2023年安徽省安庆市太湖县中考数学一模试卷（含解析）

2023年安徽省安庆市太湖县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  由几个小立方体搭成的一个几何体如图所示，它的主正视图如图所示，则它的俯视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  年，采矿业实现利润总额亿元，比上年增长制造业实现利润总额亿元，下降；电力、热力、燃气及水生产和供应业实现利润总额亿元，增长其中数据亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  计算的结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  将含角的直角三角板如图放置，使其三个顶点分别落在三条平行直线上，其中若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列各式中，可以在有理数范围内进行因式分解的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是的直径，弦于点若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在一个桌子上放着若干张背面向上的扑克牌，这些扑克牌背面图案相同，正面为张方块、张红桃和张梅花若从这些打乱的扑克牌中任意摸出张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，点在正方形边上，点在边的延长线上，，过点作的垂线与的延长线交于点若，则正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  命题“如果，那么”的逆命题为______ ．

13.  如图，反比例函数的图象经过点，连接，把线段向上平移个单位得到线段，与反比例函数的图象交于点若点是的中点，则的值为______ ．

14.  如图，在中，，，是边上的高，过点作，且，点与点均在的右侧，连接，交于点．
若点为的中点，则的长为______ ；
若，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中为格点三角形．
在图中作出点关于直线对称的点；
以点为旋转中心，作出将顺时针旋转后得到的，其中点与点对应，点与点对应．

17.  本小题分
年月，河南安阳等地遭遇特大暴雨袭击，暴雨中有房屋倒塌，道路被冲毁，车辆被冲走灾情发生后，全国各地纷纷援助合肥某公司筹集了一批物资，准备运往灾区，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用辆甲型货车和辆乙型货车可装载箱物资；若租用辆甲型货车和辆乙型货车可装载箱物资求出甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？

18.  本小题分
观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；

请根据以上规律，解决下列问题．
试写出第个等式：______ ；
请证明第个等式．

19.  本小题分
如图是某段河道的坡面横截面示意图，从点到点，从点到点是两段不同坡度的坡路，是一段水平路段为改建成河道公园，改善居民生活环境决定按照的坡度降低坡面的坡度，得到新的山坡，经测量获得如下数据：与水平面的距离为，坡面的长为，，坡面与水平面的夹角为降低坡度后，，，三点在同一条直线上，即为确定施工点的位置，试求坡面和的长度参考数据：，，，，，，结果精确到

20.  本小题分
阿基米德公元前年公元前年，伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有余种，多为希腊文手稿下面是阿基米德全集中记载的一个命题：如图，是的弦，点在上，且于点，在弦上取点，使，点是上的一点，且，连接，求证：．

学习小组中的一位同学进行了如下证明：
如图，连接，，
，．

，


请完成下列的任务：
完成上面的证明：
如图，将上述问题中弦改为直径，若，求证点是的中点．

21.  本小题分
为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利石开，某中学组织了“共和国成就”知识竞赛，校团委李老师随机调查了部分同学的竞赛成绩，并将他们的成绩百分制进行整理、描述和分析，部分信息如下单位：分：将成绩分为优秀，良好，合格，不合格四个等级，并绘制了如图两幅不完整的统计图．
组的同学具体得分是，，，，，．
根据以上信息，回答下列问题：
本次抽样调查的样本容量是______ ，请补全条形统计图；
组数据中的平均数为______ ，中位数为______ ；
已知组调查对象中只有两位男生竞赛成绩不合格，团委李老师准备随机回访组中两位竞赛成绩不合格的同学，请用画树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率．

22.  本小题分
如图，已知是等腰直角三角形，其中，，点为上任意一点，过点作于点，连接，取的中点，连接，，．
求证：；为等腰直角三角形；
若，，试求的长．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求，的值；
点是第四象限内抛物线上一点，连接，过点作的平行线，交轴于点，交轴于点，设点的横坐标为．
若直线的解析式为，试用含的代数式表示；
若点是线段的中点，试求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据有理数大小比较法则进行比较即可得到答案．
本题考查了有理数大小比较，比较有理数大小的方法：、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；、绝对值法：两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，是左边个正方形，右边个正方形．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可．
本题考查由三视图判断几何体，正确记忆俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
根据积的乘方法则，先算得，再根据单项式乘法法则计算即可．
本题考查了积的乘方、单项式乘法，掌握单项式乘法法则是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
是含角的直角三角形，
，
，
，
．
故选：．
根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据题意，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据邻补角互补，计算即可得出答案．
此题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键在理清角之间的数量关系．
 

6.【答案】 

【解析】解：、在有理数范围内不能化成几个因式积的形式，不能进行因式分解，故本选项错误，不符合题意；
B、在有理数范围内不能化成几个因式积的形式，不能进行因式分解，故本选项错误，不符合题意；
C、在有理数范围内不能化成几个因式积的形式，不能进行因式分解，故本选项错误，不符合题意；
D、，在有理数范围内能进行因式分解，故本选项正确，符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义，能化为几个因式的积的形式的多项式即可因式分解．
本题考查了分解因式的定义，掌握分解因式时，有公因式的，先提公因式，若能再分解，再考虑运用何种公式法来分解是关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，

，弦于点，
，
是的直径，
，
，
故选：．
连接，由勾股定理得，，从而即可得到，最后由计算即可得到答案．
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的相关概念进行计算是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
，
解得：，
故选：．
由这张扑克牌是梅花的概率为得到，计算即可得到的值．
本题考查概率公式，正确记忆概率的求解公式是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：

，
抛物线的顶点坐标为，
顶点在第二象限，
，
解得，
故选：．
把二次函数化为顶点式，写出顶点坐标，根据顶点在第二象限得到的取值范围．
本题主要考查了二次函数图象的特征，将二次函数的一般式化为顶点式，熟练掌握第二象限的点的特征是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作，垂足为点，

，，，
四边形为矩形．
，
四边形为正方形，
，
设，则，
，，
，
∽，
，即，
，
解得：或舍去，
，
故选：．
过点作，垂足为点，根据正方形的性质和判定得出四边形为正方形，设，则，再根据三角形相似的判定和性质得出∽，从而得到，列出关于的算式，求出的值即可得到答案．
本题主要考查了正方形的性质与判定，三角形相似的判定与性质，熟练掌握正方形的性质与判定和三角形相似的判定与性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用二次根式的乘法的运算法则，即可求得答案，注意二次根式的化简．
此题考查了二次根式的乘法．此题比较简单，注意二次根式的化简，注意解题需细心．
 

12.【答案】如果，那么 

【解析】解：命题“如果，那么”的逆命题为：如果，那么．
故答案为：如果，那么．
根据逆命题的概念解答即可．
本题考查了互逆命题的知识，掌握两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
反比例函数的解析式为，的中点坐标为．
由向上平移得到，与反比例函数的图象交于点，点是的中点，
点的横坐标为，则点的坐标为．
线段向上平移了个单位、即的值为．
故答案为：．
由反比例函数的图象经过点得到反比例函数的解析式，再根据由向上平移得到，与反比例函数的图象交于点，点是的中点得到点的坐标，从而即可得到的值．
本题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，与几何综合，平移，熟练掌握反比例函数的图形与性质，图象平移的性质是解题的关键．
 

14.【答案】  

【解析】解：是边上的高，
，
，，
，，
点是的中点，
，
，
，
；
故答案为：；
，，
，
，
，
，即，
又，
∽，
，即，
设，
则，
，即，
解得负值舍去．
．
故答案为：．
先求出，，进而得出，根据平行线的性质得出，再利用勾股定理即可得出答案；
先证明∽，得出，设，则，得出，求出答案即可．
本题考查含度角的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】根据特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，负整数指数幂计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式，负整数指数幂的性质是解题关键．
 

16.【答案】解：如图所示，点即为所求，

解：如图所示，即为所求．
 

【解析】延长，在延长线上找出，使得，即可得到答案；
先找出、点旋转之后的对应点、，再顺次连接各点即可得到答案．
本题主要考查了图形变化轴对称，画旋转图形，解题的关键是找到关键点，画出变化后的点，再顺次连接即可得到答案．
 

17.【答案】解：设甲型货车每辆可装载箱物资，乙型货车每辆可装载箱物资，
根据题意得：，
解得：．
答：甲型货车每辆可装载箱物资，乙型货车每辆可装载箱物资． 

【解析】甲型货车每辆可装载箱物资，乙型货车每辆可装载箱物资，根据“租用辆甲型货车和辆乙型货车可装载箱物资；若租用辆甲型货车和辆乙型货车可装载箱物资”，列出方程组，即可求解．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
故答案为：，
证明：方法一：设，
，
又，
，
，
，即；
方法二：，
．
原等式成立；
方法三：右边，
左边，
左边右边，
原等式成立．
根据题意即可得出结果；
方法一：设，可得且，得出，即可证明结论；
方法二：从右边证明左边即；
方法三：计算出左右两边算式的结果即可证明结论．
本题考查了数字规律类，观察式子的变化，总结规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
，
则四边形和四边形都是菱形，
，，，，
，
根据题意知，，，
在中，，，，
，，
在中，，，，
，，
，
在中，，，
，
，
答：坡面的长约为，的长约为． 

【解析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据矩形的性质得到，，，，求得，解直角三角形即可得到结论．
本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数以及正确作出辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
又，
≌，
；
证明：如图，连接，，．

，
，
，
，
，
，，
，
是的直径，
，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
又，，
四边形为菱形，
，
，
点是的中点． 

【解析】证明≌，即可得出答案；
先证明，再证明为等边三角形，进而得出四边形为菱形，推出，即可得出结论．
本题考查菱形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：根据题意可得：
本次抽样调查的样本容量为：，
组的人数为：人，组的人数为：人，
补全的条形统计图为

由题意可得：分，
把组的分数按照从小到大排列为：，，，，，，
组的中位数为：分，
故答案为：，；
列表分析如下：

根据表中信息可知，共有种等可能的结果，其中恰好回访到一男一女的可能结果共有种，
恰好回访到一男一女．
根据题意可得到组有人占，用人数除以百分比即可求出本次抽样调查的样本容量，根据样本容量先求出组人数，进一步求出组人数，即可补全条形统计图；
根据平均数的计算方法将组的得分相加除以，即可求出平均数；将数据按照从小到大排列，求出最中间两个数的平均数，即可求出中位数；
先列表，根据表格即可得到总的等可能性结果，然后计算出一男一女的等可能性结果，即可求出答案．
本题主要考查了统计的相关知识，包括总体、个体、中位数、平均数、条形统计图、利用列表法或画树状图求事件的概率等，准确地理解相关的数量指标，并熟练地应用是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，，点为点的中点，
，，
．
点为点的中点，
，
由知，，
，，
，．
又，，
，，
，，
，
．
又，
为等腰直角三角形．
解：由知，
又，
是的垂直平分线，
，，
在中，根据勾股定理可得：，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
． 

【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，，即可求证；根据中点的定义可得，则，，根据等角对等边和三角形的外角定了可得，，进而得出，即可求证；
根据，，可推出是的垂直平分线，则，，再根据勾股定理求出，进而得出，最后根据等腰直角三角形的性质得出，即可求解．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形等角对等边，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用．
 

23.【答案】解：把，分别代入，得：
，
解得，
，；

解：由知抛物线的解析式为．
在中，令，则，
；
设直线的解析式为，把，分别代入，得：
，
解得，
直线的解析式是．
，
．
直线的解析式为．
点在抛物线上，点的横坐标为，
点，则．
；
由知直线的解析式为．
在中，令，得：．
，
在中，令，得．
，
是线段的中点，
、两点的纵坐标互为相反数，
，
，
解得或舍去，
，
． 

【解析】利用待定系数法求解即可；
先求出，进而求出直线的解析式是由，得到，则直线的解析式为再由，即可得到；由得直线的解析式为求出，，再根据是线段的中点，得到，解方程即可得到答案．
本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，灵活运用所学知识是解题的关键．