21.1 一元二次方程-2022-2023学年九年级数学上册课后培优分级练（人教版）

21.1一元二次方程

培优第一阶——基础过关练

一、单选题

1．已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（          ）

A．1 B．4 C．6 D．10

【答案】A

【详解】解：∵m为一元二次方程x2+3x−3=0的一个根．

∴m2+3m-3=0，即m2+3m=3，

∴2m2+6m-5=2（m2+3m）-5=2×3-5=1．

故选：A．

2．一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（　   　）

A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0

【答案】B

【详解】解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．

故选：B．

3．下列方程中，属于一元二次方程的是（          ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：A．符合一元二次方程方程的定义，故符合题意；

B．方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；

C．该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；

D．该方程是一元一次方程，故不符合题意；

故选：A．

4．一元二次方程x2+4x＝3的二次项系数、一次项系数及常数项之和为（　　   ）

A．8 B．﹣1 C．0 D．2

【答案】D

【详解】解：方程可化为：x2+4x﹣3＝0，

二次项系数为1、一次项系数为4、常数项为﹣3．

所以二次项系数、一次项系数及常数项之和为：1+4﹣3＝2，

故选：D．

5．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（          ）

A．2 B．4 C．-4 D．-2

【答案】B

【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是，

∴1+3-m=0，

解得．

故选B．

6．若 是关于x的一元二次方程，则a的值是（         ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【详解】解： 是关于x的一元二次方程，

，解得

，

故选：A．

二、填空题

7．若关于x的方程（c﹣1）x|c|+1+9x﹣4＝0是一元二次方程，则c＝_____．

【答案】

【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，

且，

解得，

故答案为：．

8．若是关于x的一元二次方程，则m的值是______．

【答案】

【详解】解：由题意得

∴或

∵

∴

∴舍去

故

故答案为：．

9．关于x的方程（m2﹣4）x2＋（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足______时，方程为一元二次方程，当m满足______时，方程为一元一次方程．

【答案】；

【详解】解：由题意得：m2﹣4≠0，解得：，即当时，方程为一元二次方程；

由题意得：m2﹣4＝0，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2，即当m＝﹣2时，方程为一元一次方程．

故答案为：；m＝﹣2．

10．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝_____．

【答案】﹣2

【详解】解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，

而m﹣2≠0，

所以m＝﹣2．

故答案为：﹣2．

三、解答题

11．将2x（x﹣1）＝x+4化成一元二次方程的一般形式，并写出一次项和常数项．

【答案】2x2﹣3x﹣4＝0，一次项为﹣3x，常数项为﹣4

【详解】解：方程整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，

则一次项为﹣3x，常数项为﹣4．

12．若关于x的一元二次方程的常数项为0，求m的值．

【答案】m＝﹣2

【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0，

∴

解得：

培优第二阶——拓展培优练

一、单选题

1．已知实数a是一元二次方程x2＋x＋8＝0的根，则a4＋a3＋8a﹣1的值为（          ）

A．62 B．63 C．64 D．65

【答案】B

【详解】解：∵a是一元二次方程x2+x-8=0的一个根，

∴a2+a-8=0

∴a2+a=8，

∴a4+a3+8a-1=a2（a2+a）+8a-1=8a2+8a-1=64-1=63，

故选：B．

2．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（          ）

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

【答案】D

【详解】解：可化为：

关于的一元二次方程有一个根为，

把看作是整体未知数，则

即有一根为

故选D

3．已知a是方程的一个根，则的值为（         ）．

A． B．2022 C．2021 D．无法计算

【答案】C

【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根，

∴，

∴a2=2022a-1，a2+1=2022a，

∴原式=2022a-1-2021a+

=a-1+=

=-1

=2021，故C正确．

故选：C．

4．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（           ）

A．0 B．2 C．4 D．6

【答案】D

【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，

∴4a-2-b=0，

∴4a-b=2，

∴，

故选：D．

5．若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（          ）

A．2022 B．2020 C．2019 D．2021

【答案】D

【详解】由得到，

对于一元二次方程，

设，

所以，

而关于x的一元二次方程有一根为，

所以有一个根为，

则，解得，

所以一元二次方程有一根为．

故选：D．

6．下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（          ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【详解】解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程；

②，当a=0时不是一元二次方程；

③，是一元二次方程；

④，整理后不含二次项，不是一元二次方程，

所以，一定是关于x的一元二次方程的是①③，共2个，

故选：B

二、填空题

7．若是方程的一个实数根，则代数式的值为______．

【答案】6

【详解】解：∵是方程的一个实数根，

∴，

∴，

∴，

∵

；

故答案为：6．

8．若，是方程的两根，则的值为______．

【答案】1

【详解】∵，是方程的两根，

∴，

∴

=

=1，

故答案为：1．

9．若a是方程的一个根，则代数式的值为________．

【答案】2019

【详解】解：∵a是方程一个根，

∴，

∴，

∴

，

故答案为：2019．

10．关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝-2，x2＝3．则方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0的两根分别为__________．

【答案】，

【详解】

∵关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝-2，x2＝3

∴关于x的方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0的两根为及

即，

故答案为：，

三、解答题

11．已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．

【答案】1

【详解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，

∴m2﹣2m﹣3＝0，

∴m2﹣2m＝3，

∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）

＝m2﹣4m+4+m2﹣9

＝2（m2﹣2m）﹣5

＝2×3﹣5＝1．

12．已知实数a是一元二次方程的根，求代数式的值．

【答案】-1

【详解】解：∵a是方程的根，

∴，

∴，

∴原式．

培优第三阶——中考沙场点兵

一、单选题

1．（2022·广东中山·三模）若a是的一个根，则的值是（          ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【详解】解：∵a是方程x2−2x−7=0的一个根，

∴a2-2a-7=0，即a2-2a=7，

∴a2-2a+1=7+1=8．

故选：D．

2．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（          ）

A． B．0 C．2022 D．4044

【答案】B

【详解】∵m为的根据，

∴，且m≠0，

∴，

则有原式=，

故选：B．

3．（2022·江苏南通·二模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（          ）．

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

【答案】A

【详解】解：对于一元二次方程即，

设t＝x＋2，则可得，

而关于x的一元二次方程的一个根是，

所以有一个根为t＝2022，

所以x＋2＝2022，

解得x＝2020，

所以一元二次方程必有一根为x＝2020，

故选：A．

4．（2022·甘肃平凉·二模）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（           ）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

【答案】C

【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，

∴，

∴代数式==，

故选： C．

5．（2021·安徽宿州·模拟预测）下列方程中，关于x的一元二次方程是（           ）

A．ax2＋bx＋c＝0     B．    C．（x﹣1）（x＋2）＝0 D．x3＋2x＝x2﹣1

【答案】C

【详解】解：A、当a=0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；

B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；

C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；

D、该方程未知数的最高次数是3，不是2，故本选项不符合题意；

故选：C．

6．（2022·江苏苏州·模拟预测）若x＝2021是关于x的一元二次方程ax2﹣2bx﹣1＝0的一个根，则2020﹣4042b+20212a的值为（　　  ）

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

【答案】C

【详解】解：把x＝2021代入方程ax2﹣2bx﹣4＝0得20212a﹣4042b﹣1＝0，

∴20212a﹣4042b＝1，

∴2020﹣4042b+20212a

＝2020+（20212a﹣4042b）

＝2020+1

＝2021．

故选：C．

二、填空题

7．（2022·江苏淮安·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______．

【答案】12

【详解】∵m为一元二次方程的一个根．

∴m2+m-6=0，

∴m2+m=6，

即2m2+2m=12，

故答案为：12．

8．（2022·内蒙古包头·模拟预测）已知a2＋4a﹣1＝0，则的值是__________．

【答案】18

【详解】解：∵a＝0不是方程的解，

∴两边都除以a得，

移项，得，

＝（﹣4）2+2

＝16+2

＝18．

故答案为：18．

9．（2022·贵州毕节·模拟预测）已知实数a是一元二次方程x2−2022x+1=0的一实数根，则代数式a2−2021a−的值为______________．

【答案】-1

【详解】解：∵a是方程x2−2022x+1=0的一实数根，

∴a2-2022a+1=0，

∴a2=2022a-1，

∴a2−2021a−=2022a-1-2021a-

=a-1-a

=-1．

故答案是：-1．

10．（2022·广东·珠海市九洲中学三模）已知实数m是关于x的一元二次方程的一根，则代数式的值为__________．

【答案】2023

【详解】解：∵实数m是关于x方程x2-3x-1=0的一根，

∴m2-3m-1=0，

∴m2-3m=1，

∴2022m2-6066m+1

=2022（m2-3m）+1

=2023．

故答案为2023．

三、解答题

11．（2022·山东泰安·二模）计算：

先化简，再求值：，其中x的值是一元二次方程的解．

【答案】，6

【详解】解：原式

；

∵，

∴，

∴原式；

12．（2021·江苏南通·二模）已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代数式÷（a+3﹣）的值．

【答案】

【详解】解：原式=

=

=

=

∵a是方程x2+4x﹣21＝0的根，

∴a2+4a=21，

即a（a+4）=21，

原式=．