13.1 轴对称(原卷版+解析版)-2022-2023学年八年级数学上册课后培优分级练（人教版）

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13.1 轴对称
课内知识点回顾

知识点01 轴对称图形
1、定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
2、判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形．
【注意】
（1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段．
（2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条．
（3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形．
知识点02 轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
轴对称和轴对称图形的区别与联系
名称
关系
轴对称
轴对称图形
区别
意义不同
两个图形之间的特殊位置关系
一个形状特殊的图形
图形个数
两个图形
一个图形
对称轴的位置不同
可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点）
一定经过这个图形
对称轴的数量
只有一条
有一条或多条
联系
（1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形
（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称
知识点03 线段垂直平分线的定义及其性质
1、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
线段的垂直平分线的性质．
2、性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．

3、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．
知识点04 轴对称和轴对称图形的性质
1、两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
2、轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
3、轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等．
4、成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．
知识点05 画轴对称图形
轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法，步骤如下：
（1）找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；
（2）连接这对对应点；
（3）画出对应点所连线段的垂直平分线．
这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．
【注意】
画对称轴的依据：对于轴对称图形或两个图形成轴对称，它们的对应点有一个共同的特征——对应点所连的线段被对称轴垂直平分，这是我们画图形的对称轴的依据．
课后培优练

培优第一阶——基础过关练
1．2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分其中是轴对称图形的是（　　）
A．齐鲁医院 B．华西医院
C．湘雅医院 D．协和医院
【答案】A
【详解】解：选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：A．
2．七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A不是轴对称图形，不符合题意，
B不是轴对称图形，不符合题意，
C不是轴对称图形，不符合题意，
D是轴对称图形，符合题意，
故选D．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，根据尺规作图痕迹，判断△BCD的周长为（    ）

A．14 B．16 C．20 D．26
【答案】C
【详解】解：由图可知，该线为的垂直平分线，
，
，，
的周长为：，
故选：C．
4．如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，若∠BAC=75°，∠B=40°，则∠BCD的大小为（    ）

A．150° B．140° C．130° D．120°
【答案】C
【详解】解：∵∠BAC=75°，∠B=40°，
∴∠ACB=65°，
∵四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，
∴∠BCD=2∠BCA=2×65°=130°．
故选：C．
5．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，连接，交于点，交于点，连接．若的周长等于，的周长为，那么线段的长等于（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意可得是的垂直平分线，
的周长为，
，
的周长等于，
，
是的垂直平分线，
，，
，
，
．
故选：C．
6．如图，在纸面上有一数轴，若折叠纸面，使表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示4的点与表示 _____的点重合．

【答案】﹣2
【详解】∵表示﹣1的点与表示3的点重合，
∴这两点的对称中心对应的数为，
∵4﹣1＝3，而1﹣3＝﹣2，
∴数轴上数4表示的点与数﹣2表示的点重合；
故答案为：﹣2．
7．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．其中不正确结论的序号是____．

【答案】④
【详解】解：∵△ABO≌△ADO，
∴，，
∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴，
∴①AC⊥BD正确；
∵，
∴是的垂直平分线，
∴②CB=CD正确；
∵，
∴③△ABC≌△ADC正确；
由已知条件不能判断④DA=DC．
故答案为：④．
8．使用直尺与圆规完成下面作图，（不写作法，保留作图痕迹，用水笔描黑）

(1)在AB上找一点P使得P到AC和BC的距离相等；
(2)在射线CP上找一点Q，使得QB＝QC；
(3)若BC＝10，则点Q到边AC的距离为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)5
【详解】(1)作出∠C的角平分线，标出点P

(2)作出BC的垂直平分线标出点Q
(3)如图：BC的垂直平分线交BC于E，过Q作QF⊥AC于F点，

∵QE为BC的垂直平分线，
∴QE⊥BC，∠QEC=90°
∵CP为∠ACB的平分线，
∴QF=QE
∴∠PCE=∠ACP=°，
∵∠QEC=90°
∴∠CQE=90°-∠QCE=90°-45°=45°，
所以∠QCE=∠CQE
所以CE=QE
∵QE为BC的垂直平分线，
∴BE=CE=
∴CE=QE=5
所以QF=QE=5
∴点Q到边AC的距离为5，
故答案为：5
9．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，分别交AC、AB于点D、E，若△BCE的周长为8，BC＝3，求AB的长．

【答案】5
【详解】解：∵△BCE的周长为8，
∴CE＋BE＋BC＝8，
又∵BC＝3，
∴CE＋BE＝5，
又∵DE是AC的中垂线，
∴EC＝EA，
∴AB＝AE＋BE＝CE＋BE＝5．
即AB的长为5．
10．如图，和关于直线l对称，已知，，DF＝5．求∠F的度数和AC的长．

【答案】；AC的长为5
【详解】∵和关于直线l对称，，，DF＝5
∴，AC=5
在中，，
∴
培优第二阶——拓展培优练
1．下列图形中，为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．如图，点、为边、上的两点，将沿线段折叠，点落在上的处，若，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由折叠的性质知：
．
故选：．
3．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝，则∠EAN的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵∠BAC＝ ，
∴∠B+∠C＝ ，
∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，
∴EA＝EB，NA＝NC，
∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，
∴∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，
＝
＝．
故选：B．
4．如图，已知AD是△ABC的角平分线，ED是线段AB的垂直平分线，∠ACB=90°，AC=6，则BE的长为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．12
【答案】B
【详解】
∵AD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，
∴CD=DE，AE=BE
在Rt△ACD和Rt△AED中

∴△ACD≌△AED（HL）
∴AC=AE，
∴AC＝AE＝BE=6，
故答案为6．
5．如图，分别以△ABC的边AB、AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有下列结论：①；②；③OA平分∠BOC；④．其中一定正确的结论的个数是（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，
∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，
∴∠EAD＝3∠BAC−360°＝3×150°−360°＝90°，
∴，故①正确．
∴∠BAE＝∠CAD＝（360°−90°−150°）＝60°，
由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，
又∵∠EPO＝∠BPA，
∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确．
∵△ACE≌△ADB，
∴，BD＝CE，
∴BD边上的高与CE边上的高相等，
即点A到∠BOC两边的距离相等，
∴OA平分∠BOC，故③正确．
在△EAD中，∠EAD＝90°，
当∠ADE=30°时，，
∵题中条件无法证明∠ADE=30°，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故选：B．
6．已知△ABC与△DEF成轴对称，且△ABC的周长为12，则△DEF的周长为___ ．
【答案】12
【详解】解：因为△ABC与△DEF成轴对称，
所以△ABC≌△DEF，
因为△ABC的周长为12，
所以△DEF的周长为12，
故答案为：12．
7．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为____度．

【答案】84
【详解】作点关于的对称点，连接，，；
∴，，
作点关于的对称点，连接，，，
∴，，
∴
当，，，共线时，周长最短
又∵

∴
又∵
∴
∴在中，
∴
∵，
∴
∵
故答案为：．

8．尺规作图（不写作法，但要保留作图痕迹）

(1)如图，作的对称轴AM．
(2)点E为边AC上一点，在AM上找一点F，使F点到点A、E距离相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图：AM即为所求．

（2）解：如图：点F即为所求．

9．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．

(1)图中点C的对应点是点　　，∠B的对应角是　　；
(2)若DE＝5，BF＝2，则CF的长为　　；
(3)若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
【答案】(1)E，∠D
(2)3
(3)∠EAF＝39°

【分析】（1）根据△ABC和△ADE关于直线MN对称，得到图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；
（2）根据△ABC与△ADE关于直线MN对称，得到△ABC≌△ADE，推出BC＝DE＝5，根据BF＝2，得到CF＝BC﹣BF＝3；
（3）根据∠BAC＝108°和∠BAE＝30°，推出∠CAE＝108°﹣30°＝78°，根据对称性得到∠EAF＝∠CAF，推出∠EAF＝＝39°．
（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；
故答案为：E，∠D．
（2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE＝5，
∵BF＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝3．
故答案为：3．
（3）∵∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，
∴∠CAE＝108°﹣30°＝78°，
根据对称性知，∠EAF＝∠CAF，
∴∠EAF＝＝39°．
10．【定义】如图1，OM平分∠AOB，则称射线OB，OA关于OM对称．

(1)【理解题意】如图1，射线OB，OA关于OM对称且∠AOB＝45°，则∠AOM＝　 　度；
(2)【应用实际】如图2，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB内部，OP，OP1关于OB对称，OP，OP2关于OA对称，求∠P1OP2的度数；
(3)如图3，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB外部，且0°＜∠AOP＜45°，OP，OP1关于OB对称，OP，OP2关于OA对称，求∠P1OP2的度数；
(4)【拓展提升】如图4，若∠AOB＝45°，OP，OP1关于∠AOB的OB边对称，∠AOP1＝4∠BOP1，求∠AOP（直接写出答案）．
【答案】(1)22.5°；
(2)；
(3)；
(4)∠AOP =30°或54°；
【详解】（1）解：∵射线OB，OA关于OM 对称且∠AOB =45°，
∴∠AOМ=∠АОВ=×45°=22.5°，
故答案为：22.5°；
（2）解：∵OP和 关于OB对称，
∴，
又∵OP 和关于OA对称，
∴，
∴，
∴；
（3）解：OP和关于OB对称，
∴，
又OP和关于 OA 对称，
∴，
∵，
∴；
（4）解：①OP在∠AOB内部，如图4，

∵OP，关于OB对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
②当OP在∠AOB 外部，
，
∴射线 OP 在射线 OB 的上面，如图5，

∵ OP，关于∠AOB的OB边对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，∠AOP =30或54°．
培优第三阶——中考沙场点兵
1．下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2．下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为11，则的周长为（    ）

A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【详解】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴DA=DC，AE=CE=2cm，
∵△ABD的周长为11cm，
∴AB+BD+AD=11，
∴AB+BD+DC=11，即AB+BC=11，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=11+2×2=15（cm），
故选：C．
4．如图，是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（    ）

A．∠B＝45° B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD
【答案】A
【详解】由题意得，CD垂直平分AB，
，
则B、C、D选项均成立，
故选：A．
5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，
故选：C．
6．如图，依据尺规作图的痕迹，求的度数_________°．

【答案】60
【详解】解：如图，

∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴，
由尺规作图可知，BE平分∠ABD，
∴，
由尺规作图可知EF垂直平分BD，
∴∠EFB=90°，
∴，
∴∠α=∠BEF=60°．
故答案为：60°．
7．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________．

【答案】40°##40度
【详解】解：依题意，，
∵，，
，
∴，
．
故答案为：40°．
8．（1）如图，已知为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点．使．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在上图中，如果，则的周长是_______．
【答案】（1）见解析；（2）9．
【详解】（1）作法：如图所示，
①连接（用虚线），
②作的垂直平分线交于，
③标出点即为所求，

（2）∵，
∴，
∴的周长＝9．
9．如图，已知△ABC，∠C=90°，AC
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．
【答案】（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．（2）16°．
【详解】解：（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．

（2）∵在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°．
又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°．
∴∠CAD=53°—37°=16°．
10．已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．
（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：
①EB＝EP；
②∠EFP＝30°；
（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．

【答案】（1）①见解析 ②30°（2）见解析
【详解】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°
∴∠A＝90°﹣30°＝60°
同理∠EDF＝60°
∴∠A＝∠EDF＝60°
∴AC∥DE
∴∠DMB＝∠ACB＝90°
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM
∴
即M是BC的中点
∵EP＝CE，即E是PC的中点
∴ED∥BP
∴∠CBP＝∠DMB＝90°
∴△CBP是直角三角形
∴BE＝PC＝EP
②∵∠ABC＝∠DFE＝30°
∴BC∥EF
由①知：∠CBP＝90°
∴BP⊥EF
∵EB＝EP
∴EF是线段BP的垂直平分线
∴PF＝BF
∴∠PFE＝∠BFE＝30°
（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ

∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP
∴△QEP≌△DEC（SAS）
则PQ＝DC＝DB
∵QE＝DE，∠DEF＝90°
∴EF是DQ的垂直平分线
∴QF＝DF
∵CD＝AD
∴∠CDA＝∠A＝60°
∴∠CDB＝120°
∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP
∴△FQP≌△FDB（SAS）
∴∠QFP＝∠BFD
∵EF是DQ的垂直平分线
∴∠QFE＝∠EFD＝30°
∴∠QFP+∠EFP＝30°
∴∠BFD+∠EFP＝30°