2022-2023学年广东省佛山市三水中学附中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省佛山市三水中学附中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  多项式分解因式的结果是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列不等式中不一定成立的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

5.  在数轴上表示不等式组的解，其中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，向右平移得到，如果四边形的周长是，那么的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是(    )

A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
 

8.  如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，等边三角形中，、分别在、边上，且，与交于点，于点下列结论：；；是等腰三角形；，其中正确的结论是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．

12.  点先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点，则点坐标为______ ．

13.  已知等腰三角形的两条边长分别是和，则此等腰三角形的周长是______ ．

14.  关于，的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为        ．

15.  如图，在中，，，点是边上一个动点不与端点重合，交于点，将沿折叠，点的对应点为，当为等腰三角形时，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
分解因式：；
．

17.  本小题分
解不等式：，并在数轴上表示其解集．
 

18.  本小题分
如图，，分别是的高，且．
求证：≌；
若与相交于点，则点在的角平分线上吗？为什么？

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．
将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
平移，若的对应点的坐标为，画出平移后的；
若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标．

20.  本小题分
先阅读，再解题．
解不等式：
解：根据两数相除，同号得正，异号得负，得
或
解不等式组，得
解不等式组，得
所以原不等式的解集为或．
参照以上解题过程所反映的解题思想方法，试解不等式：．

21.  本小题分
如图，在中，边的垂直平分线交于点，且．
求证：；
若，，求的长．

22.  本小题分
某商店准备购进、两种商品，商品每件的进价比商品每件的进价多元，已知进货件商品和件商品一共用去用元，商店将种商品每件售价定为元，种商品每件售价定为元．
商品每件的进价和商品每件的进价各是多少元？
商店计划用不超过元的资金购进、两种商品共件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？
在的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少元？

23.  本小题分
如图：已知、，且、满足．
如图，求的面积；
如图，点在线段上不与、重合移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系并证明你的结论；
如图，若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，直线交轴，点，当点在轴上移动时，线段和线段中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行解答即可．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
利用提公因式法分解即可．
本题考查了因式分解提公因式法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．
【解答】
解：从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：、在不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，即，原变形正确，故本选项不符合题意；
B、当时，则不成立，故本选项符合题意．
C、在不等式的两边同时除以，不等号的方向不变，原变形正确，故本选项不符合题意．
D、在不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，原变形正确，故本选项不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质解答即可．
本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

5.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由平移的性质可知，，，
四边形的周长是，
，
，
，
的周长，
故选：．
根据平移的性质得到，，根据四边形的周长公式、三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示：过点作，，
两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，
，
平分角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，
故选：．
根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分．
此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
 

8.【答案】 

【解析】解：直线与直线相交于点，
观察图象得：当时，，
不等式的解集为．
故选：．
由图象得到直线与直线的交点的坐标，观察直线落在直线下方的部分对应的的取值即为所求．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，于点，连接，

、分别平分、，，
，





故选：．
过点作于点，于点，连接，根据角平分线的性质可得，再根据即可计算结果．
本题主要考查角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键．
根据等边三角形的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判定正确；根据全等三角形对应角相等可得，求出，然后利用三角形的内角和定理求出，判定正确；求出，，判定不是等腰三角形；求出，再求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后判断．
【解答】
解：在等边中，，，
在和中，

≌，
，故正确；
，
，
在中，，故正确；
，，
，，
不是等腰三角形，故错误；
，，
，
，
，故错误，
综上所述，正确的有．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【解答】
解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：设点的坐标为，由题意，
得：，，
所以，，
所以点的坐标为．
故答案为：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即可解决问题．
本题考查坐标与图形变化平移，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
 

13.【答案】 

【解析】解：当为腰时，三边为：，，，
则周长为，
当为腰时，三边为：，，，
根据三角形三边关系：，
故不能构成三角形．
故答案为：．
将和分别作为腰分类讨论即可．
本题考查了等腰三角形的定义，相关知识点有：三角形三边关系，准确分类讨论是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，得，
根据题意得：，
解得．
所以的取值范围是．
故答案为：．
两个方程相减可得出，根据列出关于的不等式，解之可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式，解二元一次方程组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力、不等式的性质等知识点．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图，当时，

过点作于点，
，，
，
，
，
，
设，
将沿折叠，点的对应点为，
，，
，
，，
，
解得．
．
如图，当时，

，
，
，
同理可知，
．
的长为或．
故答案为：或．
分两种情况，当时或当时，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得出答案．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．
 

16.【答案】解：；


． 

【解析】利用提公因式法，进行分解即可解答；
利用提公因式法，进行分解即可解答．
本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握因式分解提公因式法是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
则．
 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

18.【答案】证明：，分别是的高，
，
在和中，
，
≌．
连接，

在和中，
，
≌，
，
，，
点在的平分线上 

【解析】根据高的定义求出，根据全等三角形的判定定理推出即可；
连接，由、为三角形的两条高，得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，以及，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，再由垂直于，垂直于，利用角平分线逆定理即可得证．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示；
如图所示；
如图所示，旋转中心为．
 

【解析】根据网格找出点、绕点旋转后的对应点、的位置，然后顺次连接即可；
根据网格找出点、、平移后的位置，然后顺次连接即可；
根据旋转的性质，确定出旋转中心即可．
本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握平移的性质以及旋转的性质，准确找出对应点的位置是解题的关键．
 

20.【答案】解：根据两数相除，同号得正，异号得负，得
或，
不等式组得不等式组无解，
解不等式组，得，
所以原不等式的解集为． 

【解析】利用有理数除法性质得到或，再分别解两个不等式组得到无解，的解集为，然后确定原不等式的解集．
本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．也考查了阅读理解能力．
 

21.【答案】证明：连接，

是的垂直平分线，
，
，
，
，
是直角三角形，
；
，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
的长为． 

【解析】连接，利用线段垂直平分线的性质可得，然后再利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；
在中，利用勾股定理求出，然后设，则，在中，利用勾股定理列出关于的方程进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：设商品每件的进价为元，则商品每件的进价为元，
由题意，得，
解得，
商品每件的进价为元，
答：商品每件的进价为元，商品每件的进价为元；
设种商品的数量件，种商品的数量件，
由题意，得，
解得，
为正整数，
为，，，
种商品的数量为，，，
所以有三种进货方案：第一种：进商品件，商品件；
第二种：进商品件，商品件；
第三种：进商品件，商品件；
令所获利润为元，则，
，
，
随的增大而增大，
时，即购买件，购买件利润最大，
元，
答：购买件，购买件利润最大，最大利润元． 

【解析】根据题意，找等量关系式，设未知数，列方程求解即可；
根据题意，列不等式组，根据解集找整数解即可；
根据一次函数的增减性求最值．
本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用问题，解答本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解．
 

23.【答案】解：，，，
，，
、，
，，
的面积；

证明：将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，，
，
，
在与中，，
：≌，，，故CD．

是定值，作于，在上截取，
，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
即：，
，
，
，
． 

【解析】根据非负数的性质得到，，求得，，得到，，于是得到结果；
证明：将绕点逆时针旋转得到根据已知条件得到，由，，同时代的，求出，推出≌，根据全等三角形的性质得到；
是定值，作于，在上截取，由，得到，，根据余角的性质得到，推出≌，根据全等三角形的性质得到，于是得到即：，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．