12.3 角平分线的性质(原卷版+解析版)（培优三阶练）-2022-2023学年八年级数学上册课后培优分级练（人教版）

第07课   角平分线的性质

知识点01  作已知角的平分线

1、用尺规作已知角的平分线的步骤

已知:∠AOB,如图.求作:∠AOB的平分线.

【注意】

(1）第二步中必须“以大于MN的长为半径画弧”,否则，两弧不相交,不存在点C,无法作出角的平分线.

(2)“画射线OC”不能叙述为连接OC,因为角平分线OC是射线,而不是线段.

(3)两弧的交点要在角的内部来找,因为要作的是角的平分线.

2、尺规作图理论依据            

【注意】

角平分线的尺规作图的依据是全等三角形的判定-            

知识点02  的平分线的性质

1、角平分线的性质:角的平分线上的点到角的            相等.

几何语言：

【注意】

(1)这里的“距离”指的是点到角的两边的       ;

(2)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再来证:明三角形全等;

(3)使用该性质的前提条件是图中有       和       .

【特别注意】

角平分线性质的“两误区”

(1)垂足的位置不对:如图,垂线段的垂足应在角的两边上，而不是在角平分线上;

(2)有相等无垂直:如图,PC=PD,但 PC,PD的长不是点P到OA,OB的距离.

知识点03  角的平分线的判定

1、角平分线的判定:角的       到角的两边的       的点在角的平分线上.

2、几何语言：

【注意】

（1）角的平分线可以看作是由角的内部到角的两边距离相等的所有点组成的射线.

（2）注意不能缺少       ,      这两个条件.

（3）角平分线的性质和判定的条件和结论是互逆的,在应用的时候一定要分清条件及得到的结论.

培优第一阶——基础过关练

1．如图，AB∥CD，∠1=70°，FG平分∠EFD，则∠2的度数是（ ）

A．30° B．35° C．40° D．70°

2．如图，平分，于点，，，则（       ）

A．28 B．21 C．14 D．7

3．如图，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，若，△ABD的面积为60，则CD长(     )

A．12 B．10 C．6 D．4

4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（            ）          

A．个 B．个 C．个 D．个

5．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，若，，则的面积等于（　　）

A．36 B．48 C．60 D．72

6．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA于点M，联结OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（       ）

A．62° B．56° C．52° D．46°

7．如图，，是的中点，平分，且，则（     ）

A． B． C． D．

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是（       ）

A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm

9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（     ）

A．15 B．30 C．45 D．60

10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB边于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC边于点D，若BD＝5，则CD的长可能是（       ）

A．7 B．6 C．5 D．4

11．如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于__________．

12．如图，在中，，是的平分线，，垂足为，若和的周长分别为和，则的长为________．

13．如图所示，已知：AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=140°，∠BED的度数为______．

14．如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为___________.（用含的式子表示）

15．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，，，若△ACD的面积为16，则△ABC的面积为________．

16．如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ____ 处．

17．如图，中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点C，作射线，过点C作于点D．交于点E，若，则的度数为_______________．

18．如图，BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，FD 的延长线交BE于点E

（1）若∠BAC=56°，∠DCA=22°， ∠EBD=23°，求∠BEF的度数；

（2）若∠BAC=α，∠DCA=β，∠BEF=γ，请直接写出α、β、γ三者之间的关系．

19．如图，在中，，BD是的平分线，于点E，点F在BC上，连接DF，且．

(1)求证：；

(2)若，，求AB的长．

20．如图，小聪想画∠AOB的角平分线，手头没有量角器和圆规，只有一个带刻度的直角三角尺，于是他按如下方法操作：在OA，OB边上量取OC＝OD＝1cm，分别过点C，点D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF与DE交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线．请判断小聪的做法是否可行？并说明理由．

21．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB = AD，BC = CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．求证：CE = CF．

培优第二阶——拓展培优练

22．如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（       ）

A．24 B．27 C．32 D．36

23．如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的为（       ）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

24．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（       ）个

A．2 B．3 C．4 D．5

25．如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（       ）

A． B． C． D．

26．如图，BD平分∠ABC，F，G分别是BA，BC上的点（），，则∠BFE与∠BGE的数量关系一定满足的是（       ）

A． B．

C． D．

27．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（　　）

A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC

28．如图是用直尺和圆规作已知角∠AOB平分线OP的示意图，仔细观察，根据三角形全等的知识，说明画出OP的依据是（       ）

A．边角边，全等三角形对应角相等

B．角边角，全等三角形对应角相等

C．边边边，全等三角形对应角相等

D．斜边直角边，全等三角形对应角相等

29．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有________（填写序号）．

30．如图，ΔABC的面积为8 cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P， 则ΔPBC的面积为________．

31．如图，在和中，，，直线交于点M，连接．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的是___________（填序号）．

32．如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，﹣a＋8），则a＝_____．

培优第三阶——中考沙场点兵

33．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD的延长线于F．

(1)求证：△ABE≌△ADF；

(2)若BC=8cm，DF=3cm，求CD的长．

34．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．

(1)求证：△ABD≌△ACE；

(2)求证：FA平分∠BFE．

35．如图，AD是△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点．

（1）求证：DE＝DF；

（2）若DM＝DN，和的面积分别为36和50，求的面积．

36．小明的学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：

(1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，相交于点．求证：；

(2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，求和的度数；

(3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点，使得，角平分线交于点．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点．若，求的度数．

37．已知，点C在的平分线上，点B、D分别在、上，连接、．

(1)如图1，若，请直接写出线段与的数量关系；

(2)如图2，，郑么（1）中探究的结论是否成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由．