2023年高考考前押题密卷-数学（北京卷）（全解全析）

2023年高考考前押题密卷（北京卷）

数  学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、先选择题共10小题，每小题4分，分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用二次不等式的解法解出集合，然后计算集合的交集.

【详解】由，

，

所以，

故选：D.

2．若，则（    ）

A．5 B． C． D．3

【答案】B

【分析】由题意求，进而可求其模长.

【详解】∵，则，

则.

故选：B.

3．已知抛物线的焦点为F，点在该抛物线上，且P的横坐标为4，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】直接根据抛物线焦半径公式计算得到答案.

【详解】抛物线的准线方程为，

因为点在抛物线上，P的横坐标为4，抛物线的焦点为F，

所以等于点到直线的距离，

所以，

故选：D.

4．的展开式中的系数为（    ）

A．9 B．10 C．24 D．25

【答案】B

【分析】首先求出的通项，再根据通项求解即可.

【详解】的通项，

令，，令，，令，，

展开式中的系数为.

所以的展开式中的系数为10.

故选：B

5．已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简，根据三角函数图象的平移变换可得的表达式，结合其性质，求得的表达式，即可求得答案.

【详解】由题意可得，

故，由于的图象关于y轴对称，

则为偶函数，故,即，

故的最小值为，

故选：B

6．已知，，，则的最小值为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．12

【答案】B

【分析】条件等式两边取对数后，得，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解.

【详解】因为，所以，即，

所以 ，

当且仅当，即，时等号成立，

所以的最小值为6.

故选：B.

7．定义：，其中为向量与的夹角．若，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由向量数量积定义可构造方程求得，由此可得，根据可求得结果.

【详解】，，又，，

.

故选：D.

8．已知正实数x，y，z满足，则（    ）

A．

B．

C．x，y，z可能构成等比数列

D．关于x，y，z的方程有且只有一组解

【答案】D

【分析】对于A、B项，令，结合幂函数的单调性即可判断；对于C项，利用反证法即可判定；对于D项，构造函数判定其零点个数即可.

【详解】令，则

令，

由幂函数图象的性质可知：

当时，在上单调递增，故，即；

当时，在上单调递减，故，即；

故AB不一定正确；

假设成等比数列，则，

则，与已知矛盾，故C错误；

令，由指数函数的性质可知在上单调递减，

注意到，故只有一个零点，即只有一个解，

所以只有一组解，故D正确.

故选：D

9．如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．若篮球的半径为个单位长度，灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则此时椭圆的离心率等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，根据直线与圆相切可构造方程求得点坐标和点坐标，确定，的值，由此可构造方程组求得，进而得到离心率.

【详解】以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，

由题意知：，，，，

则直线，即，

设，则，

点到直线的距离，解得：，

，即；

设直线，即，

点到直线的距离，解得：或，

又直线，，即直线，

令，解得：，即，

，即；

由得：，椭圆离心率.

故选：D.

10．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（    ）

A．勒洛四面体最大的截面是正三角形

B．若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为

C．勒洛四面体的体积是

D．勒洛四面体内切球的半径是

【答案】D

【分析】由勒洛四面体的定义判断选项A；由勒洛四面体的定义并作图求解判断B；根据对称性, 由勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心求解判断C；结合C由棱长减去外接球的半径求得内切球的半径求解判断.

【详解】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图1所示，故A不正确；

将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如下图所示：

连接，交于中点，交于中点，连接，易得,

则，

而，

所以，

故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于4，故B错误，

如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心，

连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径.

如图3, 在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心，

连接、、，由正四面体的性质可知在上.

因为, 所以，则.

因为，

即，解得，

则正四面体外接球的体积是，

而勒洛四面体的体积小于其外接球的体积，C错误；

因为，所以 ,

所以，勒洛四面体内切球的半径是，则 D正确.

故选：D.

【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.

第Ⅱ卷

二、填空题共5个小题，每小题5分，共25分。

11．已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．

【答案】4

【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，变形给定方程，转化成求两个函数图象的公共点个数作答

【详解】依题意，函数是以4为周期的偶函数，当时，，

则当时，，

方程，

因此原方程的实根就是函数与函数的图象的交点的横坐标，

在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，

观察图象知，当时，两函数图象只有一个交点，

当时，由得，即当时，两函数图象只有一个公共点，

于是当时，函数与的图象有2个公共点，

又函数与均为偶函数，则当时，两个函数图象有2个公共点，

所以函数与的图象有4个公共点，即原方程有4个根．

故答案为：4

【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.

12．“民生”供电公司为了分析“康居”小区的用电量y（单位）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表：

若上表中的数据可用回归方程来预测，则当气温为时该小区相应的用电量约为______．

【答案】

【分析】求出样本中心点，再根据线性回归方程必过样本中心点求出，再将代入即可得解.

【详解】，

则，解得，

所以，

当时，，

即当气温为时该小区相应的用电量约为 ．

故答案为：.

13．的内角的对边分别为，若，且A为锐角，则当取得最小值时，的值为___________．

【答案】

【分析】根据正弦定理将表达式边化角变形，结合正弦和角公式即可求得，结合同角三角函数关系式求得，代入余弦定理表示出，代入中由基本不等式即可求得最小值，并求得取最小值时关系，进而求得的值.

【详解】由正弦定理将变形可得

，

即，

由可得，

而是锐角，所以，

则由余弦定理可得，

则 ，

当且仅当时，取得最小值，

故，故，

所以.

故答案为:

14．已知抛物线C：，O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线AO交抛物线的准线于点C，△AOF与△ACB的面积之比为4：9，则p的值为________．

【答案】4

【分析】首先证明，求出，则，再利用证明的结论，得到，利用焦点弦公式求出值即可.

【详解】设，，则，

设直线的方程为，联立抛物线方程有

，，，

则，直线的方程为，

令，则，则，

则得，

∴，∴，，又，

则，∴点，，解得．

故答案为：4.

15．冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击1次，共射击4次，每次5发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.已知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A为其在前两次射击中没有被罚时，事件B为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么___________.

【答案】

【分析】事件B为前3次中有一次中1发未中，第4次射击中有2发未中，事件AB是第3次有1发未中，第4次有2发未中，然后利用利用条件概率求解.

【详解】解：由题意得，

，

故答案为：

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，盐酸步骤或证明过程。

16．如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，连接，作于点于点.

(1)求证：是二面角的平面角；

(2)若，求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理结合二面角的平面角的定义证明；

（2）利用空间向量的坐标运算，利用法向量求二面角的正弦值.

【详解】（1）因为垂直于圆所在的平面，即平面，

平面，所以，

又因为为圆的直径，所以,

，平面，

所以平面，平面，所以，

又因为，，平面，

所以平面，平面，所以，

又因为，平面，

所以平面，平面，

所以是二面角的平面角.

（2）设，因为，

所以，

过点作的平行线为轴，并以为轴建系如图，

则，

设平面的法向量为，

所以令则，

所以，

设平面的法向量为，

所以令则，

所以，

设二面角的大小为，

则，

所以.

17．的内角的对边分别为，，且______．

(1)求的面积；

(2)若，求．

在①，②这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①则根据余弦定理得，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根据面积公式即可得的面积；若选②根据向量数量积定义得 ，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根据面积公式即可得的面积；

（2）由正弦定理得即可求得的值.

【详解】（1）若选①，由余弦定理得，整理得，则，

又，则，，则；

若选②，则，又，则，

又 ，得，则；

（2）由正弦定理得：，则，则，．

18．某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节，小张弄了一个套小白兔的摊位，设表示第i天的平均气温，表示第i天参与活动的人数，，根据统计，计算得到如下一些统计量的值：

，，．

(1)根据所给数据，用相关系数（精确到0.01）判断是否可用线性回归模型拟合与的关系；

(2)现有两个家庭参与套圈，A家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率都为，B家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率分别为，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮，每轮每人收费20元，每个小白免价值40元，且每人是否套住相互独立，以每个家庭的盈利的期望为决策依据，问：一轮结束后，哪个家庭损失较大？

附：相关系数．

【答案】(1)可用线性回归模型拟合y与x的关系.

(2)B家庭的损失较大

【分析】（1）计算相关系数，若接近1，则可用线性回归模型拟合与的关系.

（2）A家庭符合二项分布，直接用公式求期望，B家庭先根据题意列出分布列再求期望.

【详解】（1）由题可知

，     

故可用线性回归模型拟合y与x的关系．

（2）设A家庭中套中小白兔的人数为，则，

所以．                                       

设A家庭的盈利为元，则，

所以．                            

设B家庭中套中小白兔的人数为，

则的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，                                            

所以．                         

设B家庭的盈利为元，则，

所以．                      

因为，所以B家庭的损失较大

19．已知离心率为的椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为、，上顶点为，且的外接圆半径大小为．

(1)求椭圆方程；

(2)设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线、、、的斜率分别为、、、，若，求面积的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆离心率确定椭圆中的关系，再结合正弦定理的推论确定外接圆半径与边角关系即可得的值，从而求得椭圆方程；

（2）由题可设直线，，，联立直线与椭圆即可得交点坐标关系，根据斜率的计算式可得，，再由已知等式确定，由坐标关系进行转化可求得的值，求解面积的表达式，结合函数性质即可得面积的取值范围．

【详解】（1）根据椭圆C的离心率为知，所以，如图，则

则在中，可得，，

由正弦定理得，

解得，所以，，

所以椭圆C的方程为．

（2）由条件知直线的斜率不为0，

设直线，，，

联立，得，得

于是，，

因为，，代入椭圆方程得，

所以，

同理，于是，，

因为，所以，

即．

又直线l的斜率存在，所以，于是，

所以，即，

又，，

所以，

整理得，

所以，

化简整理得，

又P、Q位于x轴的两侧，所以，解得，

所以，此时直线l与椭圆C有两个不同的交点，

于是直线l恒过定点．

当时，，，

的面积

 ，

令，因为直线l的斜率存在，则，，

于是，

又函数在上单调递减，

所以面积的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆相交的坐标关系，利用坐标运算解决直线斜率关系及面积关系.解决本题的关键是确定直线直线、、、之间的斜率关系，结合椭圆上的任意一点与左右顶点之间的斜率关系，可将四个斜率值简化为两个斜率关系，即可减少位置数，从而利用坐标运算及坐标关系确定所设直线过定点，于是简化所求面积表达式中的变量个数从而可结合函数关系确定取值范围，得以解决问题.

20．已知函数.

(1)若在点处的切线方程为，求实数的值；

(2)设，在（1）的条件下，若满足，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义以及切线的方程进行求解.

（2）等价于，结合：当时，，得，即,令，则，结合的单调性即可证得结论.

【详解】（1），即切点为，

该点处的斜率．

则，故．

（2）由（1）知．

则等价于，

故

设，则，所以当时，，

所以在上单调递增，所以，

即当时，，

因为，所以，当且仅当时取等号，

所以，即．

令，则，

当，则在上为增函数．

因为，所以，又，

由于，即，

则，即．

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：

（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；

（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

21．已知数列，设，若满足性质：存在常数，使得对于任意两两不等的正整数､､，都有，则称数列为“梦想数列”.

(1)若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由；

(2)若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由；

(3)判断“梦想数列”是否为等差数列，并说明理由.

【答案】(1)不是“梦想数列”，理由见解析

(2)是“梦想数列”，理由见解析

(3)“梦想数列”是等差数列，理由见解析

【分析】（1）分析条件，可得，对于数列，取两两不等的正整数､､，验证不满足，则不是“梦想数列”；

（2）由数列的通项公式可求，从而验证满足，所以是“梦想数列”；

（3）先验证，，时，､､成等差数列，再令，，，得数列的前项和的表达式，从而求得数列的通项公式，得证.

【详解】（1）

，所以，

当时，，，

所以，不是“梦想数列”

（2），，，

，

所以，是“梦想数列”

（3）①令，，，

所以，，即：､､成等差数列，

②令，，，

，

化简为：，

两式相减得：

所以，，当时也成立.

综上可得，“梦想数列”是等差数列.