2023届高考数学二轮复习导数在研究函数中的应用作业含答案

导数在研究函数中的应用

1．设函数在处的切线经过点.

(1)求的值，并且讨论函数的单调区间；

(2)当时，时，不等式恒成立，求的取值范围.

2．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)当函数与函数图象的公切线经过坐标原点时，求实数的取值集合；

(3)证明：当时，函数有两个零点，，且满足．

3．已知函数，.

(1)证明函数为偶函数，并求出其最大值；

(2)求函数在上单调递增区间.

4．已知函数且．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若恒成立，求的取值范围．

5．已知函数.

(1)求的极值；

(2)若，且，函数有且仅有两个零点，求a的取值范围.

6．在梯形中，，，P，Q分别为线段BC和CD上的动点．

(1)求与的数量积；

(2)若，求；

(3)若，求的最大值．

7．已知函数．

(1)求在点处的切线方程；

(2)证明：在区间存在唯一极大值点；

(3)证明：当，．

8．已知函数.

(1)若在处的切线方程为，求a的值；

(2)对于任意，，且，都有，求实数a的取值范围.

9．已知函数在与处都取得极值.

(1)求的值及函数的单调区间；

(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围.

10．已知函数，．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)记函数，若有两个不同的零点，，证明：．

 参考答案：

1．(1)；的单调递减区间为，单调递增区间为.

(2)的取值范围为.

【解析】

【分析】

（1）、先求出切线方程，根据切线经过点即可求出的值；求出，分，两种情况讨论函数的单调区间即可;

（2）、将原不等式转化为函数值在时恒大于零问题，分类讨论即可得到的取值范围.

(1)

，，，

又，切线方程为，

又切线经过点，，，故，.

①、若，则当时，，；当时，，.

所以在上单调递减，在上单调递增.

②、若，则当时，，；当时，，.

所以在上单调区间递减，在上单调区间递增.

综上所述：的单调递减为，单调递增.

(2)

当时，,

,,

,,

在上恒成立.

设，，且.

①、当时，,，

当且仅当时等号成立，所以在上单调递增，

而，所以对时，.符合题意

②、当时，若x满足，

即时，，而，

因此时，,不符合题意.

综上:的取值范围为.

2．(1)答案见解析

(2)

(3)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）利用导数求解单调性；

（2）利用是的切线求出其切线方程，再利用切线方程与只有一个公共点，即可求出实数的取值集合；

（3）证明有两个零点，即证明函数，其中一个零点通过观察即可求得，另一个零点通过切线放缩即可证明，将代入中，即证明成立，通过构造函数，判断其单调性即可证明.

(1)

函数的定义域为，

对求导，得，

令，解得，

当时，，单调递增．

当时，，单调递减；

故的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)

设公切线与函数的切点为，，则公切线的斜率，

公切线的方程为：，将原点坐标代入，得，

解得．

公切线的方程为：，将它与联立，整理得．

令，对之求导得：，令，解得．

当时，，单调递减,当时，，单调递增，则有最小值，

由于直线与函数相切，即只有一个公共点，

故实数的取值集合为；

(3)

证明：由得，要证有两个零点，

只要证有两个零点即可．

观察得，即时函数的一个零点．

对求导得：，令，解得．

当时，，单调递增；当时，，单调递减；即时，取最小值，且，

由得：必定存在使得二次函数，

即．因此在区间上必定存在的一个零点．

综上所述，有两个零点，一个是，另一个在区间上．

下面证明．

由上面步骤知有两个零点，一个是，另一个在区间上．

不妨设，则，下面证明即可．

令，对之求导得，

故（a）在定义域内单调递减，，即．

证明完毕．

3．(1)证明见解析，最大值为；

(2)、.

【解析】

【分析】

（1）利用函数奇偶性的定义可证得结论成立，再利用二倍角公式结合二次函数的基本性质可求得函数的最大值；

（2）求导得出，然后求出不等式在上的解集，即可得出结论.

(1)

解：函数的定义域，

又，所以函数为偶函数，

当时，，，

所以当时，函数的最大值为.

(2)

解：当时，，

对其求导得，

当时，，只需，解得，

当时，，只需，解得，

综上函数在上的单调递增区间有、.

4．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，再根据导数的几何意义可得切线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可得出答案；

（2）恒成立，只要即可，利用导数，两种情况讨论，求出函数的最小值，即可得出答案.

(1)

解：当时，因为，

所以，，

又因为，

所以曲线在点处的切线方程为，

即；

(2)

解：因为且，

所以，

当时，，所以在上单调递增，

取，则，不符合题意，

当时，令，解得或（舍），

当时，，所以在区间上单调递减，

当时，，所以在区间上单调递增，

所以在上的最小值为，

若恒成立，只需，解得，

综上可知，的取值范围是．

5．(1)极大值为，无极小值；

(2).

【解析】

【分析】

（1）利用导数求的极值即可.

（2）由（1）问题可化为成立求a的取值范围.

(1)

由题设，，

当时，递增；当时，递减，

∴的极大值为，无极小值.

(2)

要使有且仅有两个零点，即与有两个交点，

由（1），时；时，

∴，则有且仅有两个零点，又且，

∴、时，，

∴a的取值范围.

6．(1)

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据数量积的运算求得与的数量积.

（2）利用平方的方法求得.

（3）求得的表达式，利用导数求得最大值.

(1)

.

(2)

，

，

所以.

(3)

,

.

，

设，，

所以递减；递增，

，

所以在上的最大值为.

即的最大值为.

7．(1)；

(2)证明见解析；

(3)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）对函数进行求导，求出在处的导函数值和函数值，即可求出答案.

（2）对函数进行求导，由零点存在性定理即可得以证明.

（3）由（2）知函数单调性，求出，即可得以证明

(1)

，，得切线方程为

(2)

由（1）得，时，

时，单调递减，，，

由零点存在定理可得，在存在唯一一个零点，

且当，，

所以，在区间存在唯一极大值点．

(3)

由（2）可知，在区间上单调递增，在单调递减，

，，所以，当时，

当时，．

当，．

8．(1)2

(2)

【解析】

【分析】

（1）求出，再根据计算可得答案；

（2）将条件变形可得在上是增函数，记，求出，有恒成立，转化为最值求解即可.

(1)

由已知，且，

由，可得，

∴

(2)

由已知可得，当时，有恒成立，

即在上是增函数.

记，则，

∴在上恒成立，即在上恒成立.

∵时，有，当时，，

由在上恒成立，得，即，

即实数a的取值范围为.

9．(1)，减区间为，增区间为

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据两个已知的极值点列出两个方程，直接解出的值，然后根据导数求得函数的单调区间；

（2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最大值，然后解出关于不等式即可

(1)

对函数求导可得：

由题意得：即

解得：

故有：，

令，解得：

令，解得：或

故有：的减区间为，增区间为

(2)

由(1)知， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

所以时，的最大值即为与中的较大者

，

故有：当时， 取得最大值

要使，只需

解得：或

则有：的取值范围为.

【点睛】

在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．

10．(1)单调增区间是，单调减区间是

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）先求导，再令，再通过不等式可得其单调区间；

（2）将问题转化为证明和成立，通过换元后再证明.

(1)

的定义域为，，

，令，或（舍），

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以的单调增区间是，单调减区间是．

(2)

，定义域为

要证明，

即，

下面分别证明和，

两式相加即得结论，

（ⅰ）下面证明，令，即证，

令函数，则，

∴在单调递增，在单调递减，∴．

∴.

（ⅱ）再证明，即，

∵，为的两个不同零点，不妨设，

∴①，②，

∴①－②可得，

两边同时乘以，可得，

即，

令，则，

即证，即，即证，

令函数，，

则，

∴在单调递增，∴，

所以.

由（ⅰ）（ⅱ）可得，

∴．