2022-2023学年湖南省长沙市明德集团九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市明德集团九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，下列几何体的左视图不是矩形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列命题是真命题的是(    )

A. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 不重合的两条直线的位置关系是相交或平行
C. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  点向右平移个单位后，再向上平移个单位得到的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交水稻在全世界推广种植某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取株水稻苗，测得苗高单位：分别是：，，，，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺，现设绳长尺，木长尺，则可列二元一次方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，若，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，、是的切线，、为切点，若半径为，，则劣弧的长是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知抛物线，则抛物线的顶点不可能在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  “梨花风起正清明，游子寻春半出城”，不少市民朋友在今年清明节离开都市，选择郊游踏青、亲近自然，享受春意盎然的乐趣据相关部门发布的数据，今年清明节当天全省高速流量高达约次，将这个数用科学记数法表示为______ ．

12.  如果反比例函数的图象位于第一、三象限，那么的取值范围是______ ．

13.  直线过点和点，则关于的方程的解是______ ．

14.  若关于的一元二次方程有一个解为，则 ______ ．

15.  如图，和分别是的直径和弦，且，交于点，若，则 ______ ．

16.  数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为：：，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：，，，研究，，这三个数的倒数发现：，此时我们称，，为一组调和数，现有三个数：，，，若要组成调和数，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：
画线段；
分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于
、两点，作直线交于点；
在直线上取一点不与点重合，连接、；
过点作平行于的直线，交直线于点，连接．
根据以上作法，证明四边形是菱形，请补全其证明过程．
证明：
根据作法可知：直线是的垂直平分线，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
，
与互相平分．
．
四边形是菱形．
题目中证明与全等的方法的依据是______ 填序号
；；；

20.  本小题分
年月日，“两会”在北京召开，两会代表提议加大体育在学校和家庭教育中的权重，让每个孩子接触并熟悉两至三个运动项目某校为了响应两会精神，倡议学生在课余时间积极参加学校开设的体育课程：乒乓球，花样篮球，网球，羽毛球，小杨随机抽取该校部分学生进行了意愿问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．
求小杨共调查了多少人，并补全条形统计图；
扇形统计图中，“羽毛球”项对应的圆心角度数是多少？
为了增强学生对“国球”乒乓球的兴趣，现需要从组的四位同学中抽调两位同学参与到区属的乒乓球比赛，已知组共由两位女生、两位男生组成，请利用树状图或列表等方法求出恰好抽调到两位女生的概率．
 

21.  本小题分
如图，点在线段上，，，．
证明：≌；
若，，平分，求线段的长．

22.  本小题分
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买、两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套型号“文房四宝”的价格比每套型号的价格贵元，买套型号和套型号共用元．
求每套、型号“文房四宝”的价格分别是多少？
若学校需购进、两种型号“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进型号“文房四宝的数量必须低于型号“文房四宝”数量的倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？

23.  本小题分
如图，在矩形中，点为边上一点，以点为圆心，为半径的与对角线相交于点，与边相交于点，连接，且．
求证：为的切线；
若当点为的中点时，的半径为，求阴影部分的面积．

24.  本小题分
如图，四边形中，，，且，．
求的度数；
如图，连接，求；
如图，四边形内接于，，上存在点，满足，连结并延长交的延长线于点，与交于点，连结，若，用含字母的式子表示的周长．
 

25.  本小题分
中国象棋棋盘上双方的分界处也称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻两军对垒的分界线，数学中为了对两个图形进行分界，在平面直角坐标系中，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线：满足且，则称直线：是图形与的“楚河汉界线”．
例如：如图，直线：是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”．
在直线，，，中，是图函数的图象与正方形的“楚河汉界线”的有______ 填序号；
如图，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，与的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；
正方形的一边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图象与正方形的“楚河汉界线”，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值进行计算即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；
B、圆锥的左视图是等腰三角形，符合题意；
C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意；
D、长方体的左视图是矩形，不符合题意．
故选：．
根据左视图是从物体左面看所得到的图形，分别得出四个几何体的左视图，即可解答．
本题主要考查简单几何体的三视图；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：平行四边形不一定是轴对称图形，它是中心对称图形，所以选项不符合题意；
B.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是相交或平行，所以选项不符合题意；
C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以选项符合题意；
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以选项不符合题意．
故选：．
根据平行四边形的性质可判断平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，从而可对选项进行判断；根据平面内两直线的位置关系对选项进行判断；根据线段垂直平分线的性质对选项进行判断；根据菱形的判定方法对选项进行判断．
本题考查了命题与定理：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了菱形的判定、轴对称图形和中心对称图形．
 

4.【答案】 

【解析】解：，无法合并同类项，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得到的点的坐标为．
故选：．
根据平移中点的变化规律横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减进行求解．
本题考查了坐标与图形变化平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上或减去一个整数，相应的新图形就是把原图形向右或向左平移个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加或减去一个整数，相应的新图形就是把原图形向上或向下平移个单位长度．
 

6.【答案】 

【解析】解：将这组数据从小到大重新排列为，，，，，，，，，，
这组数据的众数为，中位数为．
故选：．
将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

7.【答案】 

【解析】解：设绳长尺，长木为尺，
依题意得，
故选：．
本题的等量关系是：绳长木长；木长绳长，据此可列方程组求解．
此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．
 

8.【答案】 

【解析】解：延长交于，
则，
，
，
，
，
，
故选：．
本题主要考查了平行线的性质，注意掌握数形结合是解答此题的关键．
本题主要考查了平行线的性质，注意掌握数形结合是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：、是的切线，、为切点，
，，
，
，
，
，
劣弧的长为．
故选：．
先根据切线的性质得到，再利用四边形内角和计算出，然后根据弧长公式解决问题．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了弧长公式．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点的横坐标为：，
纵坐标为：，
抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：，
抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，
故选：．
求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．
本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
，
故答案为：．
根据反比例函数的图象与系数的关系求解即可．
本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标，
直线过，
方程的解是，
故答案为：．
所求方程的解，即为函数图象与轴交点横坐标，确定出解即可．
此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．
 

14.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
方程为一元二次方程，
，
，
，
故答案为：．
把代入方程得出，求出，再根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义的应用，关键是能根据题意得出方程和．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

在中，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
故答案为：．
在中，已知了的长和的度数，根据直角三角形的性质可求得的长，也就得到了直径的值，连接，同理可在中求出的长，由即可得解．
本题主要考查了直角三角形的性质的应用，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：根据题中的新定义分两种种情况考虑：
根据题意得：，
去分母得：，
解得：，经检验是分式方程的解且符合题意；
根据题意得：，
解得：，
经检验是分式方程的解且符合题意，
则的值为或．
故答案为：或．
根据题中的新定义分三种情况考虑，根据的范围判断出满足题意的值即可．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：


，
当时，
原式
． 

【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】 

【解析】证明：根据作法可知：直线是的垂直平分线，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
与互相平分，
，
四边形是菱形，
故答案为：，；
解：题目中证明与全等的方法的依据是：，
故选：．
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行证明；
根据三角形全等的判定定理求解．
本题考查了复杂作图，掌握菱形的判定定理和全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

20.【答案】解：小杨共调查的人数有：人，
等级人数为：人，
补全统计图如下：


根据题意得：
，
答：扇形统计图中，“羽毛球”项对应的圆心角度数是；

根据题意画图如下：

一共有种可能性，其中恰好抽调到两女的有种，
则恰好抽调到两女的概率是． 

【解析】根据选项的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用总人数减去其它选项的人数求出选项的人数，从而补全统计图；
用羽毛球所占的百分比即可；
根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；
解：由知，≌，
，
又平分，
，
，
，
，
即线段的长为． 

【解析】由平行线的性质得，再由证明≌即可；
由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的性质得，然后由勾股定理求出，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

22.【答案】解：设每套型号“文房四宝”的价格是元，则每套型号“文房四宝”的价格是元，
由题意可得，
解得，
．
答：每套型号“文房四宝”的价格是元，则每套型号“文房四宝”的价格是元；

设需购进种型号“文房四宝”套，则需购进种型号“文房四宝”套，
由题意可得：，
解得，
又为正整数，
可以取，，，，；
共有种购买方案，
方案：购进套型号“文房四宝”，套型号“文房四宝”；
方案：购进套型号“文房四宝”，套型号“文房四宝”；
方案：购进套型号“文房四宝”，套型号“文房四宝”；
方案：购进套型号“文房四宝”，套型号“文房四宝”；
方案：购进套型号“文房四宝”，套型号“文房四宝”；
每套型号“文房四宝”的价格比每套型号的价格贵元，
型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，
最低费用是元． 

【解析】根据“每套型号“文房四宝”的价格比每套型号的价格贵元，买套型号和套型号共用元”得出方程，解方程即可；
设需购进种型号“文房四宝”套，则需购进种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，

四边形是矩形，
，
，，
，，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：在中，点为的中点，
，
，，
，
在中，，
，，
，，
矩形的面积为． 

【解析】根据矩形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，，证出，则可得出结论；
根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半、直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质可得，，利用直角三角形的边角关系求出、利用矩形的面积计算方法进行计算即可．
本题考查了切线的判定，矩形的性质、直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值，掌握直角三角形的边角关系以及矩形、等腰三角形的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：过作于，如图：

，，
，
，
在中，
，
，
，
的度数为；
过作交延长线于，如图：

由知，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
在中，
；
；
连接，，如图：

，
为直径，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
的周长 

【解析】过作于，由，，得，即知，，故CK，从而的度数为；过作交延长线于，由，可得，是等腰直角三角形，即得，又，得，，在中，用勾股定理可得；
连接，，由，可得，，而，知，又，可得，故AG，，即可得，从而，，证明≌，可得，即得，从而的周长
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

25.【答案】 

【解析】解：如图，

从图可知：与双曲线和正方形只有一个公共点，，与双曲线和正方形没有公共点，
，不在双曲线及正方形之间，
根据“楚河汉界线”定义可知，直线，是双曲线与正方形的“楚河汉界线”，
故答案为：；

如图，连接，以为圆心，长为半径作，作轴于点，过点作的切线，则．

，
，
直线是与的“楚河汉界线”．
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则，解得，
与的“楚河汉界线”是；

由得，
直线与抛物线有唯一公共点，
，
，解得，
此时的“楚河汉界线”为，
当正方形在直线上方时，如图：

点是此正方形的中心，
顶点，
顶点不能在直线下方，得，解得；
当正方形在直线下方时，如图：

对于抛物线，当时，；当时，
直线恰好经过点和点；
对于直线，当时，，
由不能在直线上方，得，解得，
综上所述，或．
根据定义，结合图象，可判断出直线为或与双曲线及正方形最多有一个公共点；
先作出以原点为圆心且经过的顶点的圆，再过点作的切线，求出该直线的解析式即可；
先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出的取值范围．
此题是二次函数综合题，考查一次函数、正方形的性质、一次函数的应用、二元二次方程组．一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．