2022-2023学年安徽省宿州市砀山五中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省宿州市砀山五中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图案中，属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系中，点P(−22,22)，向右平移23个单位长度后位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 如图，△ABC为等边三角形，AP//CQ.若∠BAP=α，则∠1=( )
A. 60°+α
B. 60°−α
C. 30°+2α
D. 120°−2α
4. 如图，△ADE是由△ABC旋转后得到的，下列说法正确的是( )
A. 旋转中心不是点A
B. BC≠DE
C. 旋转方向是顺时针
D. ∠BAD=∠CAE
5. 下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若a>b，则a(c2−1)>b(c2−1)
C. 若ac2>bc2，则a>bD. 若a2>b2，则a>b
6. 下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. a：b：c=1： 3：2
B. a=9k，b=40k，c=41k(k>0)
C. ∠A：∠B：∠C=1：4：5
D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
7. 某文具超市销售一款笔记本，该笔记本的成本为每本6元，定价为每本9元.由于销路不畅，笔记本积压，超市老板准备对这款笔记本打折销售，为使得利润率不低于5%，在实际销售时，该笔记本最多可以打( )
A. 8折B. 8.5折C. 7折D. 7.5折
8. 如图，BO是等腰三角形ABC的底边中线，AC=2，AB=4，△PQC与△BOC关于点C中心对称，连接AP，则AP的长是( )
A. 4
B. 4 2
C. 2 5
D. 2 6
9. 如图，点P在△ABC内部，BP平分∠ABC，AP⊥BP，连接PC.若△PBC的面积为1，则△ABC的面积为( )
A. 1.5
B. 2
C. 3
D. 4
10. 已知关于x的不等式组x−a0至少有4个整数解，则整数a的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 在平面直角坐标系中，点A(−6,8)关于原点对称的点的坐标是______ ．
12. 如图，CD是Rt△ABC的斜边上的高，∠B=60°，BD=3，则AD的长为______ ．
13. 如图，点D，E都在△ABC的边上，DE//BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点G，F.若BE+CD=25，则DE−FG= ______ ．
14. 已知关于x的两个一次函数y1=ax−a+1，y2=kx+2k−4(其中k，a均为非零常数)．
(1)若两个一次函数的图象都经过y轴上的同一个点，则a+2k= ______ ；
(2)若对于任意实数x，y1>y2都成立，则k的取值范围是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共14.0分）
15. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E、F．
(1)试说明△CEF是等腰三角形；
(2)若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，猜想：线段AC与线段AB的数量关系，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，若CE=2，AC=2 3，求△ABE的面积．
四、解答题（本大题共8小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组：2x+1≥x+22x−11，求点B的坐标．
20. (本小题10.0分)
在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则：m※n=2m−32(m+n)，如3※7=2×3−32×(3+7)=−9．
(1)若x※4=0，则x= ______ ；
(2)解不等式：x※6>3；
(3)求不等式x※2>(−2)※(x+4)的负整数解．
21. (本小题10.0分)
如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF//BC交CD于点F，延长AB，DC交于点E．
(1)求证：∠DAF=∠E；
(2)若∠EAD=90°，AE=5，AF=3，求CF的长．
22. (本小题12.0分)
如图，D为等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F，连接AF．
(1)求证：BD=CE；
(2)求∠AFE的度数．
23. (本小题12.0分)
为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买A型和B型两种公交车，其中每台的价格、年载客量如表：
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
(1)求a，b的值；
(2)计划购买A型和B型两种公交车共10辆，如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次.问有哪几种购买方案？
(3)在(2)的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】A
【解析】解：点P(−22,22)向右平移23个单位长度得到的点的坐标是(−22+23,22)，即(1,22)，
所以平移后在第一象限．
故选：A．
将点P的横坐标加23，纵坐标不变即可求出平移后的坐标，再判断所在象限即可．
此题主要考查了坐标与图形变化−平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
3.【答案】B
【解析】解：如图，过点B作BM//AP，

∵AP//CQ，
∴AP//CQ//BM，
∴∠BAP=∠ABM=α，∠1=∠CBM，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠ABC=∠ABM+∠CBM，
∴∠CBM=60°−α，
∴∠1=60°−α，
故选：B．
根据等边三角形的性质得出∠ABC=60°，再根据平行线的性质及角的和差求解即可．
此题考查了等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵△ADE是由△ABC旋转后得到的，
∴旋转中心为点A，BC=DE，旋转方向可以是顺时针，也可以是逆时针，旋转角为∠BAD=∠CAE，
故选：D．
由旋转的性质可以直接求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、若a>b，c≠0，则ac2>bc2，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、若a>b，c≠±1，则a(c2−1)>b(c2−1)，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、若ac2>bc2，则a>b，是真命题，符合题意；
D、当a2>b2时，a与b的大小不能确定，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
根据不等式的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6.【答案】D
【解析】解：A、因为a：b：c=1： 3：2，设a=x，b= 3x，c=2x，所以x2+( 3x)2=(2x)2，故△ABC是直角三角形；
B、因为(9k)2+(40k)2=(41k)2(k>0)，故△ABC是直角三角形；
C、∠A：∠B：∠C=1：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=180°×51+4+5=90°，故△ABC是直角三角形；
D、∠A：∠B：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=180°×53+4+5=75°，故△ABC不是直角三角形．
故选：D．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．掌握勾股定理的逆定理的内容是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：设在实际售卖时，该笔记本可以打x折，
依题意得9×x10−6≥6×5%，
解得：x≥7．
故选：C．
设在实际售卖时，该笔记本可以打x折，根据利润=售价−成本，结合利润率不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵BO是等腰三角形ABC的底边中线，
∴AO=CO=12AC=1，
∴BO= AB2−AO2= 42−12= 15，
∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，
∴CQ=CO=1，∠Q=∠BOC=90°，PQ=BO= 15，
∴AQ=AO+CO+CQ=3，
∴AP= AQ2+PQ2= 32+( 15)2=2 6．
故选：D．
根据等腰三角形的性质可得OB⊥AQ，AO=CO=12AC=1，根据△PQC与△BOC关于点C中心对称，可得CQ=CO=1，∠Q=90°，PQ=BO= AB2−AO2= 3，再根据勾股定理可得AP的长．
本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：延长AP交BC于D，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP，
∵BP⊥AP，
∴∠ABP+∠BAP=∠DBP+∠BDP=90°，
∴∠BAP=∠BDP，
∴BA=BD，
∴AP=PD，
∴△ABP的面积=△DBP的面积，△APC的面积=△DPC的面积，
∴△ABP的面积+△APC=△DBP的面积+△DPC的面积=△PBC的面积，
∴△ABC的面积=△PBC的面积×2=1×2=2．
故选：B．
延长AP交BC于，由角平分线的定义得到∠ABP=∠DBP，由余角的性质推出△BAD是等腰三角形，由等腰三角形的性质得到AP=PD，即可得到△ABC的面积=△PBC的面积×2=2．
本题考查角平分的定义，等腰三角形的性质，关键是通过作辅助线证明△BAD是等腰三角形．
10.【答案】C
【解析】解：不等式组整理得：x−1.5，
解得：−1.50的解集；
(2)①由题意可以求得k、b的值，然后将x=1代入y1=kx+b即可求得点B的坐标；
②根据点B也在函数y2=−4x+a的图象上，从而可以求得a的值．
本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】12
【解析】解：(1)∵a※b=2a−32(a+b)，
∴x※4=2x−32(x+4)=12x−6，
∵x⊕4=0，
∴12x−6=0，
解得x=12，
故答案为：12；
(2)由x※6>3，
可得2x−32(x+6)>3，
解得x>24．
(3)∵a※b=2a−32(a+b)，
∴x※2=2x−32(x+2)=12x−3，
−2※(x+4)
=2×(−2)−32(−2+x+4)
=−4+3−32x−6
=−32x−7；
∵x※2>(−2)※(x+4)，
∴12x−3>−32x−7，
解得x>−2，
∴不等式的负整数解为−1．
(1)根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可；
(2)根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可；
(3)根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x的一元一次(方程)不等式是解答此题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA=BC，DA=DC，
∴∠CAB=∠ACB，∠DAC=∠ACD，
∵∠ACD=∠E+∠CAE，∠DAC=∠DAF+∠CAF，
∴∠E+∠CAE=∠DAF+∠CAF，
∵AF//BC，
∴∠ACB=∠CAF，
∴∠CAF=∠CAE，
∴∠DAF=∠E；
(2)解：∵∠EAD=90°，
∴∠E+∠ADE=90°，
由(1)可知∠DAF=∠E，
∴∠DAF+∠ADE=90°，
∴∠AFD=∠AFE=90°，
∵AE=5，AF=3，
根据勾股定理，得EF= 52−32=4，
设DF=x，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AD2=DE2−AE2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理，得AD2=AF2+DF2，
∴(4+x)2−52=32+x2，
解得x=94，
∴DF=94，DE=4+94=254，
∴AD= DE2−AE2= (254)2−52=154，
∴CD=AD=154，
∴CF=CD−DF=154−94=32．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质可得BA=BC，DA=DC，进一步可得CAB=∠ACB，∠DAC=∠ACD，根据∠ACD=∠E+∠CAE，∠DAC=∠DAF+∠CAF，以及平行线的性质进一步即可得证；
(2)由∠EAD=90°和(1)可知，∠AFE=∠AFD=90°，先求出EF的长度，设DF=x，根据勾股定理列方程，求出x的值，可得DC=AD，进一步根据CF=DC−DF求解即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE．
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)解：如图，过点A作AM⊥BD，AN⊥CF，垂足分别为M，N．

∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE.BD=CE，S△ABD=S△ACE，
又∵∠AGB=∠CGF，∠BFC=∠BAC=60°，
∴∠BFE=120°，
∴12BD⋅AM=12CE⋅AN，
∴AM=AN，
在Rt△AFM和Rt△AFN中，
AF=AFAM=AN，
∴Rt△AFM≌Rt△AFN(HL)，
∴∠AFB=∠AFE，
∴∠AFE=12∠BFE=12×120°=60°．
【解析】(1)由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE；
(2)由面积法可求AM=AN，由“HL”可证Rt△AFM≌Rt△AFN，可得∠AFB=∠AFE，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23.【答案】解：(1)依题意得：a+2b=4002a+b=350，
解得：a=100b=150，
答：a的值为100，b的值为150；
(2)设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车(10−m)辆，
依题意得：100m+150(10−m)≤120060m+100(10−m)≥720，
解得：6≤m≤7，
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，
∴有两种购买方案，
方案一：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆；
方案二：购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆；
(3)设购车总费用为w万元，
则w=100m+150(10−m)=−50m+1500，
∵−50