2023届高考数学二轮复习专题九数列求和及其综合应用作业（C）含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题九数列求和及其综合应用作业（C）含答案，共11页。试卷主要包含了《九章算术》“竹九节”问题，已知数列的首项，前n项和为，，等内容，欢迎下载使用。

1.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智玩具，它由九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，满足，且时，，则解下4个圆环所需的最少移动次数为( )
A.7B.8C.9D.10
2.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪袅、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次构成等差数列），问各得多少鹿？”已知上造分得只鹿，则大夫所得鹿( )
A.1只B.只C.只D.2只
3.中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》.这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题：今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？请你计算甲应该分得( )
A.78石B.76石C.75石D.74石
4.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为( )
A.2B.C.3D.
5.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”:自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则n的值为( )
A.7B.8C.9D.10
6.数列是正项等比数列，满足，则数列的前n项和( )
A.B.C.D.
7.已知数列的首项，前n项和为，，.设，则数列的前n项和的取值范围为( )
A.B.C.D.
8.(多选)《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题:“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远?”(注释:①第节(最下面一节)的高度为0.5尺;②第一圈(最下面一圈)的周长为13尺;③每节比其下面的一节多0.03尺;④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)下列说法正确的是( )
A.蚂蚁爬到第10节底部时的高度是5.58尺
B.蚂蚁爬到第10节底部时的高度是6.35尺
C.蚂蚁爬到竹子顶的行程是73.995尺
D.蚂蚁爬到竹子顶的行程是61.395尺
9.(多选)已知数列的前n项和为，若是与的等差中项，则下列结论中正确的是( )
A.当且仅当时，数列是等比数列B.数列一定是单调递增数列
C.数列是单调数列D.
10.(多选)对于首项为负数的无穷等比数列，若对任意的n，，，则称为“M数列”；若对任意的，存在，使得，则称为“L数列”.若数列的公比为q，则( )
A.当时，是“M数列”
B.当时，不是“L数列”
C.当时，为“L数列”，则一定为“M数列”
D.当时，为“M数列”，则一定为“L数列”
11.在数列中，，，则数列的前n项和___________.
12.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第年，每年初的价值比上年初减少10万元；第7年开始，每年初的价值为上年初的75%，则第年初的价值________________.
13.已知等比数列的前n项和为，且满足，则___________，若，则数列的前n项和_____________.
14.《九章算术》中有这样一道题:“今有蒲生一日，长三尺.莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等?”其意思是:今有蒲第一口可长三尺，莞第一日可长一尺.蒲的生长长度逐日减半，莞的生长长度逐日增加一倍，问几日蒲、莞的长度相等?此问题中，当蒲、莞长度相等时.蒲、莞的长度为_______尺.
15.已知数列满足，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列_______的前n项和.
从条件①，②，③中任选一个，补充到上面的问题中，并给出解答.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由于满足，且时，，所以.
2.答案：B
解析：设按爵次高低分配得到的猎物数依次构成等差数列，公差为d，则，，
，，即大夫所得鹿只.
3.答案：A
解析：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分二十六石，因此公差，则前3项和，解得所以甲应该分得78石.故选A.
4.答案：D
解析：方法一：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列，设其公比为，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知解得，所以第5节的容积为.故选D.
方法二：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知，由等比数列的性质可知.所以.故选D.
5.答案：B
解析：由题意，可知这堆货物的总价为，则，
，两式相减可得，所以.当时，.故选B.
6.答案：A
解析：数列是正项等比数列，公比设为q，由，可得，解得，，则.
则，则前n项和.故选A.
7.答案：C
解析：由，可得当时，有，两式相减得，故.
又当时，，
所以数列是首项为3、公比为3的等比数列，故.
所以，所以.
所以，①
，②
①-②，得，
化简整理得.
因为，所以，又，
所以数列是递增数列，所以，所以，故的取值范围是，选C.
8.答案：AD
解析：设从地面往上，每节竹长依次为尺，尺，尺，…，尺，
所以是以为首项，0.03为公差的等差数列，，前项和，A正确，B错误.
由题意知竹节圈长，上面一圈比下面一圈少0.013尺，设从地面往上，每节圈长依次为尺，尺，尺，…，尺，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程为(尺)，C错误，D正确.
9.答案：CD
解析：因为是与的等差中项，所以，所以.又，所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，，故选项A错误.当时，数列是单调递减数列，故选项B错误.因为，所以，当时，数列是单调递减数列；当时，数列是单调递增数列，故选项C正确.由于，故选项D正确.所以正确选项为CD.
10.答案：BC
解析：选项A，当时，取，则不成立，这与对任意的n，，相矛盾，故不是“M数列”，故A不正确；
选项B，假设为“L数列”，则对任意的，存在，使得，由，得，所以，即，所以，但此时，与对任意的，存在，使得相矛盾，所以假设不成立，所以当时，不是“L数列”，故B正确；
选项C，当时，为“L数列”，则对任意的，存在，使得，即，又，所以，所以，所以，而对任意的n，，，因为，所以，，所以，即对任意的n，，，所以为“M数列”，故C正确；
选项D，当时，为“M数列”，取，则不存在，使得成立，故不为“L数列”，故D不正确.
综上，故选BC.
11.答案：
解析：令，显然，由数列的递推公式，可得当，时，，且.由累乘法，可得，显然，当时，满足上式，所以，所以.
12.答案：
解析：当时，数列是首项为120，公差为的等差数列，故；
当时，是首项为，公比为的等比数列，故.
综上可得
13.答案：
解析：因为数列是等比数列，所以，因为，所以，解得因为，所以，由，得，所以，所以，因为，所以，所以①，则②.①-②得，即，整理，得.
14.答案：5
解析：设蒲(水生植物名)的长度构成等比数列，公比为，其前项和为，莞(植物名)的长度构成等比数列，公比为2，其前项和为，则，令，化为，解得或 (舍去)∴，所以当，蒲莞长度相等，此时.
15.答案：(1)证明过程见解析.
(2)若选①，；
若选②，；
若选③，.
解析：(1)因为，所以，故.
由，得.又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
(2)由(1)知，.
若选①，，
则，
，
两式作差，得，
所以.
若选②，，
.
若选③，，
所以.