2023届高考数学二轮复习专题十二空间向量及其运算作业（A）含答案

2023届新高考数学高频考点专项练习：

专题十二考点33 空间向量及其运算（A卷）

1.向量，，若，且，则的值为(   )

A.-1 B.1 C.-4 D.4

2.空间中任意四个点，则(   )

A. B. C. D.

3.在空间直角坐标系中，，，，，若A，B，C，D四点共面，则(   )

A.  B.

C.  D.

4.在正方体中，下列各式的运算结果为向量的是(   )

①；②；

③；④.

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

5.在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，若是正三角形，且E为其重心，则的化简结果是(   )
A. B. C. D.

6.已知正方体的棱长为a，且与相交于点O，则有(   )
A. B. C. D.

7.已知，，，若三个向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为(   )
A.0 B.5 C.9 D.

8.(多选)已知向量，，，下列等式中正确的是(   )

A.  B.

C. D.

9.(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是(   )

A.

B.

C.向量与的夹角是60°

D.与AC所成角的余弦值为

10.空间直角坐标系中与点关于平面对称的点为，则点的坐标为______________.

11.化简：_______________.

12.已知，.若，则______；若，则________.

13.在正三棱柱中，M为的重心，若，，，则_______________.

14.如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.
 

（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.

15.在四棱锥中，底面ABCD，，，，.

（1）证明：；

（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.

答案以及解析

1.答案：C

解析：，，解得.由，得，

解得，，故选C.

2.答案：C

解析：利用空间向量运算法则即可得出.

3.答案：A

解析：，，，因为A，B，C，D四点共面，所以，，共面，即存在唯一的实数对，使得，即消去，得，故选A.

4.答案：C

解析：，①错；

，②错；

，③对；

，④对.故选C.

5.答案：C

解析：如图所示，取BC的中点F，则，又E为正三角形BCD的重心，即DF上靠近F的三等分点，所以，则.
 

6.答案：B

解析：对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选B.

7.答案：D

解析：，，与不共线，又，，三个向量共面，存在唯一的实数对，使，即，故选D.

8.答案：BCD

解析：易得.

，，所以A选项错误；

，所以，所以B选项正确；

，所以C选项正确；

，

即，，所以D选项正确.

故选BCD.

9.答案：AB

解析：由题意可知平行六面体的各棱长均相等，设棱长为1，则，所以，而，所以A正确；，所以B正确；向量，显然为等边三角形，故，所以向量与的夹角是120°，即向量与的夹角是120°，所以C不正确；因为，所以，，，

所以，所以D不正确.故选AB.

10.答案：

解析：在空间直角坐标系中，若点的坐标是，设点关于平面对称的点为，那么点的坐标是，因此空间直角坐标系中与点关于平面对称的点的坐标为.

11.答案：

解析：原式.

12.答案：；

解析：由，得，解得.由，得，且，解得，，所以.

13.答案：

解析：如图，连接并延长，交于点D，

在正三棱柱中，M为的重心，，，，.

14.答案：（1）

（2）

解析：（1）设点A到平面的距离为h，
因为直三棱柱的体积为4，
所以，
又的面积为，，
所以，

即点A到平面的距离为.
（2）取的中点E，连接AE，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
又平面ABC，
所以，因为，所以平面，
所以.
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）知，，所以，，
因为的面积为，所以，所以，
所以，，，，，，
则，，
设平面ABD的法向量为，
则即
令，得，
又平面BDC的一个法向量为，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.

15.答案：（1）证明见解析

（2）

解析：解：（1）如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则.

又，所以四边形DCBO为平行四边形.
又，
所以四边形DCBO为菱形，所以.
同理可得，四边形DCOA为菱形，所以，
所以.
因为底面ABCD，底面ABCD，所以，
又，平面ADP，所以平面ADP.
因为平面ADP，所以.

（2）由（1）知，又，所以，
所以三角形ADO为正三角形.
过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
 

则，，，.
则，，.
设平面PAB的法向量为，
则.
令，则，，所以.
设直线PD与平面PAB所成的角为，
则，
所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.