2023届高考数学二轮复习专题十二空间向量与立体几何综合练习作业（A）含答案

2023届新高考数学高频考点专项练习：

专题十二空间向量与立体几何综合练习（A卷）

1.空间直角坐标系中，已知，，则线段AB的中点坐标为(   )

A. B. C. D.

2.已知空间向量a，b，且，，，则一定共线的三点是(   )
A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D

3.已知A，B，C，D为空间中任意四个点，则等于(   )

A. B. C. D.

4.已知正方体，若，则正方体的棱长等于(   )

A.2 B. C. D.4

5.如图，在正四棱柱中，，，动点P，Q分别在线段，AC上，则线段PQ长度的最小值是(   )

A. B. C. D.

6.如图，点为矩形所在平面外一点，平面为线段的中点，，则点到平面的距离为(   )

A. B. C. D.

7.已知菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为(   )

A.2 B. C. D.

8. (多选)已知向量，，则下列结论中正确的是(   )

A.若，则 B.若，则

C.不存在实数，使得 D.若，则

9.(多选)已知正方体的棱长为1，E，F分别为线段，上的动点，则下列结论正确的是(   )
A.平面

B.平面平面

C.点F到平面的距离为定值

D.直线AE与平面所成角的正弦值为定值

10.如图，O为所在平面外一点，M为BC的中点，若与同时成立，则实数的值为______________.
 

11.已知空间的一个基底，，，若m，n共线，则___________，__________.

12.正三棱柱的所有棱长都相等，则与平面所成角的余弦值为__________________.

13.已知矩形ABCD中，，，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为_____.

14.如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC的中点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.

15.如图，PO是三棱锥的高，，，E是PB的中点.

（1）求证：平面PAC；

（2）若，，，求二面角正余弦值.

答案以及解析

1.答案：D

解析：设中点坐标为，根据中点坐标公式得，，.故选D.

2.答案：A

解析：，A，B，D三点共线，故选A.

3.答案：D

解析：.

4.答案：C

解析：设正方体的棱长为a，则有，则有，故.

5.答案：C

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

根据题意，可设点P的坐标为，，点Q的坐标为，，则，当且仅当，时，线段PQ的长度取得最小值.

6.答案：B

解析：如图，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，.

设平面的一个法向量为，则即

令，则.

点到平面的距离.

7.答案：D

解析：设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO、DO，因为，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面ACD，如图建系，则，，，，

所以，，.

设平面BCD的法向量为，则即

令，得，，则，易知平面CDA的一个法向量为，所以，故选D.

8.答案：AC

解析：由得，

解得，故A选项正确；由

得，解得，故B选项错误；

若存在实数，使得，则，

，，显然无解，

即不存在实数使得，故C选项正确；

若，则，解得，

于是，故D选项错误.

9.答案：ABC
解析：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

由题意知，，，，，，，，，则，，
设，，，
则，

.
设，，，则.
对于A，，，，
，，
又AC，平面，，
平面，故A正确；
对于B，，，，
，，
又，平面，，
平面，
又平面，
平面平面，故B正确；
对于C，平面，为平面的一个法向量，
，点F到平面的距离，为定值，故C正确；
对于D，易知平面，
是平面的一个法向量，
设直线AE与平面所成的角为，
又，
，
不是定值，故D错误.故选ABC.

10.答案：

解析：，所以.

11.答案：1；-1

解析：，n共线，，使，

，得

解得

12.答案：

解析：设三棱柱的棱长为1，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则，平面的一个法向量为.设与平面所成角为，则.

13.答案：

解析：过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，

则可求得，，，，

.由于，，，两两垂直，

所以

，故.

14.答案：（Ⅰ）见解析

（Ⅱ）

解析：（Ⅰ）因为ABCD是直角梯形，，
所以，即，
因为CDEF是直角梯形，，
所以，即.

如图，在AB边上作，连接DH，易得，

在中，因为，所以，.

在DC边上作，连接EG，易得，
在中，因为，所以，.
易知二面角的平面角为，又，故为等边三角形，
又N为BC的中点，所以.

因为，，，所以平面BCF.
又平面BCF，所以.
因为，，故平面ABCD，
又平面ABCD，故.

（Ⅱ）如图，取AD的中点K，连接NK，以N为坐标原点，

以NK，NB，NF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面ADE的法向量为，
则，即，
取，则，，即是平面ADE的一个法向量.
设直线BM与平面ADE所成角为，
因为，
所以.

15.答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.

因为，所以.

因为PO为三棱锥的高，所以平面ABC，
因为平面ABC，所以.

又平面POD，且，所以平面POD.

因为平面POD，所以，
又，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
因为D，E分别为BA，BP的中点，所以，
因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
又平面ODE，，
所以平面平面PAC.
又平面ODE，所以平面PAC.
（2）连接OA，
因为平面ABC，平面ABC，
所以，，
所以.

易得在中，，
所以，，
又，
所以在中，.
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，

设平面AEC的法向量为，
则，即，
令，则.
设平面AEB的法向量为，
则，即，令，则.
所以.
设二面角的大小为，
则.