2022年北京市海淀区中考数学一模试卷(1)

这是一份2022年北京市海淀区中考数学一模试卷(1)，共22页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2022年北京市海淀区中考数学一模试卷
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）如图是一个拱形积木玩具，其主视图是（　　）

A． B．
C． D．
2．（2分）2022年北京打造了一届绿色环保的冬奥会．张家口赛区按照“渗、滞、蓄、净、用、排”的原则，在古杨树场馆群修建了250000立方米雨水收集池，用于收集雨水和融雪水，最大限度减少水资源浪费．将250000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.25×105 B．2.5×105 C．2.5×104 D．25×104
3．（2分）如图，∠AOB＝160°，∠COB＝20°．若OD平分∠AOC，则∠AOD的大小为（　　）

A．20° B．70° C．80° D．140°
4．（2分）若一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2分）不透明的袋子中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是（　　）
A．25 B．35 C．23 D．12
6．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．a＜﹣1 B．|a|＜|b| C．a+b＜0 D．b﹣a＜0
7．（2分）北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图1是中国体育代表团的引导牌．观察发现，图2中的图案可以由图3中的图案经过对称、旋转等变换得到．下列关于图2和图3的说法中，不正确的是（　　）
A．图2中的图案是轴对称图形
B．图2中的图案是中心对称图形
C．图2中的图案绕某个固定点旋转60°，可以与自身重合
D．将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，可以设计出图2中的图案
8．（2分）某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧AB围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．
若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（　　）
①在M处放置2台该型号的灯光装置
②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置
③在P处放置2台该型号的灯光装置
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）若代数式2x−3有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
10．（2分）已知2＜m＜11，且m是整数，请写出一个符合要求的m的值 　 　．
11．（2分）分解因式：3m2﹣3n2＝　 　．
12．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点．若∠APB＝60°，则∠AOP的大小为 　 　．

13．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是　 　．
14．（2分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax与双曲线y=kx交于点A（﹣1，2）和点B，则点B的坐标为 　 　．
15．（2分）如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点，请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等．

16．（2分）甲、乙在如下所示的表格中从左至右依次填数．已知表中第一个数字是1，甲、乙轮流从2，3，4，5，6，7，8，9中选出一个数字填入表中（表中已出现的数字不再重复使用）．每次填数时，甲会选择填入后使表中数据方差最大的数字，乙会选择填入后使表中数据方差最小的数字．甲先填，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果．
1
　 　
　 　
　 　
　 　
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：3tan60°−8+|−2|−(1−π)0．
18．（5分）解不等式组：4(x−1)＜3x5x+32＞x．
19．（5分）已知m2﹣2mn﹣3＝0．求代数式（m﹣n）2+（m+n）（m﹣n）﹣m2的值．
20．（5分）《元史•天文志》中记载了元朝名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”、这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”与现在人们所说的“北线”完全吻合，利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度．如图1所示．
①春分时，太阳光直射赤道，此时在M地直立一根杆子MN，在太阳光照射下，杆子MN会在地面上形成影子，通过测量杆子与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子MN所成的夹角α；
②由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的．所以根据太阳光与杆子MN所成的夹角α可以推算得到M地的纬度，即∠MOB的大小．
（1）图2是①中在M地测算太阳光与杆子MN所成夹角α的示意图．过点M作MN的垂线与直线CD交于点Q，则线段MQ可以看成是杆子MN在地面上形成的影子．使用直尺和圆规，在图2中作出影子MQ（保留作图痕迹）；
（2）依据图1完成如下证明．
证明：∵AB∥CD，
∴∠MOB＝　 　＝α（ 　 　）（填推理的依据）
∴M地的纬度为α．


21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且DE＝DF．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）若AD＝BC＝6，AE＝BE，求菱形BECF的面积．

22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y=12x的图象平移得到，且经过点（﹣2，0）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞m时，对于x的每一个值，函数y＝3x﹣4的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
23．（6分）数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．他们想探究容器表面积与底面半径的关系．
具体研究过程如下，请补充完整：
（1）建立模型：设该容器的表面积为Scm2，底面半径为xcm，高为ycm，则
330＝πx2y，①
S＝2πx2+2πxy，②
由①式得y=330πx2，代入②式得
S＝2πx2+660x，③
可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是x＞0．
（2）探究函数：
根据函数解析式③，按照如表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值：
x/cm
…
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
…
S/cm2
…
666
454
355
303
277
266
266
274
289
310
336
…
在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）解决问题：根据图表回答，
①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积 　 　（填“大”或“小”）；
②若容器的表面积为300cm2，容器底面半径约为 　 　cm（精确到0.1）．


24．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D为AC的中点，⊙O的切线DE交OC的延长线于点E．
（1）求证：DE∥AC；
（2）连接BD交AC于点P，若AC＝8，cosA=45，求DE和BP的长．

25．（5分）为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．如图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图．

（1）①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是 　 　分，他两次活动的平均成绩是 　 　分；
②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“〇”圈出代表乙的点；
（2）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成6组：70≤x＜75，75≤x＜80，80≤x＜85，85≤x＜90，90≤x＜95，95≤x≤100）：
已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是 　 　；
（3）假设有400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为 　 　．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象经过点A（﹣1，3）．
（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
（2）一次函数y＝2x+b的图象经过点A，点（m，y1）在一次函数y＝2x+b的图象上，点（m+4，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．若y1＞y2，求m的取值范围．
27．（7分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，D为边BC上一动点，点E在边AC上，CE＝CD．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．
（1）如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；
（2）如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．


28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），给出如下定义：当点Q（x2，y2）满足x1+x2＝y1+y2时，称点Q是点P的等和点．
已知点P（2，0）．
（1）在Q1（0，2），Q2（﹣2，﹣1），Q3（1，3）中，点P的等和点有 　 　；
（2）点A在直线y＝﹣x+4上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；
（3）已知点B（b，0）和线段MN，对于所有满足BC＝1的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的取值范围．

2022年北京市海淀区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．【解答】解：从正面看得到的图形是下面有一半圆的图形．
故选：C．
2．【解答】解：250000＝2.5×105．
故选：B．
3．【解答】解：∵∠AOB＝160°，∠COB＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=12∠AOC＝70°，
故选：B．
4．【解答】解：多边形的外角的个数是360÷30＝12，所以多边形的边数是12．
故答案为：D．
5．【解答】解：∵不透明的袋子中装有2个红球，3个黑球，共5个球，
∴从袋子中随机摸出一个球是红球的概率是25，
故选A．
6．【解答】解：由数轴知：﹣1＜a＜0，1＜b＜2．
∴a＜﹣1，|a|＜|b|，a+b＞0，b﹣a＞0，
∴B符合题意．
故选：B．
7．【解答】解：图2是中心对称图形，原式轴对称图形，图2绕对称中心性质60°可以与自身重合，故选项A，B，C正确，
将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转60°，可以设计出图2中的图案，故D错误，
故选D．
8．【解答】解：①在M处放置2台该型号的灯光装置，如图：

摄像装置的视角为∠CAB，∠CBA，
∵∠CAB＝∠CMB，∠AMC＝∠CBA，
∴在M处放置2台该型号的灯光装置，能使表演区完全照亮；
②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，如图：

∵∠CMB＝∠CAB，∠ANC＝∠ABC，
∴在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，能使表演区完全照亮；
③在P处放置2台该型号的灯光装置，如图：

∵∠CPB＝CAB，
∴由图可知，在P处放置2台该型号的灯光装置，不能使表演区完全照亮；
故选：A．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．【解答】解：根据题意得x﹣3≠0，
解得x≠3，
故答案为：x≠3．
10．【解答】解：∵1＜2＜2，3＜11＜4，又2＜m＜11，且m是整数，
∴m＝2或m＝3，
故答案为：2或3（写一个即可）．
11．【解答】解：3m2﹣3n2＝3（m2﹣n2）＝3（m+n）（m﹣n）．
故答案为：3（m+n）（m﹣n）．
12．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴OP平分∠APB，OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∵∠APB＝60°，
∴∠APO＝30°，
∴∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°．
故答案为：60°．

13．【解答】解：由题意可知：Δ＜0，
∴16﹣4m＜0，
∴m＞4
故答案为：m＞4
14．【解答】解：∵直线y＝ax与双曲线y=kx交于点A（﹣1，2）和点B，
∵点A、B关于原点对称，
∴B（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
15．【解答】解：如图，△DEF为所作．




16．【解答】解：根据题意，开始数字是1，
∵甲填入后数据方差最大，结合方差的公式可知，填入的数据距离平均数越远越好，
∴甲填入的是9，即第2个方格填9，
∵乙填入后数据方差最小，结合方差的公式可知，填入的数据越接近平均数越好，
∴乙应该填入5，即第3个方格填5，
∴甲需要再填入2，即第4个方格填2或8，
此时的四位数为1﹣9﹣5﹣2，或1﹣9﹣5﹣8，
∴乙需要再填入4或6，即第4个方格填4或6，
∴依次填入的数字是9﹣5﹣2﹣4 或9﹣5﹣8﹣6
故答案为：9﹣5﹣2﹣4 或9﹣5﹣8﹣6．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．【解答】解：原式=3×3−22+2−1
＝3﹣22+2−1
＝2−2．
18．【解答】解：解不等式4（x﹣1）＜3x，得：x＜4，
解不等式5x+32＞x，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜4．
19．【解答】解：（m﹣n）2+（m+n）（m﹣n）﹣m2
＝m2﹣2mn+n2+m2﹣n2﹣m2
＝m2﹣2mn，
∵m2﹣2mn﹣3＝0，
∴m2﹣2mn＝3，
当m2﹣2mn＝3时，原式＝3．
20．【解答】（1）解：如图2中，线段MQ即为所求；


（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠MOB＝∠OND＝α（两直线平行，内错角相等），
∴M地的纬度为α．
故答案为：∠OND，两直线平行，内错角相等．
21．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵DE＝DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴四边形BECF是菱形；
（2）解：设DE＝x，则AE＝BE＝AD﹣DE＝6﹣x，
∵BD＝CD=12BC＝3，
∴BD2+DE2＝BE2，
∴32+x2＝（6﹣x）2，
∴x=94，
∴EF＝2DE=92，
∴菱形BECF的面积=12×BC•EF=12×6×92=272．
22．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y=12x的图象平移得到，
∴k=12，
又∵一次函数y=12x+b的图象经过点（﹣2，0），
∴﹣1+b＝0．
∴b＝1，
∴这个一次函数的表达式为y=12x+1；

（2）解y=12x+1y=3x−4得x=2y=2，
∴直线y＝3x﹣4与直线y=12x+1的交点为（2，2），
∵当x＞m时，对于x的每一个值，函数y＝3x﹣4的值大于一次函数y＝kx+b的值，
∴m≥2．

23．【解答】解：（2）函数图象如图所示：

（3）①根据图表可知，半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大，
故答案为：大．
②根据图表可知，当s＝300cm2，x≈2.5cm或x≈5.3cm，
故答案为：2.5或5.3．
24．【解答】（1）证明：连接OD，

∵DE与⊙O相切于点D，
∴OD⊥DE，
∵点D为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴DE∥AC；
（2）解：连接OD与AC交于点H，连接AD，

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB=ACcosA=845=10，
∴BC=AB2−AC2=6，
∵点D为AC的中点，
∴AH＝CH＝4，OD∥BC，
∴OH=12BC=3，
∵OD=12AB＝5，
∴DH＝OD﹣OH＝5﹣3＝2，
∴AD=AH2+DH2=42+22=25，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD=AB2−AD2=102−(25)2=45，
∵OD∥BC，
∴△HPD∽△CBP，
∴DPBP=DHBC，即45−BPBP=26，
∴BP＝35，
∵HC∥DE，
∴△OHC∽△ODE，
∴OHOD=CHDE，即35=4DE，
∴DE=203．
25．【解答】解：（1）①由统计图可以看出横坐标为85的直线上只有一个点，其纵坐标为90，因此这两次的平均分是（85+90）÷2＝87.5，
故答案为：90，87.5；
②如图所示，符合题目要求的范围在直线x＝80的左边，直线y＝90以上，在图中圈出的就是所求．


（2）由统计图可以看出，第一次成绩70≤x＜75的点有6个，75≤x＜80的点有1个，80≤x＜85的点有2个，85≤x＜90的点有2个，90≤x＜95的点有5个，95≤x≤100的点有4个，
第二次成绩70≤x＜75的点有4个，75≤x＜80的点有3个，80≤x＜85的点有1个，85≤x＜90的点有1个，90≤x＜95的点有5个，95≤x≤100的点有6个，
∴B作图正确．
故答案为：B；

（3）400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为：400×920=180（人）．
故答案为：180．
26．【解答】解：（1）将点A（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax得：a+2a＝3，
解得：a＝1，
∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴图象顶点的坐标为（1，﹣1）；
（2）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点A，
∴﹣2+b＝3，
∴b＝5，
∴y＝2x+5，
∵点（m，y1）在一次函数y＝2x+5的图象上，
∴y1＝2m+5，
∵点（m+4，y2）在二次函数y＝x2﹣2x的图象上，
∴y2＝（m+4）2﹣2（m+4）＝m2+6m+8，
∵y1＞y2，
∴2m+5＞m2+6m+8，即m2+4m+3＜0，
令y＝m2+4m+3，
当y＝0时，m2+4m+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（﹣3，0），
∵抛物线开口项上，
∴m2+4m+3＜0的解为：﹣3＜m＜﹣1，
∴m的取值范围是﹣3＜m＜﹣1．
27．【解答】解：（1）PE⊥PF，PEPF=33．理由如下：
由题意知，D，B，F三点重合，
∴CD＝BC，PF＝PD＝PB，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝60°，BC=12AC，
∵CE＝CD，
∴CE＝CD＝BC=12AC，
∴点E为线段AC的中点，
∵点P是AD的中点，
∴PE是△ADC的中位线，
∴PE⊥PF，PE=12CD=12BC，
∴PF=12AB=32BC，
∴，PEPF=12BC32BC=33．
（2）PE⊥PF，PEPF=33的关系仍成立．
证明：如图，连接DE，作PM⊥⊥BC于M，PG∥x轴，过E作GN⊥BC交BC于N，交PG于G，

由题意可知，PM是△ABD的中位线，BD＝FB，△CDE是等边三角形，四边形PMNG是矩形，
设DC＝c，FB＝BD＝b，
∴BC＝BD+DC＝b+c，AB=3（b+c），PM=32（b+c），BM=b2，FM=32b，DN=12DC=12c，EN=32c，GE＝PM﹣EN=32b，PG＝MN=12（b+c），FN＝FB+BD+DN＝2b+12c，
在Rt△PFM中，由勾股定理得PF2＝FM2+PM2＝（32b）2+[32（b+c）]2=94b2+34（b+c）2，
在Rt△PEG中，由勾股定理得PE2＝GE2+PG2＝（32b）2+[12（b+c）]2=34b2+14（b+c）2，
在Rt△EFN中，由勾股定理得EF2＝EN2+FN2＝（32c）2+[2b+12c）]2＝3b2+（b+c）2，
∴PE2PF2=34b2+14(b+c)294b2+34(b+c)2=13，
∴PEPF=33，
∵PE2+PF2=34b2+14（b+c）2+94b2+34（b+c）2＝3b2+（b+c）2＝EF2，
∴∠EPF＝90°．
28．【解答】解：（1）Q1（0，2），则2+0＝0+2，
∴Q1（0，2）是点P的等和点；
Q2（﹣2，﹣1），则2+（﹣2）≠0+（﹣1），
∴Q2（﹣2，﹣1）不是点P的等和点；
Q3（1，3），则2+1＝0+3，
∴Q3（1，3）是点P的等和点；
故答案为：Q1，Q3；
（2）设点P（2，0）的等和点为（m，n），
∴2+m＝n，
设A（t，﹣t+4），则A点的等和点为（m，n），
∴t+m＝﹣t+4+n，
∴t＝3，
∴A（3，1）；
（3）∵P（2，0），
∴P点的等和点在直线y＝x+2上，
∵B（b，0），
∴B点的等和点在直线y＝x+b上，
设直线y＝x+b与y轴的交点为B'（0，b），
∵BC＝1，
∴C点在以B为圆心，半径为1的圆上，
∴点C的等和点是两条直线之间的区域，
以B'为圆心，1为半径作圆，过点B'作y＝x+2的垂线交圆与N点，交直线于M点，
∵MN的最小值为5，
∴B'M最小值为4，
在Rt△B'MP'中，B'P＝42，
∴PB＝42，
∴OB＝42+2，
同理当B点在y轴左侧时OB＝2﹣42，
∴b＝2﹣42或b＝2+42．

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