期中测试二-2022-2023学年九年级数学上册课后培优分级练（人教版）

期中测试二（时间120分钟，满分120分）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题（每小题3分，共30分）

1．如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　   　）

A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对

【答案】C

【详解】解：由题意得：m2-7=2，且m-3≠0，

解得：m=-3，

故选：C．

2．一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的取值范围是（          ）

A．k≤2 B．k≠0 C．且k≠0  D．k＜2

【答案】C

【详解】解：∵一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，

∴k≠0且Δ≥0，

即16-12k≥0，

解得k≤，

故k的取值范围是k≤且k≠0．

故选：C．

3．抛物线y＝（x－1）2＋5顶点坐标是（          ）

A．（1，5） B．（-1，-5） C．（1，-5） D．（-1，5）

【答案】A

【详解】解：抛物线的顶点坐标是（1，5），

故选：A．

4．将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（          ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，

得到的抛物线相应的函数表达式为：，

故选：D．

5．下列图形均为表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（         ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；

B、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；

D、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则此项不符合题意；

故选：B．

6．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点是（　   　）

A．（2，﹣3） B．（﹣3，﹣2）  C．（3，2） D．（3，﹣2）

【答案】D

【详解】解：点（﹣3，2）关于原点对称的点是（3，-2），

故选：D．

7．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（          ）

A．2026 B．2024 C．2022 D．2020

【答案】A

【详解】解：∵a，b是方程x2+x−3=0的两个实数根，

∴a2+a=3，a+b=−1，

∴b=-a-1，

=2026

故选：A．

8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③abc＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．其中正确的是（　  　）

A．①② B．①③ C．①④ D．②③

【答案】C

【详解】解：∵对称轴为x＝1，

∴x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∴2a+b＝0，故选项①正确；

∵点B坐标为（﹣1，0），

∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故选项②错误；

∵图象开口向下，

∴a＜0，

∴b＝﹣2a＞0，

∵图象与y轴交于正半轴上，

∴c＞0，

∴abc＜0，故选项③错误；

∵对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），

∴A点坐标为：（3，0），

∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故选项④正确；

故选：C．

9．如图，抛物线交x轴于点，则下列结论中：①；②；③方程的两根是，；④若m是任意实数，则，正确结论的个数是（          ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【详解】∵抛物线交x轴于点，

∴是方程的一根，

∴，

∴，

∴抛物线交x轴于点，

∴抛物线的对称轴为，

∴，

∵抛物线开口向下，

∴，

∴，

∴，故①的说法错误；

∵，

∴，故②的说法正确；

∵，

∴方程为，

∴，

∴，

∴方程的两根是，，故③的说法正确；

∵抛物线的对称轴为，且开口向下，

∴当时，取得最大值，

∴（m是任意实数），

∴，

∴若m是任意实数，则，故④的说法正确；

∴正确结论的个数是3个．

故选：B．

10．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（          ）

A．2020 B． C．-2020 D．

【答案】C

【详解】∵，，a+c=0

∴，

∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0，

∴，，

∴，，

∵是方程的一个根，

∴是方程的一个根，

∴是方程的一个根，

即是方程的一个根

故选：C．

二、填空题（每小题3分，共30分）

11．下列方程：（1）　（2）　（3）　（4）　（5）（6），其中，一定是关于x的一元二次方程的是____________（填序号）．

【答案】（2）（4）【详解】解：（1）中未知数的最高次数是1次，因此此方程不是一元二次方程；

（2）是一元二次方程；

（3）可以变形为，因此原方程不是一元二次方程；

（4）中的系数一定不等于0，因此此方程一定是一元二次方程；

（5）中分母上含有未知数，是分式方程，不是整式方程；

（6）中时，不是一元二次方程；

综上分析可知，一定是关于x的一元二次方程的是（2）（4）．

故答案为：（2）（4）．

12．若（x2＋y2﹣1）2＝25，则x2＋y2＝________．

【答案】

【详解】解：设，则，

方程变形得：，

开方得：或，

解得： 或（舍去），

∴；

故答案为：6．

13．抛物线的开口向_____；对称轴_______；顶点坐标是_________．

【答案】     向上         

【详解】解：∵，

∴

∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

故答案为：向上；；．

14．点，在抛物线上，则________（填“＞”、“＜”或“=”）．

【答案】＜

【详解】解：代入，，可得：，，

因为，所以.

故答案为：＜.

15．如图，点P是正方形ABCD内一点，若，，则______．

【答案】135°

【详解】解：将△PBC绕点B逆时针旋转90°到△EBA，连接PE，如图所示：

根据旋转可知，，， ，，

∴，

，

∵，，

∴，

∴△PAE是直角三角形，

∴∠AEP=90°，

∴∠AEB=90°+45°=135°，

∵，

∴．

故答案为：135°．

16．若某等腰三角形的三条边长都是一元二次方程的根，则这个等腰三角形的周长是_______________．

【答案】6或16或21

【详解】解：，

x2-9x+14=0，

（x-7）（x-2）=0，

x-7=0或x-2=0，

所以x1=7，x2=2，

∵等腰三角形的每条边长都是一元二次方程x2-7x+10=0的根，

∴等腰三角形的边长为7、7、7或7、7、2或2、2、2，

∴这个三角形的周长为6或16或21．

故答案为：6或16或21．

17．已知实数m，n分别满足等式2m2+4m+1=0，2n2+4n+1=0，则=________．

【答案】2或6

【详解】解：当m≠n时，

由于m、n是方程2x2+4x+1=0的两根，

∴m+n=-2，mn=，

∴原式==6，

当m=n时，

∴原式=1+1=2，

故答案为：2或6．

18．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为_________________．

【答案】y=2（x+1）2－3或y=2x2﹢4x﹣1

【详解】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y将抛物线y=2x2-1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y=2（x+1）2-1-2，即y=2（x+1）2-3，

故答案为：y=2（x+1）2－3或y=2x2﹢4x﹣1．

19．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则__________．

【答案】

【详解】由根与系数的关系得，，

所以，

则，

则

．

故答案为：．

20．如图，矩形ABCD中，，，若点P为BC上动点．以BP为斜边向矩形ABCD内部作等腰直角，∠BQP＝90°．则的最小值为______．

【答案】

【详解】解：做点D关于BC的对称点F，连接CF，FQ，交BC于点G，连接DG，过点F作BC的平行线，过点Q作QM⊥BC，延长QM交过点F的平行线与点E，

则四边形EFCM是矩形，

∴ME=CF=CD=6，

CM=EF，

∵△QBP是等腰直角三角形，

∴BM=QM=MP,

设MB=a（0≤a≤15），则EF=CM=15-a,EQ=6+a，

∴ ，

∴当a=时， 最小，值为 ，

此时 ，

此时QE=EF= ，

∴∠EQF=45°，即此时点P与点G重合，

故QP+DP的最小值=QF= ,

故答案为．

三、解答题（每小题10分，共60分）

21．解下列方程

(1)x（x﹣1）＝x；          (2)x2+2x﹣2＝0．

【答案】(1)x1＝0，x2＝2；(2)；

【详解】（1）解：移项得：x（x﹣1）﹣x＝0，

分解因式得：x（x﹣2）＝0，

所以x＝0或x﹣2＝0，

解得：x1＝0，x2＝2；

（2）方程移项得：x2+2x＝2，

配方得：x2+2x+1＝3，即（x+1）2＝3，

开方得：x+1＝±，

解得：x1＝﹣1+ ，x2＝﹣1﹣．

22．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0．

(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；

(2)若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22＝1，求m的值．

【答案】(1)证明见解析；(2)﹣2

【详解】（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+2）．

= m2+2m+1   ．

＝（m+1）2，

∵无论m取何值，（m+1）2≥0，．

∴原方程总有两个实数根．

（2）解；∵x1，x2是原方程的两根，

∴x1+x2＝﹣（m+3），x1x2＝m+2，

∵x12+x22＝1，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝1，

∴代入化简可得：m2+4m+4＝0，

解得：m1＝m2=﹣2

23．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价）．第二周过后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，这批旅游纪念品共获利1 250元

(1)第一周获利为：_______________________元

(2)设第二周降价x元，则售价为______________元，销售总量为____________（用含x的代数式表示）

(3)第二周后剩余纪念品数量为______________（用含x的代数式表示）

(4)清仓亏损为______________（用含x的代数式表示）

(5)第二周每个旅游纪念品的售价为多少元？（列一元二次方程解应用题）

【答案】(1)800；(2)，个；(3)个；(4)元；(5)第二周每个旅游纪念品的售价为9元．

【详解】（1）解：（元），

即第一周获利800元，

故答案为：800；

（2）设第二周降价x元，则售价为元，销售总量为个，

故答案为：，；

（3）第二周后剩余纪念品数量为：个，

故答案为：；

（4）清仓亏损为：元，

故答案为：元；

（5）第二周降价x元，

由题意得：，

整理得：，解得：，

10－1＝9（元），

答：第二周每个旅游纪念品的售价为9元．

24．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+px+q的图象过点（－2，4），（1，－2）．

(1)求该二次函数的解析式；

(2)当－1≤x≤3时，求y的最大值与最小值的差；

(3)若一次函数y=（2－m）x+2－m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别为a和b，且a<3<b，求m的取值范围．

【答案】(1)；(2)；(3)

【详解】（1）解：将点代入得：，解得，

则该二次函数的解析式为．

（2）解：将二次函数化成顶点式为，

则在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，

所以当时，取得最小值，最小值为，

当时，，

当时，，

所以在内，的最大值为4，

所以的最大值与最小值的差为．

（3）解：联立得：，

解得，

两函数图象的交点的横坐标分别为和，且，

，

，

解得．

25．（1）如图1，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD上的点，，求证：小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现，请你利用图1证明上述结论．

 (2）如图2，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，，那么线段EF、DF、BE之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．

【答案】（1）见解析；（2），理由见解析

【详解】证明：（1）∵，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，

∵，

∴，即点F、D、G共线，

∴，，

，

即．

∵，

∴

∴．

∴，

即

（2）．

理由：如图2所示．

∵，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，

∵

∴点C、D、G在一条直线上．

∴，，．

∵

∴．

∵

∴

∴．

∴

∴

∵

∴．

26．次函数的图象交x轴于点A（－1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接BD，当时，求△DNB的面积；

(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标．

【答案】(1)；(2)；(3)P（1，－1）或（3，3）

【详解】（1）解：将A(-1, 0)，B(4, 0)代入中，

得： ，解得： ．

∴二次函数的表达式为．

（2）解：连接BD，如图所示，

∵，

∴AM=3．

又∵，

∴．

设直线BC的表达式为，

将点C（0，2），B（4，0）代入得：，解得：，

∴直线BC的解析式为：．

将x=2代入和，

得D(2，3)，N（2，1），

∴．

∴．

（3）解：∵，

∴．

设P（2t-1，m），

则，．

∵PB=PC，

∴，

∴，

∴．

∵PC⊥PB，

∴，

将代入整理得：，

解得：t=1或t=2．

将t=1或t=2分别代入中，

∴P（1，－1）或（3，3）．