2023年山东省济南市中考数学模拟试卷（二）（含解析）

这是一份2023年山东省济南市中考数学模拟试卷（二）（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省济南市中考数学模拟试卷（二）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的倒数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如图所示的几何体，其俯视图是(    )A.
B.
C.
D. 3.  “神州”五号飞船总重克，用科学记数法表示为(    )A. 克 B. 克 C. 克 D. 克4.  下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为(    )
 A.  B.  C.  D. 6.  化简：的结果是(    )A.  B.  C.  D. 7.  某企业月份利润的变化情况图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是(    )
A. 月份利润的增长快于月份分利润的增长
B. 月份利润的极差与月份利润的极差不同
C. 月份利润的众数是万元
D. 月份利润的中位数为万元8.  如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，连接，则(    )A.
B.
C.
D. 9.  如图，某建筑物的顶部有一块标识牌，小明在斜坡上处测得标识牌顶部的仰角为，沿斜坡走下来在地面处测得标识牌底部的仰角为，已知斜坡的坡角为，米．则标识牌的高度是米．(    )A.
B.
C.
D. 10.  二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.  分解因式：______．12.  在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在和，则箱子里蓝色球的个数很可能是______个．13.  计算：______．14.  如图，已知为的直径，为的切线，且，连接线段，与交于点，若，则阴影部分的面积为______．
15.  如图，已知，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形的直角顶点在上，另两个顶点、分别在、上，则的值是______．
 16.  如图，在正方形中，是的中点，是上一点，有下列结论：
；射线是的角平分线；；其中正确结论的结论：______ 填序号
 三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.  解不等式组：，并写出它的所有整数解．四、解答题（本大题共9小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.  本小题分
计算：．19.  本小题分如图，在▱中，点是边的中点，的延长线与的延长线交于点求证：．20.  本小题分
某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛．初赛后对选手成绩进行了整理，分成个小组表示成绩，单位：分
组：；组：；组：；组：；组：并绘制出如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
参加初赛的选乎共有______名；扇形统计图中，组对应的圆心角是______；
现要从组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
 21.  本小题分
为提高数学学习的兴趣，某学校数学社团利用周日举行了测量旗杆高度的活动．已知旗杆的底座高米，长米，宽米，旗杆位于底座中心．
测量方法如下：在地面上找一点，用测角仪测出看旗杆顶的仰角为，沿方向走米到达地，再次测得看旗杆顶的仰角为．
求旗杆的高度．
已知夏至日时该地的最大太阳高度约为，试问夏至日旗杆的影子能不能落在台阶上？
太阳高度角是指某地太阳光线与地平线的夹角．结果精确到，参考数据：，，，，
22.  本小题分
如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，．
求证：是的平分线；
若，，求的长．
 
 
 23.  本小题分
“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树经调查，购买棵柏树和棵杉树共需元；购买棵柏树和棵杉树共需元．
求柏树和杉树的单价各是多少元；
本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共棵，且柏树的棵数不少于杉树的倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？24.  本小题分
如图，已知点，，把一个直角三角尺放在内，使其斜边在线段上，三角尺可沿着线段上下滑动，其中，，点为边的中点．
求直线的解析式；
如图，当点与点重合时，求经过点的反比例函数的解析式；
在三角尺滑动的过程中，经过点的反比例函数的图象能否同时经过点？如果能，求出此时反比例函数的解析式，如果不能，说明理由．
 25.  本小题分
已知中，，点是上的一点，过点作，过点作，且与相交于点．
如图，当，试猜想与的数量关系：______；
如图，当，点在的延长线上，连接，请探究以下问题：
与的数量关系是否发生变化？如无变化，请给予证明；如有变化，先猜想与的数量关系，再给予证明；
若，四边形的面积为，试求的值．
 26.  本小题分
如图，抛物线过点，，为抛物线的顶点．
求抛物线的解析式以及顶点坐标；
点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接，，求的正切值；
在的条件下，点是抛物线对称轴上且在上方的一点，是否存在点使和相似？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
 2.【答案】 【解析】解：这个组合体的俯视图为：

故选：．
根据简单组合体的三视图的画法画出它的俯视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法和形状是正确解答的前提．
 3.【答案】 【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选D．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 4.【答案】 【解析】解：、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 5.【答案】 【解析】解：，
．
直尺的两边互相平行，
．
故选：．
先根据余角的定义求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
 6.【答案】 【解析】解：原式．
故选：．
原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
 7.【答案】 【解析】【分析】
解决本题需要从统计图获取信息，再对选项一一分析，选择正确结果．
本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况．
【解答】
解：、月份利润的增长为万元，月份利润的增长为万元，慢于月，故选项错误；
B、月份利润的极差为万元，月份利润的极差为万元，极差相同，故选项错误；
C、月份利润，数据出现次，次数最多，所以众数是万元，故选项正确；
D、月份利润，数据按从小到大排列为，，，，，中位数为万元，故选项错误．
故选：．  8.【答案】 【解析】解：过作于，
由折叠的性质得：，，
点是的中点，
，
，
，
，
在矩形中，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
方法二，可以证明，求出，
故选：．
过作于，由折叠的性质得，，由点是的中点，得到，得到是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，推出∽，求得，结果可求．
本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．
 9.【答案】 【解析】解：过点作的延长线于点，过点作于点，如图所示．
在中，米，，
米，米．
在中，米，，
米．
在中，米，，
米，
米．
故选：．
过点作的延长线于点，过点作于点，通过解直角三角形可求出，，，的长，再结合即可求出结论．
本题考查了解直角三角形仰角俯角问题及解直角三角形坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出，，，的长是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查抛物线与轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．
如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
【解答】
解：如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，

根据对称轴为直线，可知，
所以解析式为，
当时，，
当时，，
由图象可知关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，
直线在直线和直线之间包括直线，
．
故选D．  11.【答案】 【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：根据题意得摸到红色、黄色球的概率为和，
所以摸到蓝球的概率为，
因为个，
所以可估计袋中蓝色球的个数为个．
故答案为．
利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为和，则摸到蓝球的概率为，然后根据概率公式可计算出口袋中蓝色球的个数．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
 13.【答案】 【解析】解：故答案为．
首先找到最简公分母把式子通分，然后进行加减运算．
本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．
 14.【答案】 【解析】解：如图，连接，，

为的切线，为的直径，
，，
又，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
由切线的性质和圆周角定理可得，，由等腰直角三角形的性质可得，，，由面积和差关系可求解．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，扇形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：如图，过点作于，过点作于，设，，间的距离为，
，
，
，
在等腰直角中，，
在和中，
，
≌，
，
，
．
故答案为：．
过点作于，过点作于，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，然后利用锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：在正方形中，是的中点，
，，
，
，
，故错误；
，，
，，
，
∽，
，
，
设，则，，
，，，
，
，
即射线是的角平分线，故正确；
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
∽，
，
，
，即，
，故选项的结论是错误；
过点作的垂线于点，

在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
，故选项的结论是正确．
故答案为：．
根据题目中的条件和正方形的性质，利用锐角三角函数可以得到是否等于；
根据题目中的条件，可以求得和的正切值，从而可以得到射线是否为的角平分线；
根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
根据题目中的条件和全等三角形的判定与性质，可以得到是否成立．
此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及正方形的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 17.【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
整数解为，． 【解析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，写出整数解即可．
 18.【答案】解：原式
． 【解析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
又点在的延长线上，
，
．
点是边的中点，
．
在与中，
，
≌，
，
． 【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、对顶角以及公共角．
首先由平行四边形的性质可得，再由全等三角形的判定定理可证明≌由此可得，进而可证明．
 20.【答案】   【解析】解：参加初赛的选手的人数为人；
扇形统计图中，组对应的圆心角；
故答案为，；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果数为，
所以恰好选中一名男生和一名女生的概率．
用组类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；然后用乘以组所占的百分比得到扇形统计图中“”所在扇形圆心角的度数；
通过树状图展示种等可能的结果数，找出恰好选中一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 21.【答案】解：设旗杆的高度为米，则米，
根据题意可知：，米，
，，
，
解得，
旗杆的高度为米；
旗杆的高度为米，则旗杆顶点到底座高度米，
设夏至日旗杆的影长为米，
，
解得，
旗杆的底座高米，长米，宽米，
，
夏至日旗杆的影子不能落在台阶上． 【解析】设旗杆的高度为米，则米，利用锐角三角函数列式计算即可；
设夏至日旗杆的影长为米，根据锐角三角函数解得的值，进而可以解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、平行投影、三角函数；借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．
 22.【答案】解：证明：连接，如图，

与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的平分线；
是的直径，
，
，
，
∽，
，
，
． 【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
连接，根据切线的性质可得，再根据，和半径相等即可证明是的平分线；
利用圆周角定理得到，再证明∽，对应边成比例即可求出的长．
 23.【答案】解：设柏树的单价为元棵，杉树的单价是元棵，
根据题意得：，
解得，
答：柏树的单价为元棵，杉树的单价是元棵；
设购买柏树棵，则杉树为棵，购树总费用为元，
根据题意：，解得，
，
，
随的增大而增大，
又为整数，
当时，，
此时，，
即购买柏树棵，杉树棵时，总费用最小为元． 【解析】设柏树的单价为元棵，杉树的单价是元棵，根据“购买棵柏树和棵杉树共需元；购买棵柏树和棵杉树共需元”列出二元一次方程组，求解即可；
设购买柏树棵，则杉树为棵，购树总费用为元，根据题意求出与的函数关系式，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出的取值范围，再根据是正整数确定出购买方案．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
 24.【答案】解：
设直线的解析式为，
把、坐标代入可得，解得，
直线的解析式为；
，
，
当与重合时，则，
，
，
，，
为的中点，
，
，
经过点的反比例函数的解析式为；
设，
则点横坐标为，代入直线解析式可得，
，
为中点，
，
若反比例函数同时过、点，则可得，
解得，此时点坐标为，
设过、的反比例函数解析式为，则，
经过点的反比例函数的图象能同时经过点，其函数解析式为． 【解析】由、点的坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；
由条件可求得点坐标，则可求得点的坐标，利用三角形中位线定理可求得点坐标，则可求得反比例函数解析式；
可设出点坐标，则可表示出点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．
本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识．在中注意待定系数法的应用，在中求得点坐标是解题的关键，注意中点坐标的求法，在中用分别表示出、的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
 25.【答案】 【解析】解：结论：．
理由：如图中，

，，
，
，
，，
，
，，
≌，
．
故答案为．

结论有变化．．
理由：如图中，

，，
，，
，，
，
，，
∽，
，
．

如图中，过点作于设，则，
，，，
，，
，
，
，
，
，
整理得：，
或舍弃，
，
，
，
，
．
结论：证明≌可得结论．
结论有变化．证明∽可得结论．
如图中，过点作于设，则，根据四边形的面积为，构建方程求出即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 26.【答案】解：设抛物线的解析式为，将点的坐标代入得：，解得．
抛物线的解析式为即．
，
．

如图所示：过点作，垂足为．

，，
．
，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
，
．
，
为等腰直角三角形．
，
抛物线的对称轴为．
．
．
．
．

如图所示：

，，
，．
，．
．
．
．
当时，∽．
，解得：．
点的纵坐标．

如图所示：

，
当时，∽．
．
．
综上所述，当点的坐标为或时，和相似． 【解析】设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，则可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标；
过点作，垂足为由题意可得到和均为等腰直角三角形，然后求得、、的长，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；
先证明，从而得到，当或当时，和相似．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定，找出和相似的条件是解答本题的关键．