2023届高考数学二轮复习第6讲幂指对函数作业含答案

  第6讲幂指对函数

典型例题

【例1】已知函数且在区间上单调递

增,则的取值范围为(   )

A.                B. 

C.                D. 

【答案】C

【解析】当时,由复合函数的单调性知函数在上单调递减且恒成立,所以解得;

当时,由复合函数的单调性知函数在上单调递增且恒成立,所以解得.

综上,的取值范围为或.故选C.

【例2】(多选题)已知函数,则下列结论中正确的为（）

A.的图象关于原点对称 

B.的图象关于轴对称 

C.的值域为 

D.对于,恒成立 

【答案】ACD

【解析】对于,则,

则为奇函数,其图象关于原点对称,故正确.

对于,故的图象不关于轴对称,故B错误.

对于,

令,

则有,易知,即的值域为,故正确.

对于,

在上为增函数,为上的减函数,

由复合函数的单调性可得在上单调递减,

故对,且恒成立,故D正确.

故选ACD.

【例3】(多选题)定义运算设函数,则下列命题中正确的为(    )

A.的值域为 

B.的值域为 

C.使不等式成立的的取值范围是 

D.使不等式成立的的取值范围是

【答案】AC

【解析】由函数,有即

作出函数的图象,如图.

根据函数图象知的值域为正确.

若不等式成立,则,即成立,

或即成立.所以正确.

故选AC.

【例4】若函数 的图象如图所示, 则下列说法 中正确的是（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】由渐近线是,得0的两根为1,5.

由题意知,,则的图象开口向上,得,

又当时,,可知.

故选D.

【例5】已知 , 且 , 则下列结论中一定正确的是（ ）

A. B.  C.  D.

【答案】B

【解析】,且,得.

设,则恒成立,在上单调递增.

因为,所以,即,

故正确.

令,则.不成立,故A错误.

不成立,故C错误.

不成立,故D错误.

故选B.

【例6】渔民出海打鱼, 为了保证运回的鱼的新鲜度 (以鱼肉内的三甲胺的多少来确 定鱼的新鲜度, 三甲胺是由细菌分解产生的, 三甲胺积聚就表明鱼的新鲜度下降, 鱼开始变质, 进而腐败), 鱼被打上船后, 要在最短的时间内将其分拣, 冷藏. 已知某种鱼失去的新 鲜度 与其出海后的时间 (单位: ) 满足的函数关系式为 , 出海后 这 种鱼失去的新鲜度为 , 出海后 这种鱼失去的新鲜度为 , 若不及时处理, 打 上船的这种鱼大约经过多长时间刚好失去 的新鲜度? (参考数据: )（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】

【解析】由题意可得解得.故.

令,即,两边同时取对数,得.

故选B.

【例7】设函数 若关于 的方程 恰有 6 个不同的实数根, 则实数 的取值范围为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】的图象如图所示.

关于的方程恰有6个不同的实数根,

令,可得,则该方程的两个根在上,此时有三个根,如图.

可得解得,故选B.

【例8】已知函数 , 若 在 上为减函数, 则 的取值范围为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】函数的内层函数为,外层函数为,由于函数在上为减函数,且外层函数为增函数,则内层函数在上为减函数,从而,得.,解得.

综上,实数的取值范围是.

故选B.

【例9】 (多选题) 设函数 若实数 满足 , 且 , 则下列结论中恒成立的是（ ）

A.  B.  C. D.

【答案】ABC

【解析】由题意,实数满足,且,结合图象,可得,即,且,可得和都恒成立,即正确.

所以C正确.

时,的符号不能确定,所以D不正确.

故选ABC.

【例10】 已知函数 是定义在 上的奇函数.

(1) 求 的值;

(2) 若对任意的 , 都有 恒成立, 求 的取值范围.

【答案】(1).

【解析】(1)由题意知,是定义在上的奇函数,则,得.

由

得,即对任意的恒成立,从而.

故.

(2)由(1)知

因此,在上是增函数.

对任意的恒成立,可转化为恒成立,

根据在上是奇函数可知恒成立,

所以恒成立,即恒成立.

由,解得.

因此,实数的取值范围是.

【例11】 (多选题)下列不等式中成立的是（ ）

 A.  B.

 C.  D.

【答案】BC

【解析】函数在上单调递增,,故A错误.

函数在上单调递减,,函数在上单调递增,,所以,故B正确.

函数和均单调递减,,故C正确.

,故D错误.

故选BC.

【例12】 (多选题) 设 都是正数, 且 , 则下列结论中正确的为（ ）

 A.  B.

 C.  D.

【答案】

【解析】都是正数,故设,

则,

.

因为,

所以,即,D正确.

去分母整理得,故A正确.

故选AD.

【例13】已知 , 设 , 则（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】1由题意可知,,所以.

由,得,又,则,可得;

由,得,又,则,可得,所以.

综上所述,.

故选A.

【解析】易知,

由,知.

因为,所以,即.

又,所以,即.

综上所述,.

故选A.

【例14】 有三个实数根, 则实数 的取值范围是.

【答案】

【解析】由题意,有三个非零实数根,即有三个非零实数根.

令,则,

得在上单调递减,在,上单调递增,则的一个根在上,另一个根在上,或者一个根等于,另一个根在上(舍去).令，

由得.

【例15】 若存在实常数 和 , 使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数 , 都满足 和 , 则称直线 为 和 的 “分隔直 线”. 已知函数 , 若 和 之间存在 “分隔直 线”, 则实数 的取值范围为.

【答案】

【解析】由图可知,.

由对任意的恒成立,得,即;同时,对任意的恒成立,.

(1)若,则当时,,不合题意.

(2)若,则对任意的恒成立,即,可得;

又,则,从而.

(3)若,则,所以,

即,解得.

综上所述,实数的取值范围是.

故【答案】为.