2022-2023学年湖北省武汉市武昌区八校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市武昌区八校联考八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若二次根式有意义，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  用下列长度的线段首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  如图，一竖直的木杆在离地面米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端米处，木杆折断之前的高度为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

6.  如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，以为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，点为的中点，连接，若，则的周长是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线分别交，于，两点．若，，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平行四边形中，于点，是的中点，是的中点，已知，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  将等边折叠，使得顶点与上的重合，为折痕，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  化简： ______ ； ______ ； ______ ．

12.  已知是正整数，是整数，则的最小值为______．

13.  如图，网格中的每个小正方形的边长都是，，，三点是小正方形的顶点，则的度数为______ ．
 

14.  点是矩形的对角线的延长线上一点，，，则 ______ 度

15.  已知矩形中，，，，则矩形的面积为______ ．

16.  ▱中，于，于，，，若点刚好是的中点，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
已知，，求下列各式的值：
；
．

19.  本小题分
已知：如图，点，分别为平行四边形的边，上的点，且求证：．

20.  本小题分
如图，小彭同学每天乘坐地铁上学，他观察发现，地铁出口和学校在南北方向的街道的同一边，相距米，地铁出口在学校的正东方向米处，地铁出口离出口米，离出口米
求的度数；
地铁出口离学校的距离为______ 米

21.  本小题分
正方形网格中的每个小正方形的边长都是一个单位，每个小正方形的顶点叫做格点已知、、均为格点，仅用无刻的直尺作出符合下列问题的图形．

在图中，线段 ______ ， ______ 度；
在图中，在上作出点，使得；
在图中，交其中一条网格线于点，在平面中作一个点，使得；
在图中，点是格点，点在网格线上，将线段向左平移三个单位得线段．

22.  本小题分
已知，，，，动点从点出发，在线段上，以每秒个单位的速度向点运动：动点从点出发，在线段上，以每秒个单位的速度向点运动，点、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为秒．

当 ______ 秒时，平分线段；
当 ______ 秒时，轴；
当时，求的值．

23.  本小题分
问题提出：一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题．
如图，两条长度相等的线段和相交于点，，直线与直线的夹角为，求线段、、满足的数量关系．
分析：考虑将、和集中到同一个三角形中，以便运用三角形的知识寻求三条线段的数量关系：
如图，作且，则四边形是平行四边形，从而；
由于，，所以是等边三角形，故ED；
通过平行又求得．
在中，研究三条线段的大小关系就可以了．
如图，若，，，请直接写出线段的长______ ；
问题解决：
如图，矩形中，、分别是、上的点，满足，，求证：；
拓展应用：
如图，中，，、分别在、上，、交于点，，，若，，则 ______ ．
 

24.  本小题分
矩形的边、在坐标轴上，点，其中、、满足．
求出、、的值；
如图，是上一点，将沿折叠得，交轴于点，若，求的长；
如图，点是直线上一动点，以为边作等腰直角，其中，、、按顺时针排列，当在直线上运动时，的最小值为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故选：．
根据二次根式的被开方数为非负数，可得出关于的不等式，解出即可得出答案．
此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数，难度一般．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，，
、、都不是最简二次根式，只有为最简二次根式．
故选：．
利用二次根式的性质可对、化简，利用分母有理化可对化简，从而根据最简二次根式的定义可对各选项进行判断．
本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身分母只有一项或与原分母组成平方差公式．也考查了最简二次根式的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：与不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B正确，符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，符合题意；
B、，能构成直角三角形，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，不符合题意；
D、，能构成直角三角形，不符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可解答．
本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

5.【答案】 

【解析】解：一竖直的木杆在离地面米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端米处，
折断的部分长为米，
折断前高度为米．
故选：．
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
的面积的面积的面积，
的面积的面积的面积．

故选：．
根据已知及全等三角形的判定可得到≌，从而得到的面积的面积的面积．
本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，为的平分线，
，
，，
由勾股定理得，，
点为的中点，
，，
的周长为．
故选：．
由尺规作图可知，为的平分线，结合等腰三角形的性质可得，，利用勾股定理得，进而可得，，即可得出答案．
本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及等腰三角形的性质是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
又中，，
，
，
故选：．
先根据矩形的性质，推理得到，再根据求得的长，即可得到的长．
本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．
 

9.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接，交于点，连接，，，

四边形是平行四边形，
，，，
．
点是的中点，点是的中点，
，，
．
，
≌，
，，
点，，三点共线，
．
点是的中点，
是的中位线，
．
，
．
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
，
是的垂直平分线，
．
在中，．
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
．
故选：．
取的中点，连接，交于点，连接，，，先证明≌，可得，，进而得出点，，三点共线，可知是的中位线，再根据中位线的性质得，结合已知条件得出，然后根据三角形中位线的性质得，进而得出，可知是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得出，接下来根据勾股定理求出，然后根据中位线的性质求出，可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理等，构造辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
设，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
故选：．
设，，然后利用相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，即可求出，然后用表示即可得到结果．
本题考查相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，翻折变换，利用相似三角形的周长比等于相似比，再适当的用表示边是解题的关键．
 

11.【答案】    

【解析】解：；；；
故答案为：；；．
根据二次根式的性质进行化简即可．
此题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，会用二次根式的性质进行化简是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
由是正整数，是整数，知是一个完全平方数，再将分解质因数，从而得出结果．
【解答】
解：是正整数，是整数，
则是一个完全平方数，
又，
则是一个完全平方数，
所以正整数的最小值是．
故答案为：．
【点评】
本题主要考查了二次根式的定义，将分解质因数是解题关键．  

13.【答案】 

【解析】解：连接，

由勾股定理可得，，，
，
为等腰直角三角形，
．
故答案为：．
连接，利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，即可得到的度数．
本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
又，
，
，
又，
，，
，
，
，
故答案为：．
利用矩形的性质和可知，利用等边对等角、三角形内角和定理可求、的度数，最后利用角的和差关系求解即可．
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用矩形的性质证明是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，相交于点，过作轴，过作轴，过作轴，交于点，交于点，

矩形，
为，的中点，
又，，，
，
解得，
，，
矩形的面积为．
故答案为：．
连接，相交于点，过作轴，过作轴，过作轴，交于点，交于点，利用中点坐标公式关键方程组，可求，的值，然后利用割补法求矩形的面积即可．
本题考查了坐标与图形，矩形的性质，中点坐标公式等知识，利用中点坐标公式求出，的值是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，
又，，
，
，
在中，，，，
，即，
解得负值舍去，
．
故答案为：．
利用等面积法求出，然后在中，利用勾股定理可得，最后解方程即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理等知识，利用等面积法求出是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】先化为最简二次根式，再进行加减运算即可；
将括号内的每一项与后面的相除即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是关键．
 

18.【答案】解：



；




． 

【解析】先把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
先把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】证明：是平行四边形，
，
、，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】先根据平行四边形的性质可得，进而可得、，由可得，即，可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形对边相等即可证明结论．
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，灵活运用平行四边形的性质和判定定理是解答本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：由题意得：，

由勾股定理得：米，
，
，

，
米
．
如图，过点作交延长线于，

由知：，
，
，，
，
，
，，
≌
米，米，
米，
在中，由勾股定理得：
米．
先由勾股定理求出米，再由勾股定理的逆定理判定出是等腰直角三角形，即可求解；
过点作交延长线于，先证明≌得出米，米，从而求得米，然后在中，由勾股定理求解即可．
本题考查勾股定理，掌握勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：由图可知：，，，
，，
是直角三角形，，
故答案为：，；
如图所示即可所求，
，
作线段的垂直平分线与线段相交于点，点即为所求．

如图所示即为所求，
，
将点平移到点即可得到点，

线段向左平移三个单位得线段，
如图即为所求；

根据网格上的单位长度求出、、，再利用勾股定理的逆定理即可解答；
根据题意可知作的垂直平分线即可得到点；
根据网格的单位长度计算出，再利用平移即可得到解答；
根据题意平移即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，平移的性质，学会运用勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：如图，设与相交于，

，，
，
当平分线段时，则，
，，
，，即，
，
，
≌，
，
，
解得：，
当秒时，
如图，过点作于，

当轴，即，
则四边形是矩形，四边形是矩形，
，，
在中，，
，，
，
，
解得：，
当秒时，轴；
如图，作的平分线交于，

则，
，
，
，
，
，，
，
当时，则，
，
，即，
四边形是平行四边形，
，
，、
，
，
当时，．
设与相交于，≌，得到，则，解之即可求解；
过点作于，四边形是矩形，四边形是矩形，则，，所以，又因为，，所以，即可求解；
作的平分线交于，利用平行线性质与等腰三角形的判定、勾股定理，求得，再证明四边形是平行四边形，得，则，即可求解．
本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质定理、矩形的判定与性质定理、勾股定理．
 

23.【答案】  

【解析】解：问题提出：过作于点，过点作且，

四边形是平行四边形，，
，，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，，，
，，
，中，，，，
；
故答案为：；
问题解决：作交于，连接，

四边形是矩形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
又，，
≌，
，，
，
，
，
，
；
拓展应用：
作且，连接，过作于，

四边形是平行四边形，，
，，
，
又，
，
是等边三角形，
，
在中，，，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
，
，
在中，，，，
．
故答案为：．
问题提出：过作于点，过点作且，则四边形是平行四边形，从而；由于，，所以是等边三角形，故ED；通过平行又求得，分别在和中，利用勾股定理求解即可；
问题解决：作交于，证明≌，再证是等腰直角三角形即可；
拓展运用：作且，然后类似“问题提出”求解即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：，
，解得，
，
，解得，
，，；
过点作交于点，则，

，
，
由知，，
，
四边形是矩形，
，，，
沿折叠得到，
，，，
，即，
，，
，
在和中，，
≌，
，，
设，则，，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
；
如图，当点在线段上时，过点作轴于，过点做轴，

是等腰直角三角形，且，
，，
又，
，
在和中，，
≌，
，，
由知，，，
，，
又四边形是矩形，
，
设直线的解析式为，
把点，代入得，
解得，
直线的解析式为，
设，
，，且点在第二象限，点在第一象限，
点的横坐标和点的纵坐标相等为，
点的纵坐标和点的横坐标互为相反数为，
，则，
点在直线上当点在延长线或延长线时，同理也得出相同结论；
如图，作出直线与轴交于点，与轴交于点，过点作关于直线的对称点，连接，，，，与直线交于点，

令代入得，
解得，
，
，
又，
，
，
点和点关于直线对称，且点在对称轴上，
，
，
当时，值最小，
又点，都在对称轴上，
易证得≌，
，，
，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
根据所给式子，结合二次根式有意义条件和非负数相加和为，则两加数均为进行求解即可；
过点作交于点，根据折叠性质和矩形性质求出，，再根据“”证≌，得到，，设，得出，，，最后根据勾股定理列方程求解即可；
过点作轴于，过点做轴，先根据等腰直角三角形性质得出，再根据“”证≌，得到，，根据，两点坐标求出直线的解析式，设，结合图象得出，从而得到点在直线上，作出直线与轴交于点，与轴交于点，过点作关于直线的对称点，连接，，，，与直线交于点，根据对称性质可知，则时，值最小，根据条件求出点即可得出的长，此题得解．
本题考查了一次函数和几何的综合，涉及到了有二次根式有意义的条件，非负数和为的条件，折叠问题，矩形的性质全等三角形的性质与判定，勾股定理，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，线段最短问题，综合性较强，正确作出合适的辅助线是解题的关键．