2023届高考数学二轮复习专题二函数的奇偶性与周期性（C卷）含答案

2023届新高考数学高频考点专项练习：专题二

考点06 函数的奇偶性与周期性（C卷）

1.已知函数是偶函数，且，则(   )
A.-1 B.1 C.-3 D.3

2.设是定义在实数集R上的函数，且满足，，则是(   )

A.偶函数，又是周期函数 B.偶函数，但不是周期函数

C.奇函数，又是周期函数 D.奇函数，但不是周期函数

3.已知为奇函数，则=（）

A． B．  C． D．

4.定义在R上的偶函数满足：当时，则不等式的解集为(   )

A.  B.

C.  D.

5.若定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列各式一定成立的是(   )

A. B. C. D.

6.为R上的偶函数，在上满足，则、、大小关系为(   )

A. B.

C. D.

7.已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则(   )

A. B.1 C.0 D.

8.已知函数是定义域为R的奇函数，且是偶函数.当时，，则(   )

A.-16 B.-8 C.8 D.16

9.（多选）已知定义在R上的函数满足，，，且为奇函数，则(   )

A.为奇函数  B.为偶函数

C.是周期为3的周期函数 D.

10.（多选）已知非常数函数满足，则下列函数中，是奇函数的为（）

A. B. C. D.

11.已知函数是奇函数，当时，，则当时，_____________.

12.已知是定义在R上的偶函数，且，.若，则_________________.

13.已知函数，的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，若，则_________.

14.已知定义在上的函数满足，且函数是偶函数，当时，，则________.

15.已知函数，当时，恒有．

(1)求证：是奇函数；

(2)如果，并且，试求在区间上的最值．

答案以及解析

1.答案：C

解析：是偶函数，，又.故选C.

2.答案：C

解析：因为，，所以，所以.故.所以周期为4，因为，所以是奇函数.故选C.

3.答案：B

解析：∵为奇函数，

当时，，

∴，

∵是奇函数，

∴，

∴时，

即.

4.答案：C

解析：显然在上单调递增，且.

由于是定义在R上的偶函数，作出函数的大致图象如图所示，

不等式等价于或

结合函数图象可知，不等式的解集为，故选C.

5.答案：C

解析：函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数；当时，，命题A错误；又，且，，命题B错误；又，且，，即，命题C正确；又，，且，，即，命题D错误；所以C选项是正确的.

6.答案：C

解析：因为对任意的，有，所以函数在区间上是减函数，又知是R上的偶函数，所以，，由得，，所以，故选C.

7.答案：D

解析：由，得，所以函数的周期为3，得.又为偶函数，所以，而当时，，所以.

8.答案：B

解析：由是偶函数可知对称轴为，故，又函数为奇函数，故，即，，，令得，所以，函数最小正周期为，所以.

故选B.

9.答案：BCD

解析：因为，所以，

所以，所以是周期为3的周期函数，所以C正确，

因为，，所以，

因为为奇函数，所以，

所以，所以，

所以，

因为，

所以，所以，

所以，所以D正确，

因为，所以不可能为奇函数，所以A错误，

因为，是周期为3的周期函数，所以，

因为，所以，所以为偶函数，所以B正确，故选：BCD.

10.答案：ABC

解析：由题意可知，对任意的，.

对于A选项，设，若存在使得，则，

故函数的定义域关于原点对称，

，则函数为奇函数；

对于B选项，设，若存在使得，则，

故函数的定义域关于原点对称，

，则函数为奇函数；

对于C选项，设，该函数的定义域为，

，所以，函数为奇函数；

对于D选项，设，该函数的定义域为，

，所以，函数为偶函数.

故选：ABC.

11.答案：

解析：根据题意，函数是奇函数，其定义域为，则，
当时，则，则，
又由为奇函数，则，综合可得：当时，，
故答案为：．

12.答案：-3

解析：由可得，又，所以.由可得，故，故的一个周期为8，则.

13.答案：2

解析：因为为偶函数，为奇函数，

所以①，

②，

由①②可得，，若，则.故答案为2.

14.答案：

解析：由函数是偶函数知函数的图象关于直线对称，即有，又，所以，所以，即函数的周期为4，.

15.答案：(1)∵函数定义域为，∴其定义域关于原点对称，

且，令，则．令，

则，得.∴，得，

∴为奇函数．

(2)设，且，则．

∵，∴，∴，即在上单调递减．

∴为最大值，为最小值．∵，∴，

.∴在区间上的最大值为1，最小值为.