2023届高考数学二轮复习专题四函数与方程（C卷）含答案

2023届新高考数学高频考点专项练习：

专题四考点11 函数与方程（C卷）

1.已知函数则函数的零点个数为(   )

A.7 B.8 C.10 D.11

2.表示不超过x的最大整数，例如，.已知是方程的根，则(   )

A.2 B.3 C.4 D.5

3.函数，恰有两个零点，则m的取值范围为(   )

A. B. C. D.

4.已知函数，，的零点分别为a，b，c，则(   )

A. B. C. D.

5.已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

6.已知函数且在上单调递减，函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

7.已知函数的定义域为R，若，使得，则称c是的一个不动点.设的不动点数目有限，现给定下列命题：
①若，则恰有1个不动点；
②若是的一个不动点，则；
③若是单调增函数，且，则；
④方程的所有实根的和等于1.
其中所有正确命题的序号是(   )

A.①② B.①③ C.②③ D.②③④

8.(多选)若函数恰有两个零点，则实数的取值可能为(   )

A.0 B. C.2 D.3

9.(多选)已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，下列命题正确的是(   )

A.当时， B.函数有2个零点

C.的解集为 D.都有

10.(多选)已知函数，则下列结论中正确的是(   )

A.函数的值域与函数的值域相同

B.函数在上有唯一零点

C.若函数在上单调递减，则实数满足

D.若，则函数在上没有零点

11.已知函数其中.若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则m的取值范围是____________.

12.设区间是函数的定义域D的子集，定义在上的函数.记，若则的值域为____________，若关于x的方程恰有3个不同的解，则实数t的取值范围为____________.

13.对任意的实数x，表示不大于x的最大整数，则函数的零点为___________.

14.已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围为___________.

15.已知函数，.

（1）当，时，求方程的解；

（2）若方程在上有实数根，求实数a的取值范围；

（3）当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围.

答案以及解析

1.答案：B

解析：记，则的解为，，，.的根等价于直线与的图象的交点个数，画出的图象，如图，数形结合知有8个交点，即有8个零点.

2.答案：C

解析：令，

当时，，

当时，，

即，又单调递增，其图象是连续不断的，所以的零点所在区间为，所以，故选C.

3.答案：C

解析：函数，的零点个数，

就是

的图象与直线的交点个数，

作出，的图象，

如图，

由图象可知，当或时，函数，的图象与直线有两个交点，

故当函数，恰有两个零点时，m的取值范围为.

故选C.

4.答案：B

解析：函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，

函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，

在同一直角坐标系内作出函数，，与的图象如图所示：

由图可知：，，，，故选B.

5.答案：C

解析：由题意，得有两个不同的零点.令，则.令，则，且，所以当时，，，则在区间上为增函数，故；当时，，，则在区间上单调递减，故.要使有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.

6.答案：C

解析：由题意可知，，要使得关于x的方程恰有三个不相等的实数根，由于有且仅有一个实数根，则只需使得当时方程有且仅有两个不相等的实数根，即当时，方程有两个不相等的实数根.

当时，，解得，此时方程有四个不相等的实根，不合题意；

当方程即方程有两个不相等实根时，，解得，显然当时，满足题意，故选C.

7.答案：C

解析：对于①，由不动点的定义，得，即，解得或，所以有2个不动点，则①错误.对于②，因为是的一个不动点，所以，从而，则②正确.对于③，根据题意有，设，满足，则，所以于是假设，可设且，即有.
（ⅰ）若，结合单调递增，得，从而，自相矛盾；
（ⅱ）若，结合单调递增，得，从而，自相矛盾.综合（ⅰ）（ⅱ），得，从而，故不成立，于是，则③正确.对于④，方程可化为令，则由单调递增及③，得，即，解得或，所以原方程的所有实数根的和为0，则④错误.故选C.

8.答案：BCD

解析：解法一当时，当时，当时，当时，通过画图很容易判断B，C，D成立，A不成立，故选BCD.

解法二设，若的图象与轴有一个交点，则，且，所以.根据题意知，此时函数的图象与轴只有一个交点，所以得.若函数的图象与轴没有交点，则函数的图象与轴有两个交点，当时，的图象与轴无交点，的图象与轴无交点，所以不满足题意.当，即时，的图象与轴无交点，的图象与轴有两个交点，满足题意.综上所述，的取值范围是，故选BCD.

9.答案：CD

解析：本题考查函数的性质、函数零点、导数的应用.由题意可得当时，，A错误；是定义在R上的奇函数，则，又时，有零点，当时，有零点1，所以函数有3个零点，B错误；作出函数的图象如图，由图象可得的解集为，C正确；由图象可知，所以恒成立，D正确，故选CD.

10.答案：ABD

解析：因为函数的值域为，函数的定义域为，所以的值域与函数的值域相同，A选项正确.由的图象可知，在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上单调递增，又，所以函数在上有唯一零点，故B选项正确.因为在上单调递减，所以解得，故C选项错误.令，则，因为，所以当时，，函数在上单调递增.所以当时，，故在上没有零点，即函数在上没有零点，故D选项正确.

11.答案：

解析：的大致图像如图所示，

若存在，使得关于x的方程有三个不同的根，则，又，所以.

12.答案：；

解析：当时，；

当时，.

综上所述，的值域为.

因为，所以，，

即，，

令，，

则

画出函数的图象，根据图象知.

13.答案：

解析：解法一由题意得，.令得，，所以，解得或，从而或.当时，，解得，，与矛盾，故舍去；当时，，，符合题意.故函数的零点为.

解法二函数的零点，即函数，的图象的交点的横坐标，在同一直角坐标系中作出函数，的图象如图所示，由图象知，只有当时，两图象有交点，此时，即.故函数的零点为.

14.答案：

解析：由，得，所以函数恰有三个零点等价于与函数的图象有三个交点.当时，，，所以函数在上单调递减；当时，，，由，得，由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以为函数的极大值点，且，，当时，.在同一平面直角坐标系中作出与函数的图象，如图所示，由图可知，当与函数的图象存在三个交点时，，即实数a的取值范围为.

15.解析：（1）当，时，，

解得或.

（2）函数的图象开口向上，且对称轴是直线，

在区间上是减函数，

函数在区间上存在零点，

即

解得.

故所求实数a的取值范围为.

（3）若对任意的，总存在，使成立，

则函数的值域为函数的值域的子集.

当时，，的值域为，

下面求的值域.

①当时，为常数，不符合题意，舍去；

②当时，的值域为，

要使，

需解得，

③当时，的值域为，

要使，

需解得.

综上，m的取值范围为.