2023年高考考前押题密卷-数学（天津卷）（参考答案）

2023年高考考前押题密卷

 数学·参考答案

一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

二､填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。）

10、一    11、36    12、4    13、     14、    15、，．

三、解答题（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）

16．（14分）

【详解】（1）在中，由正弦定理

可得：，整理得，...............................2分

由余弦定理，可得；...............................4分

（2）（i）由（1）可得，又由正弦定理，

及已知，可得，...............................6分

由已知，可得，故有，

为锐角，可得，，...............................8分

则；...............................9分

（ii）由（i）可得，,...............................11分

................................14分

17．（15分）

【详解】（1）由为正三棱柱可知，平面，

又平面，所以，...............................1分

由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以；...............................2分

又，平面，所以平面；...............................3分

又平面，所以；...............................4分

（2）取线段的中点分别为，连接，

易知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示;

由侧棱长为，底面边长为2可得，

，...............................6分

由D为AB的中点可得，

所以，

设平面的一个法向量为，

则，令，可得；

即；...............................8分

易得即为平面的一个法向量，

所以，...............................9分

设二面角的平面角为，由图可知为锐角，

所以，即；

即二面角的大小为................................10分

（3）由（2）可知，平面的一个法向量为，......................12分

设直线CA与平面所成的角为，

所以，...............................15分

即直线CA与平面所成角的正弦值为.

18．（15分）

【详解】（1）∵，

∴数列是公差为等差数列，且，

∴，解得，...............................1分

∴；...............................2分

设等比数列的公比为（），

∵，，

，即，...............................3分

解得（舍去）或，

∴...............................4分

（2）由（1）得......................................5分

..........................................6分

...............................................................8分

（3）方法一：

∵，

.....................................................................................................10分

①

②

两式相减得，

，

，..............................................................12分

当为偶数时，

，...............................13分

当为奇数时，

，......................................14分

.......................................15分

方法二：

......................................10分

......................................12分

当为偶数时，

，..................................13分

当为奇数时，......................................14分

，

.......................................15分

19．（15分）

【详解】（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，

且最大值为，......................................2分

由题意可得，解得，......................................4分

所以，椭圆的标准方程为.......................................5分

（2）解：①设点、.

若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意.

设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，

联立可得，

，可得，......................................6分

由韦达定理可得，，则，...............................7分

所以，

，解得，......................................9分

即直线的方程为，故直线过定点.......................................10分

②由韦达定理可得，，

所以，

，......................................12分

，则，

因为函数在上单调递增，故，

所以，，当且仅当时，等号成立，......................................15分

因此，的最大值为.

20．（16分）

【详解】（1），......................................1分

当，；当，，

故的减区间为，的增区间为.......................................3分

（2）（ⅰ）因为过有三条不同的切线，设切点为，

故，......................................4分

故方程有3个不同的根，

该方程可整理为，

设，

则

，......................................5分

当或时，；当时，，

故在上为减函数，在上为增函数，

因为有3个不同的零点，故且，

故且，

整理得到：且，......................................6分

此时，

设，则，......................................7分

故为上的减函数，故，

故.......................................8分

（ⅱ）当时，同（ⅰ）中讨论可得：

故在上为减函数，在上为增函数，

不妨设，则，

因为有3个不同的零点，故且，

故且，

整理得到：，......................................9分

因为，故，

又，

设，，则方程即为：

即为，

记

则为有三个不同的根，

设，，

要证：，即证，

即证：，

即证：，

即证：，......................................11分

而且，

故，

故，......................................12分

故即证：，

即证：

即证：，

记，则，

设，则，所以，

，

故在上为增函数，故，

所以，................................13分

记，

则，

所以在为增函数，故，......................................15分

故即，

故原不等式得证：......................................16分