2022-2023学年安徽省六安市金安区轻工中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省六安市金安区轻工中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列式子中，属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列根式中，与为同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  估计的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

4.  下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

5.  三角形的三边长分别为，，，则它的最长边上的高为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若关于的一元二次方程的两个根为，，则这个方程可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若关于的方程没有实数根，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是(    )

A.  B.  C.  D. 或

9.  如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则斜边的长是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  要使有意义，则的取值范围是          ．

12.  把方程用配方法化为的形式，则的值是______ ．

13.  一元二次方程和的所有实数根的和等于______．

14.  在中，，是内部的射线，且，分别将，向对折，使得，都与重合，折，分别交于点，．
的形状是______ ；
若，则的长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

15.  解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
在图中，画一个直角角形，使它的三边长都是有理数；
在图中，画一个直角三角形，使它的一边是有理数，另外两边长是无理数．
 

18.  本小题分
关于的一元二次方程有两个实数根．
求的取值范围；
若为正整数，求此方程的根．

19.  本小题分
合肥市今年月份新房销售量约为套，月份销售量约为套．
如果、两个月平均下降率相同，求每月平均下降的百分率是多少？参考数据：
如果销售继续回落，按此下降百分率，你预测月份是否会跌破套？请说明理由．

20.  本小题分
阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是，，，两点之间的距离可以用公式计算．解答下列问题：
若点，，求，两点间的距离；
若点，，点是坐标原点，判断是什么三角形，并说明理由．

21.  本小题分
如图，在中，，，点在线段上，于点，连接，已知，．
求的度数；
求证：；
若，求线段的长．

22.  本小题分
某旅行社为吸引广大市民组团去市旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过人，人均旅游费用为元，如果人数超过人，每增加人，人均旅游费用降低元，但人均旅游费用不得低于元．
如果某单位组织人参加去市旅游，那么需支付旅行社旅游费用共______ 元；
现某单位组织员工去市旅游，共支付给该旅行社旅游费用元，那么该单位有多少名员工参加旅游？

23.  本小题分
问题发现：如图，在中，，为边所在直线上的一动点不与点、重合，连结，以为边作，且，根据，得到，结合，得出≌，发现线段与的数量关系为，位置关系为；

探究证明：如图，在和中，，，且点在边上滑动点不与点，重合，连接．
则线段，，之间满足的等量关系式为______；
求证：；
拓展延伸：如图，在四边形中，若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，不是最简二次根式，故A错误；
B、是最简二次根式，故B正确；
C、，不是最简二次根式，故C错误；
D、，不是最简二次根式，故D错误；
故选：．
本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
被开方数不含分母；
被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
与为同类二次根式的是，
故选：．
先化简二次根式，再根据定义判断解可得．
本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．
 

3.【答案】 

【解析】解：原式，
，
，
．
故选：．
先计算出原式得，再根据无理数的估算可得答案．
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

5.【答案】 

【解析】解：三角形的三边长分别为，，，符合勾股定理的逆定理，
此三角形为直角三角形，则为直角三角形的斜边，
设三角形最长边上的高是，
根据三角形的面积公式得：，
解得．
故选：．
根据已知先判定其形状，再根据三角形的面积公式求得其高．
本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题的关键是先判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，，
以，为根的一元二次方程可为．
故选：．
先计算出，，然后根据根与系数的关系得到满足条件的方程可为．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的方程没有实数根，
，
解得：，
，，，，
只能为，
故选：．
根据根的判别式和已知条件得出，求出不等式的解集，再得出答案即可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
【解答】
解：，
，
，，
，，
等腰三角形的三边是，，
，
不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
等腰三角形的三边是，，，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是；
即等腰三角形的周长是．
故选A．  

9.【答案】 

【解析】解：过作，

，
，
在中，，，
，
，
则．
故选：．
过作垂直于，利用三线合一得到为中点，求出的长，在直角三角形中，利用度所对的直角边等于斜边的一半求出的长，由求出的长即可．
此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，以及含度直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，则，
，
，
，
，
，
，
故选：．
设，则，求得，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件．掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件可以求出的范围．
【解答】
解：根据题意得：，
解得：；
故答案是：．  

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
所以，，
所以．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在方程中，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
设一元二次方程的两个实数根分别为，，则．
在方程中，，，
，
方程没有实数根．
一元二次方程和的所有实数根的和等于．
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式可得出方程有两个不相等的实数根、方程没有实数根，再利用根与系数的关系即可求出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据方程的系数结合根的判别式，找出两方程解的情况是解题的关键．
 

14.【答案】直角三角形  或 

【解析】解：如图，

由折叠得，，
，
，
，
的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形；
如图，过点作于，

，．
，
，，，
，
设，则，
由折叠得，，
在中，，
，
解得或，
当时，，
；
当时，，
．
的长为或．
故答案为：或．
根据折叠的性质得，，由得，即可得，则的形状是直角三角形；
过点作于，根据等腰直角三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可得或，分两种情况：当时，当时，分别求解即可．
考查等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、勾股定理，理解轴对称的性质是解决问题的关键．
 

15.【答案】解：，
或，
，． 

【解析】利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程，因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，还可以使用公式法，配方法，等等．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】首先化简二次根式，进而利用二次根式混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

17.【答案】解：如图中，即为所求作．
如图中，即为所求作．
 

【解析】画边长分别为，，的直角三角形即可．
画边长为，，的直角三角形即可．
本题考查作图应用与设计，无理数，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】解：根据题意得且，
解得且；
由可知且，
又为正整数，
，
原方程变形为，解得，． 

【解析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到：且，然后求出两个不等式解集的公共部分即可；
利用的范围可确定，则原方程化为，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是理解方程有两个实数根即．
 

19.【答案】解：设该公司这两个月住房销售量的平均下降率为，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每月平均下降的百分率是；

如果按此降低的百分率继续回落，估计月份的商品房成交均价为：

由此可知月份该市的商品房成交均价不会跌破元． 

【解析】根据今年月份及月份的住房销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
本题考查了列方程解决实际问题中的平均降低率问题，以及一元二方程解法，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．
 

20.【答案】解：，两点间的距离；
是直角三角形，
理由如下：，
，
，
则，
是直角三角形． 

【解析】根据两点间的距离公式计算；
根据勾股定理的逆定理解答．
本题考查的是考查的是两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

21.【答案】解：，于点，，
，
，
，，
，
，
，
，
；
证明：，
，
，，
，，
；
，
，
，
，
，
，
；
解：，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
． 

【解析】根据于点，，得出，再根据解答即可；
先根据三角形内角和定理求出，，进而求出，再根据三角形内角和定理得到，进而根据等边对等角和三角形外角的性质推出，即可证明；
先求出，得到，在中根据勾股定理和含度角的直角三角形的性质求出的长即可．
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：，元，
需支付旅行社旅游费用共元；
故答案为：；
设该单位有名员工参加旅游，人，，
可分下列两种情况：
当时，由题意得，，
，
解得或舍去；
当时，则，解得不符合题意；
综上所述，；
该单位有名员工参加旅游．
根据所给的收费标准列式求解即可；
设该单位有名员工参加旅游，计算得到可分下列两种情况：当时，当时，根据所给的收费标准列出方程求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】探究证明：
解：，理由如下：
，
，
即，
在和中，，
≌，
，
，
故答案为：；
证明：中，，
，
由得，≌，
，，
，
，
，
在中，，
，

；
拓展延伸：
解：作，使，连接，，如图所示：
则是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
即，
在与中，，
≌，
，
，，
，
，
，
．
探究证明由证得≌，得到，可得；
根据全等三角形的性质可得，得到，根据勾股定理计算即可；
拓展延伸作，使，连接，，证明≌，得到，根据勾股定理计算即可．
本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定由性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．