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2023届高考数学二轮复习导数的综合应用作业含答案
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导数的综合应用
1.已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若,证明:.
2.已知函数(,).
(1)若,是函数的零点,求证:;
(2)证明:对任意,,都有.
3.已知函数,其中.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有且仅有两个零点,求实数a的取值范围.
4.已知函数.
(1)若曲线在处的切线方程为,求实数的值;
(2)若不等式恒成立,求的最小值.
5.已知函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为,求a的值;
(2)若恒成立,求a的取值范围
6.已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
7.已知函数,其中.
(1)讨论的单调性;
(2)若函数有两个极值点,,且恒成立(为自然对数的底数),求实数的取值范围.
8.已知函数.
(1)当时,求的极值;
(2)当时,,求a的取值范围.
9.设函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为,求的值;
(2)若,求实数的取值范围;
(3)求证:当时,函数不存在零点.
10.已知函数
(1)求函数的极值;
(2)设,为两个不等的正数,且,若不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
1.(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)利用导数的几何意义得出切线方程;
(2)利用导数证明,从而得出,设,利用导数证明恒成立,从而得出,由结合的单调性证明.
(1)
∴
又,∴曲线在处的切线方程为,即.
(2)
设,则,
当时,单调递减,
当时.单调递增.
∴
∴,即.
∴当时,
∴
∵当时,
∴
设,则
设,则
令,解得
当时,单调递减,
当时,单调递增.
∴
∴,即
∴在上单调递增
∴
∴当时,恒成立.
∴,即.
∴
又
∴单调递减.
又
∴
【点睛】
方法点睛:利用导数证明不等式常见类型及解题策略:(1)构造差函数:根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式. (2)根据条件,寻找目标函数:一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
2.(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)时,将整理为,构造函数,根据其单调性推知,则命题得证;
(2)利用时,将所证不等式变形为证明,接下来构造函数,令,得另一函数,通过求导判断其单调性,最终即可证明不等式成立.
(1)
当时,,
令,显然在上单调递增,,
由,
∴
(2)
对,令,
则在单调递增,且,
所以当时,,即,
当时,
令,令,
∴,
在上单调递减,上单调递增,
∴,即
∴(∵两次不等式取“=”条件不一致)
即,证毕!
【点睛】
关键点点睛:利用时将所需证不等式变形,以及在构造函数之后,采用换元令得到新的函数再进行求导判断单调性证明不等式,是本题不等式证明的两个关键点.
3.(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
小问1:函数的定义域为,,讨论与即可求解;
小问2:若函数有且仅有两个零点,必有,且,根据的单调性,结合零点存在性定理即可求解.
(1)
(1)函数的定义域为,
,
①当时,,此时函数单调递增,没有减区间;
②当时,令,有,可得函数的增区间为,减区间为,
(2)
(2)由(1)可知,若函数有且仅有两个零点,必有,且,
又由,
令,有.可得函数单调递减,
又由,可得时,,
故时,,
当且时,存在M,使得,
有,
存在时,,
故有(利用不等式),
由上知,若函数有且仅有两个零点,则实数a的取值范围为.
4.(1),
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据题意可知,,从而可得出答案;
(2)不等式恒成立,即即可,求出函数的导函数,分,,三种情况讨论,求出函数的最小值,分析从而可得出答案.
(1)
解:由已知,所以,
又,所以,所以;
(2)
解:函数定义域为R,因为,
(ⅰ)若,即时,,在R上单调递增,
因为当时,,
所以取,则,不合题意;
(ⅱ)若,即时,,在R上单调递增,
若不等式恒成立,则,所以,即的最小值为0;
(ⅲ)若,即时,
令,解得,令,解得,
所以在上单调递减,在上单调递增;
若不等式恒成立,则,
即,所以;
设(),则,
设(),则,注意到为增函数,
所以当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,此时,即的最小值为,
综上所述的最小值为.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义,考查了利用导数求参数的最值问题,还考查了不等式恒成立问题,考查了利用导数求函数的最值,考查了分类讨论思想和数据分析能力,属于难题.
5.(1)2
(2)
【解析】
【分析】
(1)先求导数,然后根据导数的几何意义可求答案.
(2)将恒成立变形为恒成立,整理为,然后构造函数,将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题解决.
(1)
∵, ,
∴ ,
∵曲线在点处的切线方程为,
∴ ,即 ,
解得 ;
(2)
恒成立,即恒成立,
即 ,
令 ,
则 ,故在 上是单调递增函数,
∴ ,
∴ ,即,
令 ,则 ,
当时,,此时单调递增,
当时,,此时单调递减,
∴ ,
故 ,则 ,
即 .
6.(1)单调递减区间为,单调递增区间为;
(2).
【解析】
【分析】
(1)当时,,得出的定义域并对进行求导,利用导数研究函数的单调性,即可得出的单调区间;
(2)将题意等价于在内有解,设,即在上,函数,对进行求导,令,得出,分类讨论与区间的关系,并利用导数研究函数的单调和最小值,结合,从而得出实数的取值范围.
(1)
解:当时,,可知的定义域为,
则,
可知当时,;当时,;
所以的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)
解:由题可知,存在,使得成立,
等价于在内有解,
可设,即在上,函数,
,
令,即,解得:或(舍去),
当,即时,,在上单调递减,
,得,
又,所以;
当时,即时,,在上单调递增,
,得,不合题意;
当,即时,
则在上单调递减,在上单调递增,
,
,,
,
即,不符合题意;
综上得,实数的取值范围为.
【点睛】
思路点睛:本题考查利用导数研究函数的单调性,以及利用导数解决不等式成立的综合问题:
(1)利用导数解决单调区间问题,应先确定函数的定义域,否则,写出的单调区间易出错;利用导数解决含有参数的单调性问题,要注意分类讨论和化归思想的应用;
(2)利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是:构造新函数,利用导数研究的单调区间和最值,再进行相应证明.
7.(1)答案见解析;
(2).
【解析】
【分析】
(1)示出导函数,在定义域内分类讨论确定的正负,得单调区间;
(2)由有两个不等实根得出的一个范围,同时得出的关系,计算化为的函数,不等式变形后,引入函数,由导数确定单调性后可得不等式的解,即得的范围.
(1)
的定义域是,
,
时,时,,时,,的减区间,增区间是;
时,或时,,时,,的增区间是和,减区间是;
时,恒成立,的增区间是,无减区间;
时,或时,,时,,的增区间是和,减区间是;
(2)
,由题意有两个不等正根,
,,又,,所以,
,
,
由题意,
,
设,则,
在上递减,又,所以由,得.
综上,.
【点睛】
本题考查导数研究函数的单调性,考查极值点有关的问题,解题方法由导函数为0得出极值点的性质,同时得出参数的一个范围,计算有关极值点的代数式,化简不等式,利用函数的单调性得出不等式的解,从而得出结论,本题属于较难题.
8.(1)极大值,没有极小值
(2)
【解析】
【分析】
(1)把代入,然后对函数求导,结合导数可求函数单调区间,即可得解;
(2)构造函数,将不等式的恒成立转化为函数的最值问题,结合导数与单调性及函数的性质对进行分类讨论,其中当和时易判断函数的单调性以及最小值,而当时,的最小值与0进一步判断.
(1)
当时,的定义域为,
.
当时,,当时,,
所以在上为增函数,在上为减函数.
故有极大值,没有极小值.
(2)
当时,恒成立
等价于对于任意恒成立.
令,则.
若,则,所以在上单调递减,
所以,符合题意.
若,
所以在上单调递减, ,符合题意.
若,当时,,
当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,不合题意.
综上可知,a的取值范围为.
【点睛】
关键点点睛:本题考查了不等式恒成立问题,其关键是构造函数,通过讨论参数在不同取值范围时函数的单调性,求出函数的最值,解出参数的范围.必要时二次求导.
9.(1);
(2);
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)计算得出,根据已知条件可得出关于、的等式组,由此可求得结果;
(2)由已知可得,由,利用导数法证明得出,可得出,由此可得出实数的取值范围;
(3)分、、三种情况讨论,利用导数证明出成立,即可证得结论成立.
(1)
解:因为,则,
因为点在直线上,则,
所以,,解得.
(2)
解:因为成立,则,
当时,,下面证明,
设,其中,则,
令,则且不恒为零,
所以,函数在上为增函数,
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,所以,,
即成立,所以,故实数的取值范围为.
(3)
解:因为,所以,
且两个等号不同时成立,即,
令,其中,则且不恒为零,
所以函数在上单调递增,且,
当时,,即,
所以当时,,即,此时函数不存在零点;
当时,,而,此时,
即,所以此时函数不存在零点;
当时,,而,所以,
即,所以此时函数不存在零点.
综上可得,时,函数不存在零点.
【点睛】
方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:
(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用;
(2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;
(3)参变量分离法:由分离变量得出,将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
10.(1)函数极大值1,无极小值;
(2).
【解析】
【分析】
(1)对函数求导,求出导数值的零点并判断在其左右两侧导数值正负即可计算作答.
(2)令,把问题转化为用函数表示出,再利用(1)中信息进行推理计算作答.
(1)
函数定义域为R,求导得,当时,,当时,,
因此,函数在上单调递增,在上单调递减,
所以当时,函数有极大值1,无极小值.
(2)
令,即,
则,
依题意,两个不等的实数满足,且不等式恒成立,
不妨令,由(1)知,在上递增,在上递减,且当时,恒成立,而,
因此有,由知,,,则有,而在上递减,
从而有,即,两边取对数得:,
即,,令,,
,
当时,,则在上单调递增,,符合题意,
当时,即,当时,,在上单调递减,
当时,,不符合题意,
综上得:,
所以实数的取值范围是.
【点睛】
关键点睛:涉及不等式恒成立问题,将给定不等式等价转化,构造函数,利用函数思想是解决问题的关键.
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