2023届高考数学二轮复习专题四函数模型及其应用作业（B）含答案

2023届新高考数学高频考点专项练习：

专题四考点12 函数模型及其应用（B卷）

1.某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元).要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工的绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少.则下列函数最符合要求的是(   )

A.  B.

C. D.

2.某食品的保鲜时间y(单位：小时与储存温度x(单位：℃)满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是_______小时.(   )

A.22 B.23 C.24 D.33

3.纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.526分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度是(   )

A.5℃ B.10℃ C.15℃ D.20℃

4.在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(   )
 

A. B. C. D.

5.“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污.某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米.已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t（单位：天）河水污染质量指数（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍.若从现在开始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：)(   )

A.1个月 B.3个月 C.半年 D.1年

6.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与成正比，且当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.现有如下说法:
①v与的正比例系数为;
②当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为2700;
③当鲑鱼的耗氧量的单位数为100时，游速.
则说法正确的个数为(   )
A.0 B.1 C.2 D.3

7.不锈钢冰块又叫不锈钢冰粒，表面是由304不锈钢制成，内部装有特殊的冷冻液体，用来替代传统的冰块.不锈钢冰块采用物理降温原理，可无限次循环使用，冷冻效果比传统的冰块更持久.为测量某型号不锈钢冰块在冷冻环境下的导热参数，试验员将温度为的不锈钢冰块放入到的冷冻室中，15分钟后测量其温度为.若可以用指数函数模型：描述物体的实际温度T（单位：）随时间t（单位：分钟）的变化规律，其中为环境温度，为物体的初始温度，常数K为导热参数.则根据实验数据估计导热参数K的值为(   )
A.0.03 B.0.04 C.0.05 D.0.06

8.《中国互联网发展报告2020》蓝皮书显示，据统计，从2020年开始，全球5G网络将有三分之一来自中国技术.5G通信技术的原理之一为“香农定理”，即公式，它给出了信道信息传送速率的上限（比特每秒）和信道信噪比及带宽的关系，即在受噪声干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W，信道内所传信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中即信噪比，且当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.依照香农定理，若传送时信道带宽不变，信噪比的初始值为1000，则当传送速率提高20%时，信噪比的值为(   )

A. B. C. D.

9.放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间叫半衰期，这种理论也应用在医学上，医学上半衰期的具体定义为药物在生物体内浓度下降一半所需要的时间现有A，B两种新研制的药物，为研究其药性特点，在两只身体状况一致的小白鼠体内分别注射药物，已知药物A的半衰期为8小时，设经过个半衰期，两种药物的浓度分别为，若，经过相同的时间后，则药物B的半衰期为(   )
A.6小时 B.7.5小时 C.10小时 D.12小时

10.为了检测某种病毒传染性的强弱某研究机构利用小白鼠进行试验在不采取防护措施的情况下，每天新增感染的小白鼠数量是前一天新增感染数量的1.2倍如果采取科学有效的防护措施，每天新增感染的小白鼠数量是前一天新增感染数量的0.8倍.现将小白鼠分为两组，已知11月20日，A组新感染的小白鼠数量为120只，B组新感染的小白鼠数量为30只，现对B组的小白鼠釆取防护措施，对A组的小白鼠不采取防护措施，若要使A组新增感染的小白鼠数量超过B组新增感染数量的4倍，则至少需要（参考数据：）(   )

A.5天 B.6天 C.7天 D.8天

11.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是，经过一定时间(单位:分)后的温度是，则，其中称为环境温度，称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20分钟，那么此杯咖啡从0℃降温到32℃时，还需要_________________分钟.

12.旅行社为某旅游团租飞机旅游，其中旅行社的包机费为15 000元.旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团的人数不超过35人，则飞机票每张收费800元;若旅游团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，机票每张少收10元，但旅游团的人数不超过60人.设该旅游团的人数为人，飞机票总费用为元，旅行社从飞机票中获得的利润为元，当旅游团的人数_____________时，旅行社从飞机票中可获得最大利润.

13.复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，英文代号为CR，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，CR400BF-C智能复兴号动车组在京张高铁实现时速350公里自动驾驶，高速列车运行时不仅速度比普通列车快而且噪声更小.我们用声强I（单位：）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为，已知时，.若要将某列车的声强级降低30dB，则该列车的声强变为原声强的________.

14.某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了如表所示的一组试验数据.

现有如下5个模拟函数：
①；②；③；④；⑤.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选__________（填序号）.

15.某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图像如图所示.假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：

①此指数函数的底数为2；

②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过；

③野生水葫芦从蔓延到只需1.5个月；

④设野生水葫芦蔓延至，，所需的时间分别为，，，则；

⑤野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度.

其中，说法正确的是__________.(填序号)

答案以及解析

1.答案：C

解析：由题意知，拟定函数应满足:①时单调递增函数，且增长速度先快后慢再快; ②在左右增长速度较慢，最小值为500.A中，函数在内先减后增，不符合要求;B中，函数是指数型函数，增长速度越来越快，不符合要求;D中，函数是对数型函数，增长速度越来越慢，不符合要求；在C中，函数的图象是由函数的图象经过平移和伸缩变换得到的，形状符合要求，且最小值为500.故选C.

2.答案：C

解析：某食品的保鲜时间y(单位：小时与储存温度x(单位：℃)满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数），该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，，解得，该食品在33℃的保鲜时间：（小时）.故选C.

3.答案：B

解析：根据题意可得，即，
根据可得，解得，则空气温度是.

4.答案：B

解析：由题表可知函数在上是增函数，且y的变化随x的增大越来越快，分析选项可知B符合，故选B.

5.答案：C

解析：某一时段t河水污染质量指数，由题意可知，.
从现在开始停止污染源，则，，，要使河水的污染水平下降到初始时的，则，即，解得，所以需要的时间大约是半年.
故选C.

6.答案：A

解析：依题意，设，则有，解得，故①错误；当时，有，解得，故②错误；当时，游速，故③错误.故选A.

7.答案：D

解析：根据已知函数模型可知不锈钢冰块的实际温度，由题意可知当时，，则有，故，则，所以.故选D.

8.答案：C

解析：由题意可设提速前的传送速率（其中，提速后的传送速率，依题意可得，即，所以，则，选C.

9.答案：B

解析：设，则.当药物A的浓度为时，药物A经历了15个半衰期，故药物已被注射进小白鼠体内小时，设药物B的半衰期为t小时，则由题意可得，解得，所以药物B的半衰期为7.5小时.

10.答案：B

解析：由题意得，经过x天后，A组新增感染的小白鼠数量为

组新增感染的小白鼠数量为，由，得

所以，故至少需要6天.

11.答案：10

解析：由已知可得，则，解得.当咖啡从40℃降温到32℃时，可得，解得.故还需要10分钟.

12.答案：57或58

解析：依题意，得则旅行社的利润当且时，;当且时，，当或58时，最大，最大为18 060.综上，当或58时，旅行社可获最大利润.

13.答案：

解析：由时，，得，解得，故.设某列车原来的声强级为，声强为，该列车的声强级降低30dB后的声强级为，声强为，则，所以，解，即该列车的声强应变为原声强的.

14.答案：④

解析：画出散点图如图所示.
 

由图可知上述点大致在函数的图象上，故选择可以近似地反映这些数据的规律，故填④.

15.答案：①②④

解析：函数关系为指数函数，可设且.由题图可知，，即底数为2，说法①正确；，说法②正确；指数函数增加速度越来越快，说法③不正确；，，，，说法④正确；指数函数增加速度越来越快，说法⑤不正确.故正确的有①②④.