2023届高考数学二轮复习专题五导数的应用作业（C）含答案

专题五考点14 导数的应用（C卷）

1.已知函数，若存在使得成立，则实数b的最值情况是(   )

A.有最大值1  B.有最大值-3

C.有最小值1  D.有最小值-3

2.已知函数的定义域为R，，对任意的，满足.当时，不等式的解集为(   )

A. B. C. D.

3.已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a的值为(   )

A.1 B.2 C.3 D.-1

4.已知函数，，若恒成立，则实数m的取值范围是(   )
A. B. C. D.

5.设函数，.若对任意的，，不等式恒成立，则正数k的取值范围是(   )

A. B. C. D.

6.已知函数满足，当时，函数.若对任意的，存在，使得不等式成立，则a的取值范围是(   )
A. B. C. D.

7.已知函数在R上有且只有一个零点，则实数m的最小值为(   )

A. B. C.1 D.

8.(多选)已知.若有唯一的零点，则实数m的值可能为(   )

A.2 B.3 C.-3 D.-4

9.(多选)已知函数则下列说法正确的是(   )
A.函数有极大值点

B.函数既有极小值，又有最小值

C.在定义域内存在，，使得成立

D.方程有3个不等实数根

10.(多选)关于函数，下列判断正确的是(   )
A.是的极大值点

B.函数有且只有1个零点

C.存在正实数k，使得成立

D.对任意两个正实数，且，若，则

11.已知（b为常数）在处取得极值，则b的值为__________.

12.已知函数为偶函数，则________，两数的零点个数为_______.

13.某厂生产某种产品x件的总成本(单位:万元)，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时总利润最大.

14.已知函数若关于x的方程恰有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是______________.

15.已知函数.

(1)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若函数有两个不同的零点，求证：.

答案以及解析

1.答案：A

解析：解法一由题意知，其图象的对称轴为直线，当时，解得，当时，无解，所以b有最大值1，故选A.

解法二由题意知，且存在使得成立，因为的图象是开口向上的抛物线，所以或，解得或，综上可得，所以b有最大值1，故选A.

2.答案：D

解析：由题意构造函数，则，所以函数在R上为增函数.因为，所以.又，所以，所以.因为，所以，所以不等式的解集为.故选D.

3.答案：A

解析：因为是奇函数，当时，的最小值为1，所以在区间上的最大值为-1，当时，，令，得.又，所以，令，则，所以在区间上单调递增；令，则，所以在区间上单调递减，所以，所以，则.

4.答案：B

解析：由题意，函数，，则，
令，即，解得或，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得极小值，也是最小值，
因为不等式恒成立，即恒成立，
解得，故选B.

5.答案：B

解析：对任意的，，不等式恒成立，.由，得.当，，当，.，.令，得（舍去）.当时，，当，.，，，，故选B.

6.答案：C

解析：当时，在上的最大值为4.
又，所以在上的最大值为1.
对于函数，有，则在上，，函数为增函数，在上，，函数为减函数，则函数在上，有最大值.若对任意的，存在，使得不等式成立，必有，即，解得，即a的取值范围为.

7.答案：D

解析：由题可知，为偶函数，且，.

设，则，

当时，，故在上单调递增，

故时，，即，即在上单调递增，

故在上没有零点.

由为偶函数，可知在R上有且只有一个零点；

当时，存在，使，

当时，，即在上单调递减，故，

即，故在上单调递减，故，

且，则在上有零点，此时不符合条件，

故，即实数m的最小值为，故选D.

8.答案：ACD

解析：只有一个零点，

方程只有一个实数根，

即方程只有一个实数根.

令，则且等号不恒成立，

函数在R上单调递减，且当时，，当时，，作出函数的大致图像如图所示，

只需关于t的方程（*）有且只有一个正实根.

①当时，方程（*）化为，解得，符合题意；

②当时，方程（*）化为，解得或，不符合题意；

③当时，方程（*）化为，解得（负值舍去），符合题意；

④当时，方程（*）化为，解得（负值舍去），符合题意.

故选ACD.

9.答案：CD

解析：当时，令，则，故在上单调递减，在上单调递增，有极小值.当时，是单调递增的，且时，.函数的图像如图，可知函数不存在极大值点，有极小值，但是没有最小值，故A，B错误.假设存在，，使得成立，不妨设，根据的图像可知，，则成立.，.设，，则，在上单调递增，.因此一定存在，使得，故C正确.方程可变形为，解得或.根据的图像可知，当时，存在2个不相等的实数根，当时，存在1个实数根，因此方程共有3个不等实数根，故D正确.选CD.
 

10.答案：BD

解析：对于A，函数的定义域为，，当时，，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点，故A错误.
对于B，，，所以函数在上单调递减，又，所以函数有且只有1个零点，故B正确.
对于C，若，即，则，令，则，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k，使得恒成立，故C错误.
对于D，因为在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值，点因为对任意两个正实数且，若，则，令，则，由，得，即，即，即，解得，所以.故要证，即证，即，即证.因为，所以，所以即证.令，，，所以在上是增函数.因为时，，所以，所以在上是增函数.因为时，，所以，所以，所以，故D正确.
故选BD.

11.答案：0

解析：，因为在处取得极值，所以，所以或.当时，无极值；当时，满足题意.所以b的值为0 .

12.答案：1，2

解析：由为偶函数得，即，所以，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为.又，所以在上有唯一零点；又，所以在上有唯一零点.综上所述，有且仅有2个零点.

13.答案：225

解析：设产品单价为m，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，所以(其中k为非零常数).又因为生产100件这样的产品单价为50万元，所以，故.
记生产x件产品时，总利润为，
所以.
则，
由得;
由得，
故函数在上单调递增，在上单调递减.
因此当时，取最大值.
即产量定为225件时，总利润最大.

14.答案：

解析：设，则是定义域为的偶函数，

当时，，

令得.

记，

则，易知，

故函数在上递增，又，所以当时，；当时，，

所以在上递减，在上递增，，

当时，，当时，，

因此函数的大致图像为

其与直线有四个不同的交点，

因此实数a的取值范围是.

15.答案：(1)取值范围为.

(2)证明过程见解析.

解析：(1)由得，即.

两边同时加x得，

令，则.

为增函数，，即.

令，则，

在上单调递减，在上单调递增，

，，解得，

故实数a的取值范围为.

(2)令，则.

令，则，

令，得，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

则，且当时，.

函数有两个不同的零点，

即关于x的方程在上有两个不相等的实根，

即直线与函数的图象有两个不同的交点，

所以.

不妨设，则易得，

要证，只需证.

又，，

所以只需证.

令，

则，

当时，，，所以，

则在上单调递增，

所以，即，

所以.