；
（2）第几年起，新增盈利累计总额超过累计技术改造金；
【答案】（1）第7年；（2）第12年
【分析】（1）利用分段函数关系，解不等式即可；
（2）前五年每年盈利都低于1000万元，求出前5年之和小于5000万元，于是超过五年，利用数列求和，解不等式.
【解析】（1）根据盈利（万元），
当，都没能超过当年的技术改造金；
，
是递增数列，
所以从第7年起，当年新增盈利超过当年的技术改造金；
（2）设第几年起，新增盈利累计总额超过累计技术改造金
由于前五年每年盈利都低于1000万元，
前五年盈利之和
所以可得：
化简可得：
当时，，
当
当
当
即第12年起，新增盈利累计总额超过累计技术改造金.
【点睛】此题考查数列的实际应用，考查数列求和及解不等式相关知识，对代数运算理解辨析综合应用能力要求较高.
35．（2021秋·上海静安·高三上海市第六十中学校考期中）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），
其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的
累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
【答案】（1）935；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案；
（2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.
试题分析：
（1）
（2），即第42个月底，保有量达到最大
，∴此时保有量超过了容纳量.
36．（2023秋·广西防城港·高二统考期末）某地地方政府为了促进农业生态发展，鼓励农民建设生态采摘园.2022年该地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天内完成销售.采摘园种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道.根据往年数据统计，游客从开园第1天到闭园，游客采摘量（公斤）和开园的第天满足以下关系：.批发销售每天的销售量为200公斤，每公斤5元，采摘零售的价格是批发销售价格的4倍.
(1)取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？
(2)采摘零售的总采摘量是多少？农户能否24天内完成销售计划？
【答案】(1)
(2)1327公斤，不能完成销售计划

【分析】（1）分段讨论计算采摘零售当天的收入:，批发销售当天的收入，列不等式求解即可；
（2）当时，采摘零售量为数列的和，当时，采摘零售量为数列的和， 两者之和为采摘零售的总采摘量，再加上批发销售的销售总量后判断是否超过6500公斤.
【解析】（1）由条件，当时，，解得
当时，，解得，
所以，采摘零售当天的收入不低于批发销售的收入.
（2）不能.当时，为等差数列，记这些项的和为，.
当时，记数列这些项的和为，





，即采摘零售的总采摘量是1327公斤.
批发销售的销售总量为公斤，24天一共销售公斤，故不能完成销售计划.