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    2023届高考数学二轮复习导数的综合应用作业含答案

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    2023届高考数学二轮复习导数的综合应用作业含答案

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    这是一份2023届高考数学二轮复习导数的综合应用作业含答案,共20页。试卷主要包含了已知函数.,已知函数,其中,已知函数,已知函数,其中.,设函数等内容,欢迎下载使用。


    导数的综合应用

    1.已知函数.

    (1)求曲线处的切线方程;

    (2),证明:.

    2.已知函数.

    (1)是函数的零点,求证:

    (2)证明:对任意,都有.

    3.已知函数,其中

    (1)讨论函数的单调性;

    (2)若函数有且仅有两个零点,求实数a的取值范围.

    4.已知函数.

    (1)若曲线处的切线方程为,求实数的值;

    (2)若不等式恒成立,求的最小值.

    5.已知函数.

    (1)若曲线在点处的切线方程为,求a的值;

    (2)恒成立,求a的取值范围

    6.已知函数

    (1)时,求的单调区间;

    (2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.

    7.已知函数,其中.

    (1)讨论的单调性;

    (2)若函数有两个极值点,且恒成立(为自然对数的底数),求实数的取值范围.

    8.已知函数.

    (1)时,求的极值;

    (2)时,,求a的取值范围.

    9.设函数

    (1)若曲线在点处的切线方程为,求的值;

    (2),求实数的取值范围;

    (3)求证:当时,函数不存在零点.

    10.已知函数

    (1)求函数的极值;

    (2)为两个不等的正数,且,若不等式恒成立,求实数的取值范围.

     参考答案:

    1(1)

    (2)证明见解析

    【解析】

    【分析】

    1)利用导数的几何意义得出切线方程;

    2)利用导数证明,从而得出,设,利用导数证明恒成立,从而得出,由结合的单调性证明.

    (1)

    曲线处的切线方程为,即.

    (2)

    ,则

    时,单调递减,

    .单调递增.

    ,即.

    时,

    时,

    ,则

    ,则

    ,解得

    时,单调递减,

    时,单调递增.

    ,即

    上单调递增

    时,恒成立.

    ,即.

    单调递减.

    【点睛】

    方法点睛:利用导数证明不等式常见类型及解题策略:(1)构造差函数:根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式. 2)根据条件,寻找目标函数:一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

    2(1)证明见解析

    (2)证明见解析

    【解析】

    【分析】

    1时,将整理为,构造函数,根据其单调性推知,则命题得证;

    2)利用,将所证不等式变形为证明,接下来构造函数,令,得另一函数,通过求导判断其单调性,最终即可证明不等式成立.

    (1)

    时,

    ,显然上单调递增,

    (2)

    ,令

    单调递增,且

    所以当时,,即

    时,

    ,令

    上单调递减,上单调递增,

    ,即

    两次不等式取“=”条件不一致)

    ,证毕!

    【点睛】

    关键点点睛:利用将所需证不等式变形,以及在构造函数之后,采用换元令得到新的函数再进行求导判断单调性证明不等式,是本题不等式证明的两个关键点.

    3(1)答案见解析

    (2)

    【解析】

    【分析】

    小问1:函数的定义域为,讨论即可求解;

    小问2:若函数有且仅有两个零点,必有,且,根据的单调性,结合零点存在性定理即可求解.

    (1)

    1)函数的定义域为

    时,,此时函数单调递增,没有减区间;

    时,令,有,可得函数的增区间为,减区间为

    (2)

    2)由(1)可知,若函数有且仅有两个零点,必有,且

    又由

    ,有.可得函数单调递减,

    又由,可得时,

    时,

    时,存在M,使得

    存在时,

    故有(利用不等式),

    由上知,若函数有且仅有两个零点,则实数a的取值范围为

    4(1)

    (2)

    【解析】

    【分析】

    1)根据题意可知,从而可得出答案;

    2)不等式恒成立,即即可,求出函数的导函数,分三种情况讨论,求出函数的最小值,分析从而可得出答案.

    (1)

    解:由已知,所以

    ,所以,所以

    (2)

    解:函数定义域为R,因为

    )若,即时,R上单调递增,

    因为当时,

    所以取,则,不合题意;

    )若,即时,R上单调递增,

    若不等式恒成立,则,所以,即的最小值为0

    )若,即时,

    ,解得,令,解得

    所以上单调递减,在上单调递增;

    若不等式恒成立,则

    ,所以

    ),则

    ),则,注意到为增函数,

     

    所以当时,单调递减,

    时,单调递增,

    所以,此时,即的最小值为

    综上所述的最小值为.

    【点睛】

    本题考查了导数的几何意义,考查了利用导数求参数的最值问题,还考查了不等式恒成立问题,考查了利用导数求函数的最值,考查了分类讨论思想和数据分析能力,属于难题.

    5(1)2

    (2)

    【解析】

    【分析】

    1)先求导数,然后根据导数的几何意义可求答案.

    2)将恒成立变形为恒成立,整理为,然后构造函数,将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题解决.

    (1)

    ,

    ,

    曲线在点处的切线方程为,

    ,即

    解得

    (2)

    恒成立,即恒成立,

    ,故 上是单调递增函数,

    ,即

    ,则

    时,,此时单调递增,

    时,,此时单调递减,

    ,则

    .

    6(1)单调递减区间为,单调递增区间为

    (2).

    【解析】

    【分析】

    1)当时,,得出的定义域并对进行求导,利用导数研究函数的单调性,即可得出的单调区间;

    2)将题意等价于内有解,设,即在上,函数,对进行求导,令,得出,分类讨论与区间的关系,并利用导数研究函数的单调和最小值,结合,从而得出实数的取值范围.

    (1)

    解:当时,,可知的定义域为

    可知当时,;当时,

    所以的单调递减区间为,单调递增区间为.

    (2)

    解:由题可知,存在,使得成立,

    等价于内有解,

    可设,即在上,函数

    ,即,解得:(舍去),

    ,即时,上单调递减,

    ,得

    ,所以

    时,即时,上单调递增,

    ,得,不合题意;

    ,即时,

    上单调递减,在上单调递增,

    ,不符合题意;

    综上得,实数的取值范围为.

    【点睛】

    思路点睛:本题考查利用导数研究函数的单调性,以及利用导数解决不等式成立的综合问题:

    1)利用导数解决单调区间问题,应先确定函数的定义域,否则,写出的单调区间易出错;利用导数解决含有参数的单调性问题,要注意分类讨论和化归思想的应用;

    2)利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是:构造新函数,利用导数研究的单调区间和最值,再进行相应证明.

    7(1)答案见解析;

    (2)

    【解析】

    【分析】

    1)示出导函数,在定义域内分类讨论确定的正负,得单调区间;

    2)由有两个不等实根得出的一个范围,同时得出的关系,计算化为的函数,不等式变形后,引入函数,由导数确定单调性后可得不等式的解,即得的范围.

    (1)

    的定义域是

    时,时,时,的减区间,增区间是

    时,时,时,的增区间是,减区间是

    时,恒成立,的增区间是,无减区间;

    时,时,时,的增区间是,减区间是

    (2)

    ,由题意有两个不等正根

    ,又,所以

    由题意

    ,则

    上递减,又,所以由,得

    综上,

    【点睛】

    本题考查导数研究函数的单调性,考查极值点有关的问题,解题方法由导函数为0得出极值点的性质,同时得出参数的一个范围,计算有关极值点的代数式,化简不等式,利用函数的单调性得出不等式的解,从而得出结论,本题属于较难题.

    8(1)极大值,没有极小值

    (2)

    【解析】

    【分析】

    1)把代入,然后对函数求导,结合导数可求函数单调区间,即可得解;

    2)构造函数,将不等式的恒成立转化为函数的最值问题,结合导数与单调性及函数的性质对进行分类讨论,其中当时易判断函数的单调性以及最小值,而当时,的最小值与0进一步判断.

    (1)

    时,的定义域为

    .

    时,,当时,

    所以上为增函数,在上为减函数.

    有极大值,没有极小值.

    (2)

    时,恒成立

    等价于对于任意恒成立.

    ,则.

    ,则,所以上单调递减,

    所以,符合题意.

    所以上单调递减, ,符合题意.

    ,当时,

    时,

    所以上单调递减,在上单调递增,

    所以,不合题意.

    综上可知,a的取值范围为.

    【点睛】

    关键点点睛:本题考查了不等式恒成立问题,其关键是构造函数,通过讨论参数在不同取值范围时函数的单调性,求出函数的最值,解出参数的范围.必要时二次求导.

    9(1)

    (2)

    (3)证明见解析.

    【解析】

    【分析】

    1)计算得出,根据已知条件可得出关于的等式组,由此可求得结果;

    2)由已知可得,由,利用导数法证明得出,可得出,由此可得出实数的取值范围;

    3)分三种情况讨论,利用导数证明出成立,即可证得结论成立.

    (1)

    解:因为,则

    因为点在直线上,则

    所以,,解得.

    (2)

    解:因为成立,则

    时,,下面证明

    ,其中,则

    ,则不恒为零,

    所以,函数上为增函数,

    时,,此时函数单调递减,

    时,,此时函数单调递增,所以,

    成立,所以,故实数的取值范围为.

    (3)

    解:因为,所以

    且两个等号不同时成立,即

    ,其中,则不恒为零,

    所以函数上单调递增,且

    时,,即

    所以当时,,即,此时函数不存在零点;

    时,,而,此时

    ,所以此时函数不存在零点;

    时,,而,所以

    ,所以此时函数不存在零点.

    综上可得,时,函数不存在零点.

    【点睛】

    方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:

    1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用;

    2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;

    3)参变量分离法:由分离变量得出,将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

    10(1)函数极大值1,无极小值;

    (2).

    【解析】

    【分析】

    (1)对函数求导,求出导数值的零点并判断在其左右两侧导数值正负即可计算作答.

    (2),把问题转化为用函数表示出,再利用(1)中信息进行推理计算作答.

    (1)

    函数定义域为R,求导得,当时,,当时,

    因此,函数上单调递增,在上单调递减,

    所以当时,函数有极大值1,无极小值.

    (2)

    ,即

    依题意,两个不等的实数满足,且不等式恒成立,

    不妨令,由(1)知,上递增,在上递减,且当时,恒成立,而

    因此有,由知,,则有,而上递减,

    从而有,即,两边取对数得:

    ,令

    时,,则上单调递增,,符合题意,

    时,即,当时,上单调递减,

    时,,不符合题意,

    综上得:

    所以实数的取值范围是.

    【点睛】

    关键点睛:涉及不等式恒成立问题,将给定不等式等价转化,构造函数,利用函数思想是解决问题的关键.

     

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